小学工程问题及答案

工业设备及管道绝热工程施工质量验收规范 附录表

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

工作量 工作效率 时间

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做 工程问题

举一个简单例子

一件工作，甲做 天可完成，乙做 天可完成 问两人合作几天可以完成？

一件工作看成 个整体，因此可以把工作量算作 所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是 天 ， 天就是一个单位，

再根据基本数量关系式，得到

所需时间 工作量 工作效率

（天）

两人合作需要 天

这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例 和例 所用方法，把工作量多设份额 还是上题， 与 的最小公倍数是 设全部工作量为 份 那么甲每天完成 份，乙每天完成 份 两人合作所需天数是

（ ） （天）

数计算，就方便些

∶ 或者说 工作量固定，工作效率与时间成反比例 甲、乙工作效率的比是 ∶ ∶ 当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也 需时间是 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中 把工作量设为整体而偏重于 整数化 或 从比例角度会使我们的解题思路更灵活一些

一、两个人的问题

标题上说的 两个人 ，也可以个队等等的两个集体

例 一件工作，甲做 天可以完成以完成 现在甲先做了 天，余下的工成 乙需要做几天可以完成全部工作？

答：乙需要做 天可完成全部工作

解二： 与 的最小公倍数是 是 份 甲每天完成 份，乙每天完成下工作所需时间是

（ ） （天）

解三：甲与乙的工作效率之比是

∶ ∶

甲做了 天，相当于乙做了 天 作所需时间是 （天）

例 一件工作，甲、乙两人合作 共同做了 天后，甲离开了，由乙继续成 如果这件工作由甲或乙单独完成各天？

解：共做了 天后，

原来，甲做 天，乙做 天，

现在，甲做 天，乙做 （ ）

这说明原来甲 天做的工作，可来代替 因此甲的工作效率

如果乙独做，所需时间是

如果甲独做，所需时间是

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其中 天可由甲队 天完成，因此两队只需再合作 天

例 一项工程，甲队单独做 天完成，乙队单独做 天完成 现在他们两队一起做，其间甲队休息了 天，乙队休息了若干天 从开始到完成共用了 天 问乙队休息了多少天？

解一：如果 天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是

答：乙队休息了 天半

解二：设全部工作量为 份 甲每天完成 份，乙每天完成 份

两队休息期间未做的工作量是

（ ） （份）

因此乙休息天数是

（ ） （天）

解三：甲队做 天，相当于乙队做 天

甲队休息 天，相当于乙队休息 天

如果甲队 天都不休息，只余下甲队 天工作量，相当于乙队 天工作量，乙休息天数是

（天）

例 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 天，单独完成乙工作要 天；李单独完成甲工作要 天，单独完成乙工作要 天 如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高 因此让李先做甲，张先做乙

设乙的工作量为 份（ 与 的最小公倍数），张每天完成 份，李每天完成 份

天，李就能完成甲工作 此时张（ ）份 由张、李合作需要

（ ） （ ） （天）

（天）

答：这两项工作都完成最少需要 天

例 一项工程，甲独做需 天，乙如果两人合作，他

要 天完成这项工程，两人合作天那么两人要合作多少天？

解：设这项工程的工作量为 份 份，乙每天完成 份

两人合作，共完成

（份）

因为两人合作天数要尽可能少，作效率较高的甲 因为要在 天内完成作的天数是

（ ） （ ） （天）

很明显，最后转化成 鸡兔同笼 型

例 甲、乙合作一件工作，由于的工作效率比单独做时

如果这件工作始终由甲一人单独来做时？

解：乙 小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作 小时，甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答：甲单独完成这件工作需要 小时

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本题整数化会带来计算上的方便 ， ， 这三数有一个易求出的最小公倍数 可设全部工作量为 甲每天完成 ，乙每天完成 ，丙每天完成 总共用了

例 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 天完成 如果丙休息 天，乙就要多做 天，或者由甲、乙两人合作 天 问这项工程由甲独做需要多少天？

解：丙 天的工作量，相当乙 天的工作量 丙的工作效率是乙的工作效率的 （倍），甲、乙合作 天，与乙做 天一样 也就是甲做 天，相当于乙做 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 倍

他们共同做 天的工作量，由甲单独完成，甲需要

答：甲独做需要 天

事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 ∶ ∶ ，就知甲做 天，相当于乙、丙合作 天 三人合作需 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做 天来完成

例 某项工作，甲组 人 天能完成工作，乙组 人 天也能完成工作 问甲组 人和乙组 人合

作多少时间能完成这项工作？

解一：设这项工作的工作量是

甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组 人和乙组 人每天能完成

答：合作 天能完成这项工作

解二：甲组 人 天能完成，因此 人 天能完成；乙组 人 天能完成，因此 人 天能完成

现在已不需顾及人数，问题转化为：

甲组独做 天，乙组独做 天，问合作几天完成？

小学算术要充分利用给出数据的是比例灵活运用的典型，如果你心算能得出答数

例 制作一批零件，甲车间要 果甲车间与乙车间一起做只要 天就能与丙车间一起做，需要 天才能完成 一起做，完成后发现甲车间比乙车间 个 问丙车间制作了多少个零件？

解一：仍设总工作量为

甲每天比乙多完成 因此这批零件的总

丙车间制作的零件数目是

答：丙车间制作了 个零件

解二： 与 最小公倍数是 设工作量为 份 甲每天完成 份，甲、成 份，由此得出乙每天完成 份

乙、丙一起， 天完成 乙完成 丙完成 （份），就知

乙、丙工作效率之比是 ∶ ∶

已知

甲、乙工作效率之比是 ∶ ∶

综合一起，甲、乙、丙三人工作效率

∶ ∶

当三个车间一起做时，丙制作的零件

（ ） （个）

例 搬运一个仓库的货物，甲需乙需要 小时，丙需要 小时 有同 ，甲在 仓库、乙在 仓库同时开始搬始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运库货物同时搬完 问丙帮助甲、乙各多

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按预定时间注满水池，如果开始时就打开 根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池 问开始时打开了几根水管？

答：开始时打开 根水管

例 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管 要灌满一池水，单开甲管需 小时，单开丙管需要 小时 要排光一池水，单开乙管需要 、乙、 的顺序轮流打开 小时，问多少时间后水开始溢出水池？ ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出 以后（ 小时），池中的水已有

此题与广为流传的 青蛙爬井 是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬 尺才能到达井口，每小时它总是爬 尺，又滑下 尺 问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

看起来它每小时只往上爬 （尺），但爬了 小时后，它再爬 小时，往上爬了 尺已到达井口

因此，答案是 小时，而不是 小时

例 一个蓄水池，每分钟流入 立方米水 如果打开 个水龙头， 小时半就把水池水放空，如果打开 个水龙头， 小时半就把水池水放空 现在打开 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

解：先计算 个水龙头每分钟放出水量

小时半比 小时半多 分钟，多流入水

（立方米）

时间都用分钟作单位， 个水龙头每分钟放水量是

（ ） （立方米），

个水龙头 个半小时放出的水量是

，

其中 分钟内流入水量是 水池中存有水 米）

打开 个水龙头每分钟可以放出去每分钟流入 ，其余将放出原存的水 ，需要

（ ） （分钟）

答：打开 个龙头，放空水池要 分

水池中的水，有两部分，原存有水，就需要分开考虑，解本题的关键原存有的水 这在题目中却是隐含着的

例 一个水池，地下水从四壁小时渗入水量是固定的 打开 管， 小排空，打开 管， 小时可将满池水排 ， 两管， 小时可将水排空 问打开几小时才能将满池水排空？

解：设满水池的水量为

管每小时排出 管 小时排出

因此， ， 两管齐开，每小时排水量

， 两管齐开，排光满水池的水，所

答： ， 两管齐开要 小时 分才

本题也要分开考虑，水池原有水入水量 由于不知具体数量，像工程问的具体数量一样 这里把两种水量分别但这两种量要避免混淆 事实上，也可原有水设为 与 的最小公倍数

世纪英国伟大的科学家牛顿写算术》一书，书中提出了一个 牛吃是一道饶有趣味的算术题 从本质上讲例 是类同的 题目涉及三种数量：

工业设备及管道绝热工程施工质量验收规范 附录表 牛吃草 这一类型问题可以以各种各样的面目出现 限于篇幅，我们只再举一个例子

例 画展 点开门，但早有人排队等候入场 从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多 如果开 个入场口， 点 分就不再有人排队，如果开 个入场口， 点 分就没有人排队 问第一个观众到达时间是 点几分？

解：设一个入场口每分钟能进入的观众为 个计算单位

从 点至 点 分进入观众是 ，

从 点至 点 分进入观众是

因为观众多来了 （分钟），所以每分钟来的观众是

（ ） （ ）

点前来的观众是

这些观众来到需要

（分钟）

答：第一个观众到达时间是 点 分

鞠躬尽瘁，死而后已。——诸葛亮

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