2004年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学

2004年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

参考公式： 如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么

P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

－kPn(k)=CnPk(1－P)nk

球的表面积公式

2S=4?R

其中R表示球的半径， 球的体积公式 V=?R， 其中R表示球的半径

433

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．已知集合M?{x|x?4|,N?{x|x?2x?3?0}，则集合M?N=

A．{x|x??2}

B．{x|x?3}

22（ ）

C．{x|?1?x?2} D． {x|2?x?3}

（ ）

2．函数y?

1(x??5)的反函数是 x?51A．y??5(x?0)

x1C．y??5(x?0)

x32B．y?x?5(x?R) D．y?x?5(x?R)

D．y?4x?5

3．曲线y?x?3x?1在点（1，－1）处的切线方程为

A．y?3x?4

B．y??3x?2

C．y??4x?3

（ ）

4．已知圆C与圆(x?1)?y?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为

A．(x?1)?y?1 C．x?(y?1)?1

222222（ ）

B．x?y?1 D．x?(y?1)?1

22225．已知函数y?tan(2x??)的图象过点(?12,0)，则?可以是

（ ）

A．?? 6B．

? 6C．??12 D．

? 12（ ）

6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 A．75° B．60° C．45° D．30° 7．函数y??e的图象

A．与y?e的图象 关于y轴对称 C．与y?e?xxx

x （ ）

B．与y?e的图象关于坐标原点对称 D．与y?e?x的图象关于y轴对称

的图象关于坐标原点对称

（ ）

8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是

A．4x?2y?5

B．4x?2y?5

C．x?2y?5

D．x?2y?5 D．6

9．已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|=

A．1

B．2

C．5

（ ）

10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为

球心O到平面ABC的距离为 A．

C．

?，则 2（ ）

1 34B．

23 32 3D．

6 3（ ）

11．函数y?sinx?cosx的最小正周期为

A．

D．2?

? 4B．

? 2C．?

12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521

的数共有 A．56个

B．57个

C．58个

D．60个

（ ）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

10713．已知a为实数，(x?a)展开式中x的系数是－15，则a? .

14．设x,y满足约束条件：

?x?0,? ?x?y,?2x?y?1,?

则z?3x?2y的最大值是 .

2215．设中心的原点的椭圆与双曲线2x?2y=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方

程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}，a2?9,a5?21. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn?2

18．（本小题满分12分）

已知锐角三角形ABC中，sin(A?B)?an

，求数列{bn}的前n项和Sn.

31,sin(A?B)?. 55（Ⅰ）求证tanA?2tanB；

（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

19．（本小题满分12分） 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支. 求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.

20．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.

（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

若函数f(x)?1312x?ax?(a?1)x?1在区间（1，4）内为减函数，在区间 32（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

22．（本小题满分14分）

给定抛物线C：y?4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

2（Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

（Ⅱ）设FB??AF,若??[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.

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文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题

C A B C A C D B D B B C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

x21?y2?1 16．②④ 13．? 14．5 15．22三、解答题

17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意得方程组

?a1?d?9, ? 解得a1?5,d?4.

a?4d?21,?1 所以{an}的通项公式为an?4n?1.

4n?1,所以{bn}是首项b1?25，公式q?24的等比数列. （Ⅱ）由an?4n?1得bn?225?(24n?1)32?(24n?1)?. 于是得{bn}的前n项和 Sn?4152?118．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

满分12分. （Ⅰ）证明：?sin(A?B)?31,sin(A?B)?, 552,tanA5??2. 1tanB53??sinAcosB?cosAsinB?,sinAcosB?????5?????sinAcosB?cosAsinB?1.?cosAsinB???5??所以tanA?2tanB.

33?A?B??，sin(A?B)?,?tan(A?B)??, 254tanA?tanB3 即?? ，将tanA?2tanB代入上式并整理得

1?tanAtanB4（Ⅱ）解：? 2tanB?4tanB?1?0.

解得tanB?2?2?62?6，舍去负值得tanB?， 22 ?tanA?2tanB?2?6. 设AB边上的高为CD. 则AB=AD+DB=

CDCD2CD??. tanAtanB2?6由AB=3，得CD=2+6. 所以AB边上的高等于2+6.

19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用 数学知识解决问题的能力，满分12分.

13C5C51（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 4?4?.

C8C87故有一组恰有两支弱队的概率为1?16?. 77C32C52C32C526解法二：有一组恰有两支弱队的概率??. 447C8C831C32C52C3C51（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 ??

2C84C84 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.

20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

满分12分.

解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=2.

∵CB=CA1=2，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，

∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1=2，∴A1B1=3

又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点， ∴CD=

12211A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.

222 ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.

因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG= ∴FG=

1CD. 21，FG⊥BD. 21A1B=1， 2 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D= 所以△BB1D是边长为1的正三角形. 于是B1G⊥BD，B1G=

3. ∴∠B1GF是所求二面角的平面角， 2223)=， 22 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（

?B1GF? ∴ cosB1G?FG?B1F?2B1C?FG222(3213)?()2?222??3.

3312??22 即所求二面角的大小为??arccos解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

3. 3（Ⅰ）B（2，0，0），B1（2，1，0），A1（0，1，1），

D（2,1,1)，M（2，1，0），

2222CD?(211,,),A1B?(2,?1,?1),222 11DM?(0,,?),22

则CD?A1B?0,CD?DM?0, ∴CD⊥A1B，CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则

G（

3211211231,,）,?,), ，BD?(?、、），B1G?(?444244422?BD?B1G?0,?BD?B1G.又CD?BD,?BD与B1G的夹角?等于所求的二面角的平面角.

?cos??CD?B1G|CD|?|B1G|??3. 33. 3所以所求的二面角等于??arccos21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：函数f(x)的导数 f?(x)?x?ax?a?1. 令f?(x)?0，解得

2x?1或x?a?1.当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(1,??)上是增函数,不合题意当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(??,1)上为增函数,在(1,a?1)内为减函数,在(a?1,??)为增函数.

依题意应有 当x?(1,4)时,f?(x)?0,当x?(6,??)时,f?(x)?0. 所以 4?a?1?6. 解得5?a?7.

所以a的取值范围是[5，7]. 22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y?x?1.

2将y?x?1代入方程y?4x，并整理得 x?6x?1?0.

2设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2?6,x1x2?1.

OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2?2x1x2?(x1?x2)?1??3.

22|OA||OB|?x12?y12?x2?y2?x1x2[x1x2?4(x1?x2)?16]?41.

cos(OA,OB)?OA?OB314??.

|OA||OB|41314. 41所以OA与OB夹角的大小为??arccos（Ⅱ）由题设FB??AF 得 (x2?1,y2)??(1?x1,?y1), 即??x2?1??(1?x1),

y???y1.?2222① ②

222由②得y2??y1， ∵ y1?4x1,y2?4x2, ∴x2??x1.③

联立①、③解得x2??，依题意有??0.

∴B(?,2?),或B(?,?2?),又F（1，0），得直线l方程为 (??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1), 当??[4,9]时，l在方程y轴上的截距为

2?2?或?, ??1??1由

2?2?2?2在[4，9]上是递减的， ??, 可知

??1??1??1??1∴

32?442?3??,?????, 4??133??14直线l在y轴上截距的变化范围为[?

4334,?]?[,]. 3443

所以a的取值范围是[5，7]. 22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y?x?1.

2将y?x?1代入方程y?4x，并整理得 x?6x?1?0.

2设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2?6,x1x2?1.

OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2?2x1x2?(x1?x2)?1??3.

22|OA||OB|?x12?y12?x2?y2?x1x2[x1x2?4(x1?x2)?16]?41.

cos(OA,OB)?OA?OB314??.

|OA||OB|41314. 41所以OA与OB夹角的大小为??arccos（Ⅱ）由题设FB??AF 得 (x2?1,y2)??(1?x1,?y1), 即??x2?1??(1?x1),

y???y1.?2222① ②

222由②得y2??y1， ∵ y1?4x1,y2?4x2, ∴x2??x1.③

联立①、③解得x2??，依题意有??0.

∴B(?,2?),或B(?,?2?),又F（1，0），得直线l方程为 (??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1), 当??[4,9]时，l在方程y轴上的截距为

2?2?或?, ??1??1由

2?2?2?2在[4，9]上是递减的， ??, 可知

??1??1??1??1∴

32?442?3??,?????, 4??133??14直线l在y轴上截距的变化范围为[?

4334,?]?[,]. 3443

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