4.3运用公式法分解因式

—平方差公式

温故知新 什么叫因式分解？ 因式分解与整式乘法有 什么联系？ 我们学过哪些乘法公式？

温故知新1) ( x 5)( x 5) _______ x 252

9x y 2) (3x y )(3x y ) ______2

2

观察以上式子是满足什么乘法公式运算？

(a b)( a b) a b (整式乘法)2 2

a b (a b)(a b) (分解因式)2 2

利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫做公式法

说一说 找特征

b a ▲2

2

(a ▲ b )( a b) ▲

①左边 两个因式的平方差；只有两项

②右边

两因式和 与差相乘

相同项 相反项

牛刀小试下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗？如果 能，请将其转化成( )2-( )2的形式。 (1) m2 -81 = m2 -92 (2) 1 -16b2 = 12-(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式

(4) a2x2 -25y 2 = (ax)2 -(5y)2 (5) -x2 -25y2 不能转化为平方差形式

多项式具有什么特征时， 可以用平方差公式因式分解？ (1)多项式是 二项式

(2)每一项都可以写成 平方 的形式; (3)两项的符号 相反，一正一负

落实基础下列多项式是否可以用平方差公式分解因式？

x y22

2

×

x y2

2

√

x y

2

×

x ( y )2

2

√

例1:把下列各式分解因式

(1)25 16 x2

2

1 2 ( 2) 9 a b 4

(1)25 16 x 2 2 5 (4 x)2

第一步，将两 项写成平方的 形式；找出a、b =(5+4x)(5-4x) 第二步，利用 a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式 学会了吗？

1 ( 3a b)( 3a 2

1 2 ( 2) 9 a b 4 1 2 2 (3a) ( b) 22

第一步， 将两项写 成平方的 形式；找 出a、b 第二步， 2利用 a 1 2 b)b =(a2 b)(a+b)分 解因式

把下列各式因式分解

(1)a2-81 =(a+9)(a-9)2 (2)1-16b =(1+4b)(1-4b)

(3)169x2-4y2 =(13x+2y)(13x-2y)2 2 (4)9a p 2 2 bq

=(3ap+bq)(3ap-bq)

例2 :把下列各式分解因式

(1)4(m n) (m n)2

2

( 2 )2 x 8 x3

2(m n) (m n)2

(1)解： 4( m n) ( m n)2

2

2

2(m n) (m n) 2(m n) (m n)

=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)

解 2x 8 x 2 =2 x ( x -4) =2 x(x +2)(x -2)3

有公因式先 提公因式， 然后再进一 步分解因式

通过本题你总结出什么经验来了吗?

分解因式时,通常先考虑是否能提 公因式,然后再考虑能否进一步分 解因式.

a b22

2

( a b )( a b )

(1)32-22=(3+2)(3-2)=5

1 2 1 1 (2)9a b (3a b)(3a b) 4 2 2 (3) 4 ( m n ) 2 ( m n ) 2=(3m+n)(m+3n)

结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。

4 4 a -b =?4 a -1=?

4 4 解:a -b2 2 2 2 =(a ) -(b ) 2 2 =(a+b)(a-b)(a +b ) 2 2 2 2 =(a -b )

(a +b )

分解因式一直分解到不能分解为 止.因此分解后一定检查括号内是 否能继续分解.

把下列各式分解因式:(1)(m+n)2-n2 (2)49(a-b)2-16(a+b)2

(3) (2x+y)2-(x+2y) (4) (x2+y2)2-x2y22 4 (5)3ax -3ay

(6)p4-1

把下列各式分解因式:(1)(m+n)2-n2 (2)49(a-b)2-16(a+b)2

(3) (2x+y)2-(x+2y) (4) (x2+y2)2-x2y22 4 (5)3ax -3ay

(6)p4-1

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