(完整版)幂函数知识总结

1 幂 函 数 复 习

一、幂函数定义：形如

)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．

观察图：

归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：

二、幂函数的性质

2 归纳：幂函数在第一象限的性质：

0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（+∞,0）上单调递增。

0<α，图像过定点（1,1），在区间（+∞,0）上单调递减。

探究：整数m,n 的奇偶与幂函数n m x

y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系？

结果：形如n m x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性

（1）当m ，n 都为奇数时，f （x ）为奇函数，图象关于原点对称；

（2）当m 为奇数n 为偶数时，f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称；

（3）当m 为偶数n 为奇数时，f （x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.

三、幂函数的图像画法：

关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；

指数等于1,在第一象限为上升的射线；

指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；

指数等于0,在第一象限为水平的射线；

指数小于0,在第一象限为双曲线型；

四、规律方法总结：

1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：

2、幂函数

),,,,(互质q p Z q p p q x y ∈==αα的图像：

3

3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；

（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

题型一：幂函数解析式特征

例1.下列函数是幂函数的是（ ）

A ．y=x x B.y=3x 2

C.y=x 21+1

D.y=x 3-

练习1：已知函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．

练习2：若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的

解析式．

题型二：幂函数性质

例2：下列命题中正确的是（ ）

A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线

B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点

C ．幂函数的

y x α=图象不可能在第四象限内

4

D ．若幂函数y x α=为奇函数，则在定义域内是增函数

练习3：如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限的图象，那么一定有（ ）

A ．n

B ．m

C ．m>n>0

D ．n>m>0 练习4：．（1）函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0，＋∞) D ．（－∞，＋∞）

（2）．函数y ＝x

43-在区间上 是减函数．

（3）．幂函数的图象过点(2,41), 则它的单调递增区间是 ． 题型三：比较大小

.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）433.2，434.2;

（2）5631.0，5635.0；

（3）23)2(-，23)3(-；

（4）211.1-，2

19.0-．

.经典例题：

例1、已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，

并确定()f x 的解析式．

例2、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．

例3、若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．

例4、若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．

例5、函数1

224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，求m 的取值范围。

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