大学物理习题答案全解1~10章

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习题一 一、选择题

1．质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处的加速度? [ ]

?a

ACBCBBCB?aA?aACA?a (A) (B) (C) (D) 答案：C

解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C）。

2．一质点沿x轴运动的规律是x?t2?4t?5（SI制）。则前三秒内它的 [ ]

（A）位移和路程都是3m；

（C）位移是-3m，路程是3m； 答案：D 解：

dxdt（B）位移和路程都是-3m； （D）位移是-3m，路程是5m。

?x?xt?3?xt?0?2?5??3

?2t?4，令

dxdt?0，得t?2。即t?2时x取极值而返回。所以：

?x|?|x?x|?|1?5|?|2?1|?5S?S0?2?S2?3?|x0?2|?|x2?3|?|xt?2t?0t?3t?2

3．一质点的运动方程是r?Rcos?ti?Rsin?tj，R、?为正常数。从t＝?/?到t=2?/?时间内

（1）该质点的位移是 [ ]

???（A） -2Ri；（B）2Ri；（C） -2j；（D）0。 （2）该质点经过的路程是 [ ]

（A）2R；（B）?R；（C）0；（D）?R?。 答案：B；B。 解：（1）t1???,t2?2?????，?r?r(t2)?r(t1)?2Ri；

????（2）?t内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为?R。或者：

1

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vx?dxdt,vy?dydt22，v?vx?vy??R,S??tt2vdt??R

1

4．一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度 [ ] A （A）大小为v/2，方向与B端运动方向相同； （B）大小为v/2，方向与A端运动方向相同； （C）大小为v/2, 方向沿杆身方向；

（D）大小为v/(2cos?)，方向与水平方向成?角。 答案：D 解：对C点有

5．某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为 [ ] (A) 4km/h，从北方吹来； (B) 4km/h，从西北方吹来；

(C)42km/h，从东北方吹来； (D) 42km/h，从西北方吹来。 答案：D

解：v风地?v风人?v人地?v?v??v0

????v?v???v0v?v0cos???CB?v位置：xC?lsin?,速度：vCx?lcos?yC?lcos?d?dt,；

d?dtd?dt22；所以，vC?vCx?vCy?lvCy?lsin?d?dt?v2cos?.

（B点：xB?2lsin?,vB?2lcos??v,?d?dt?v2lcos?）。

???????v0???v0??v?45?????2v0 ，v0?v?v?v??，v??v0tan?v??sin45??v?2v0tan?v???2v??

2v0?v0?2??2vv0?cos???v???v?v0?4v?2.2v0cos?0?cos?cos???222?v20

cos2??4v0?4v0?2v0tan?2222 2

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2sin??1v?v0cos??2sin??12???45

2v0?42(km/h)（从西北方吹来）。

二、填空题

1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向

成30°角。则物体在P点的切向加速度 aτ=，轨道的曲率半径?=。 答案：?12gy?vP??30??；2v2。

3g?a?x?1?解：a??gja??asin???gsin30???g2

v2?a?anan?acos???gcos30。又因an??v2?，所以??an?v2?gcos30?2v2g3

?????22． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为r?2ti?(2?t)j，其中r,t分别以米

和

秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为；t=2秒时质点的加速 度为；质点的轨迹方程是 。

2???x答案：2i?3j；?2j；y?2?。

422???????dx?dy??r?r(2)?r(1)?2i?3j， a?解： i?j??2j 22dtdtx?2t,y?2?t，消去时间t得y?2?2x24。

3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t??12bt，其中v0,b都是常数，

2t时刻，质点的加速度矢量a?；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为。

2v0(v0?bt)??n?b?；答案：。 R4?Rb2解： （1）v?dsdt?v0?bt，a??dsdt22??b

3

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2???(v?bt)??a?ann?a???0n?b?

R（2）

?令a??(v0?bt)2?v02 ???b?b，得t?Rb??v0b?12b(v0b)?22?s?s(t)?s(0)?v0v022b，得n??s2?R?v024?Rb

4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜?0角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?1角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?2角，火车加速前后的速度之比为。 答案：

cos?0tg?1?sin?0cos?0tg?2?sin?0??v1

解：设v0为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为?（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以v1行0驶时，雨滴相对火车的速度为v?，已知其倾角为?1，根据伽利略变换：v??v0?v1

????v???v2?1?0?v0?2??0v???v0同理，火车以v2行驶时，雨滴相对火车的速度为v??，已知其倾角为?2，所以

???v???v0?v2

v?sin?1?v1?vosin?0 v??sin?2?v2?vosin?0

(1) ； (3) ；

v0cos?0v?cos?1?v0cos?0

(2) (4)

v??cos?2?v0cos?0

联立（1）（2）式得tg?1?联立（3）（4）式得tg?2?v1?v0sin?0，v1?v0(cos?0tg?1?sin?0) ，v2?v0(cos?0tg?2?sin?0)

v2?v0sin?0v0cos?0所以，火车加速前后速度之比为

v1v2?cos?0tg?1?sin?0cos?0tg?2?sin?0

35.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为??2?4t，?的

单位为rad，t 的单位为s。问t= 2s时，质点的切向加速度法向加速度；?等于rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。

4

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答案：24Rt；230.4m/s2；2.67rad。 解：（1）??d?dt?12t，??2d?dt22?24t；an?R??144Rt，a??R??24Rt。

24t=2s时，an?230.4m/s2，a??4.8m/s2

（2）设t?时，a和半径夹角为45°，此时an?a?，即144Rt?4?24Rt?，得t?3?1/6 所以

三、计算题

1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 答案：v?a0t?a02?t；x?2?

?(t?)?2?4t??2.67rad

312a0t?2a06?t。

3由题意可知，角速度和时间的关系为 根据直线运动加速度定义

v?v0?

dvdta?a0?a0?t

dt?a?t0

a0t)dt?a0t?a02?t

2?dtdv?adt?2?t0(a0??t?0时刻，v0?0所以v?a0t?a02?t

又v?dxdt，所以 x?x0??dt

dxdt??t0vdt?2?t0(a0t?a06?t

3a02?t)dt?212a0t?2a06?t

3t?0时刻，x0?0所以

x?12a0t?

2．一质点以初速度v0作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为

(n?1)时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。

v0n答案：1?1n。

解：质点作一维运动。初始条件：t?0时，x?0，v?v0。又由题意，质点的加速度可表示为

a??kv

式中，k为大于零的常数。

解法一：由加速度的定义有

5

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a?dvdt??kv

分离变量

dvv??kdt

由初始条件t?0时v?v0，有

?积分得

vv0dvv??k?dt

0tv?v0e?kt (1)

?kt所以

v?dxdt?v0e

由初始条件t?0时x?0，积分得

x??t0v0e?ktdt??ktv0k(1?e?kt)

上式可写为 其中，xm?v0k

x?xm(1?e) (2)

为质点所能行经的最大距离。

x?xxmxmv0vv0(v0?v) )

联立式（1）和式（2），得 故 将v?v0n

?(1?代入上式，得

xxm?1?1n

解法二：由加速度的定义，并作变量替换有

a?vdvdx??kv

即 dv??kdx

由初始条件x?0时v?v0，有

?积分得

vv0dv??k?dx

0xv?v0?kx (3)

由上式得x?v0?vk。故当v?v0n时，

6

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x?v0k(1?1n) (4)

又由v?dxdt及式（3），有

dxv0?kx?dt

由初始条件t?0时x?0，积分得

lnv0?kxv0v0k??kt

即

x?(1?e?kt)

可见，质点所能行经的最大距离为 故当v?v0nxm?v0k

时，由式（4）及上式得

xxm?1?1n

3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率

yv0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。

222v0hv0h?s2答案：vx??；ax??3v0。 lss解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得

dldt?-v0

hxox由上图可得x?l2?h2 船的速率vx?dxdt?ll?h22dldt?ll?h22(?v0)?h?xx2322(?v0)

船的加速度大小ax?dvxdt?2h23(?v0)??2hx(v0)

2(l?h)2hs232当

x = s时，ax??v02，vx??v0h?ss22

4．如图，一超音速歼击机在高空A 时的水平速率为1940km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192km/h，所经历的时间为3s，设圆弧 AB的半径约为3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）

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飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B所经历的路程。 答案：（1）a?109m?s?2，与法向成12.4?角；（2）s?1722m。 解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以at和?为常量

at?dvdt，?vBvAdv??t0atdt?vB?vA?att，

?1A?vAB已知vA?1940km?h，vB?2192km?h

t?3s，r?3.5km，所以

?1r?2??vBat?an?vB?vAtvBr22?23.3m?s?2

o在点B的法向加速度 在点B的总加速度大小

?a与法向之间夹角

?106m?s2

?2a?at?an?109m?s

???arctanatan??12.4

（2）在时间t内矢径r所转过的角度为 ???At?飞机经过的路程为

s?r??vAt?122122?t

att?1722m

5．如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为v0。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。 答案：x?v0udy2，即运动轨迹为抛物线。

y解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据

v0y?u。题意，初始条件为t?0时，x0?y0?0， v0x?0，

又根据题意，当y?且当y?即

d2

d2

v0uod时，水流速度可表示为vw?ky，

2v0d时，vw?v0。故k?

2v0dyx

vw?

对小船有

vx?dxdt?vw，

vy?dydt?u

利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得

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uv0dx?t2， y?ut

联立消去t，得

x?v0udy2

上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。

注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当y?

vw2?k(d?y)d2

时，水流速度应为

dydt此时有

vx?dxdt?vw2，

dvy??u

2根据前半部的计算结果知，在河心，即以此为新的初始条件代入，积分

v?d?vd时，t??，x??0???0y??ud?2?4u22ud。

?可解得，当y?

d2

xx?dx??tt?vw2dt??yy?k(d?y)dyu

时

x??v0d2u?2v0uy?v0udy2

可见小船运动轨迹仍为抛物线。..

习题二

一、选择题

1．用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度为 [ ] （A）0.41cm；（B）0.50cm；（C）0.73cm；（D）1.00cm。 答案：A 解：

f??kxAf??Ek??12mv0122

2Af?A???Ek???f12?fdx???kxdx??02x1kx1

12kx1?2??mv0??v0v0?fdx???x2x1kxdx?12kx22

A?f?Af

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121212kx1?2kx2??2kx12x2?2x1

?x2?x2?x1?(2?1)x1?0.41x1?0.41cm

2．一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且m1?m2 (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力F?m1g代替m1，系统的加速度大小为a?，则有 [ ]

（A）a??a；（B）a??a；（C）a??a；（D）条件不足，无法确定。 答案：B

解：m1g?T?m1a

T?m2g?m2a

?a(m1?m2)g?(m1?m2)aa?m?m2m1?m2g

m2T?a?a?Tm1m2F1F1?m2g?m2a?F1?m1ga??m1?m2m2gm2gm1gm2gF1，所以，a??a。

3．对质点组有以下几种说法：

（1）质点组总动量的改变与内力无关；（2）质点组总动能的改变与保守内力无关；（3）质点组机械能的改变与保守内力无关。在上述说法中，[ ]

（A）只有（1）是正确的； （B）（1）、（3）是正确的； （C）（1）、（2）是正确的； 答案：B 解：略

４．如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A、B两物块质量均为m，A所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。 （1）若忽略一切摩擦，则绳中张力为 [ ] （A）mg；（B）mg/2；（C）2mg；（C）3mg/4。 （2）若A与桌面间的摩擦系数为? (系统仍加速滑动)，则绳中张力为 [ ]

（A）?mg；

（B）3?mg/4；

N（D）（2）、（3）是正确的。

A a?g2aTB a?a?TA 10

mg

B mga?g2

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（C）3(1??)mg/4；（C）3(1??)mg/4。 答案：（1）D；（2）C。 解：（1）受力分析 B：mg?T?m(a??a) A：T?ma?，N?mg?ma mg?T?ma?ma?

m(g?a)?T?T，2T?m(g?a)，T?ma(g?a)?34mg

Na（2）B:mg?T??m?a??a?

A:T??f?ma?，f??N N?mg?ma N?m?g?a??32mgfA mgT?a?a?T?B

mga?g2?mg?T??ma??ma ???T??N?ma??m?g?a??T??ma??3333gm?T??T???mg，2T??mg?1???,T???1???mg ?32224?T???mg?ma??2

5．沙子从h = 0.8m高处落到以3m/s速度水平向右运动的传送带上。取g = 10m/s2，则传送带给予沙子的作用力的方向[ ]

（A）与水平夹角53?向下；（B）与水平夹角53?向上； （C）与水平夹角37?向上； 答案：B 解：h?0.8mv0?2gh（D）与水平夹角37?向下。

y?v?v ?v0h??????v1?v0??v0j,v2?v?vi ??????I?m?v?m?v2?v1??m?vi?v0j?

tan??v0v?2ghv?2?10?0.83?43,??v0???vx??53向上

二、填空题

2

1．如图，已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需做的功为。

11

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答案：4.23?106J

解：该功数值上等于同一过程中重力做的功，取坐标如图，则有：

dAP???Sgzdz

o5mAP???3z2z1?Sgzdz???Sg?zdzz16.55.0z21.5m6dzz1z?1?10?50?9.8?zdz??4.23?10Jzz2抽水所需的功A??AP?4.23?106J

2．质量为m的质点在变力Ｆ=F0 (1－kt)（F0、k为常量）作用下沿ox轴作直线运动。若t =０时，质点在坐标原点，速度为v0，则质点运动微分方程为；速度随时间变化规律为v =；质点运动学方程x =。 答案：

dxdt22?F0m?1?kt?；v0?F0?F012?t?ktvt?；0??m?22m??213??t?kt?。

3??解：（1）F?F0?1?kt?F?ma?mdxdt22t?0,x?0,v?v0

dxdt22，所以，微分方程为：

F0m?F0m?1?kt?

（2）

dvdt??1?kt?dv?F0m?1?kt??vv0dv???t0F0m?1?kt?dt

所以，速度为：v?v0?（3）

dxdt?v0?F0?12??t?kt? m?2?F0?12??t?kt?m?2?x?v0t??x0dx??[v0?0tF0m(t?12kt)]dt2

运动方程为：

F0?213??t?kt?2m?3?

3．质量为m的子弹，以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力F?；砂箱与子弹系统损失的机械能?E =。 （注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案） 答案：f?mM(2m?M)v0222(m?M)(l?s)；?E?Mm2(M?m)v0。

2解：设共同运动的速率为v，则

mv0?(m?M)v，v?mm?nv0

v0Mlvms 12

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子弹停止时相对地面移动距离l + s，则有

2??m?f(l?s)?mv?mv?mv??1? 2222?(m?M)?12120120f?122mv01l?s(m?M)?1(m?M)222?1mM(2m?M)v0222(m?M)(l?s)22

能量损失

?E?12mv?2012(M?m)v?12mv?201mv02M?m?1Mm2M?mv02

4． 如图所示，质量m =2.0kg的质点，受合力F?12ti 的作用，沿ox轴作直线运动。已知t =０时x0=0，v0=0，则从t =0到t =3s这段时间内，合力F的冲量I为；质点的末速度大小为v?。

答案：54N?s；27m/s。 解：m?2kga?dvdt?Fm?6t?????Ft?0,x0?0,2??F?12tixov0?0

?vdv?v0?6t

0tv?3t

；I?m?v?2?27?54N?s

t1?0,t2?3,v1?v0?0v2?3?9?27m/s

5．一轻质弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量m=0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2=0.1m后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦系数为。 答案：0.2

12koAx1x2解：在x1处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功kx12，摩擦力做功

??mgx2，根据动能定理有

12kx1??mgx2?0，解得??2kx212mgx2?0.2

三、计算题 1．图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1=200g，m2=100g，m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。求：

（1）每个物体的加速度； （2）两根绳子的张力T1与T2。

A T1 B

13

m1 T2 m2 m

3

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15 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

1535答案：（1）a1?

g，a2?g，a3?g；

（2）T1?0.16g?1.568N，T2?0.08g?0.784N。

解：设两根绳子的张力分别为T1、T2； m2、m3相对B轮的加速度为a2?； m1、m2、m3的加速度分别为a1、a2、a3。 根据牛顿运动定律

m1g?T1?m1a1；

??a1)m2g?T2?m2a2?m2(a2

??a1)m3g?T3?m3(?a3)?m3(?a2； 2T2?T1?0

由以上六式解得

a1???a2a2?a3?15251535g?1.96m/s2

2Ag?3.92m/s

，加速度方向如图所示。

a2a1T1T1Bg?1.96m/s2a1m1T2T2a3g?5.88m/s2T1?0.16g?1.568NT2?0.08g?0.784Na?2m2a?2m3 2．质量为60Kg的人以8Km/h的速度从后面跳上一辆质量为80Kg的，速度为2.9Km/h的小车，试问小车的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？

答案：（1）5.09Km/h；（2）?1.77Km/h。 解：（1）设人和车的质量分别为m1和m2，初速率分别为v1和v2。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有m1v1?m2v2?（m1?m2）v，所以

v?m1v1?m2v2m1?m2?60?8?80?2.960?80?5.09Km/h

（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒

m2v2?m1v1?（m1?m2）v?

v??m2v2?m1v1m1?m2?80?2.9?60?860?80??1.77Km/h

3．一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F= - kx，而位移x=Acos?t，其中k、A、?都是常量。求在t= 0到t=?/2?的时间间隔内弹力施于小球的冲量。

14

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答案：?kA?

F?解法一：由冲量的定义得

?xxI??2?0Fdt??2?0?kAcos?tdt??kA??sin?t|2?0??kA?

O解法二：由动量定理I?mv?mv0

而v0??A?sin?t??A?sin0?0，v??A?sin?t??A?sin?所以I??mA???kA?2???A?

?，（这里利用了??km）。

4．一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数k=196N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全弹性碰撞）。 答案：0.037m。

解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：

m1gh?12m1v1

1又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v2有：

m1v1?(m1?m2)v2

m1 h m2 砝码与盘向下移动过程机械能守恒

12kl1?212(m1?m2)v2?212k(l1?l2)?(m1?m2)gl2 2平衡时，有 m2g?kl1

解以上方程得：98l22?0.98l2?0.096?0，解得盘向下移动的最大距离为l2?0.037m。

5．如图所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为5.0?1010m，这时它的速度为

7.5?10m/s。若不考虑其他行星的影响，试求这

4v0 b r v 颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离b。

答案：（1）1.8?104m/s；（2）2.1?1011m。 解：对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒得

0?12mv0??2GMmr?12mv

2由此得流星刚进入太阳系时的速率为

15

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v0?v?22GMr?(7.5?10)?422?6.67?10?11?1.99?1010304?1.8?10m/s

5.0?10流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒：mv0b?mvr 流星飞向太阳的瞄准距离为b?rvv010?5?10?7.5?101.8?104411?2.1?10m

习题三

一、选择题

1．一根长为l、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90?，则v0的大小为 [ ]

（A）答案：A 解：

2?J1?1?J1?2?J?,2ml1?l??2J?m?, J?Ml ?111??2243???J??Mg?l?224Mmgl3；（B）gl2；（C）2Mmgl；（D）

16Mgl3m22。

lv01v0/2mMmJ1?1J?1?v0l/2?2v0l1，?2?v0/2l/2?v0l2?12?1，??J1(?1??2)J?2

1?J1?1?J??Mgl， J????Mgl，

2J22??2J1?14J22?Mgl

?ml2?4v0??222216M4M3mv0?4?l2gl??Mgl，v0?v?，所以?Mgl，02116M3mm24?Ml322gl3

2．圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为4kg?m2。在恒力矩作用下，10s内其角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为

[ ]

（A）80J，80N?m；（B）800J，40N?m；（C）4000J，32N?m；（D）9600J，16N?m。 答案：D

解：?0?80，??40，t?10，J?4

16

第17页共65页

1212 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

1212??Ek?J??2J?0?Ek?2J(?0??)?22?4?(6400?1600)?9600(J)

M恒定，匀变速，所以有

?0??t???0??t，??，M?J??J??0??t?4?80?4010?16N?m

3．一个转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为?0。设它所受阻力矩与转动角速度成正比M??k? (k为正常数)。

（1）它的角速度从?0变为?0/2所需时间是 [ ]

（A）J（B）J/k/2；；（C）(J/k)ln2；（D）J/(2k)。

（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]

（A）J?02/4；（B）?3J?02/8；（C）?J?02/4； (D)?J?02/8。

答案：C；B。

解：已知M??k?，?0,（1）M?J?0J，??12?0

d????0?d?dt??k?，J??0kJd?dt??k?，

kJ?lndt Jk??d????kJ?t0dt，ln??t，所以 t?Jk?ln2

（2）A?12J??212J?0?213J2?122?J??0??0????0 2?48?

4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R，转动惯量J均相同），若分别用F（N）的力和加重物重力P?mg?F(N) 时，所产生的角加速度分别为?1和?2，则[ ]

（A）?1??2； （C）?1??2； 答案：A

解：根据转动定律，有mg?R?J?1,T?R?J?2， 依受力图，有mg?T?ma，T?mg?ma?mg 所以，?1??2。

5． 对一绕固定水平轴O匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ ]

17

（B）?1??2； （D）不能确定。

?1?2TF(F?mg)mgvOv第18页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）无法确定。 答案：B

解：J1?1?J?0?J2?2?(J1?J2?J)?

J1?J2?m1r?m2r22(m1?m2)， ?1??2??0??0

vr

所以

??J2J1?J二、填空题

1．半径为r?1.5m的飞轮，初角速度?0=10rad/s，角加速度???5rad/s2，若初始时刻角位移为零，则在t? 答案：4s；?15m/s。 解：已知

r?1.5m，?0=10rad/s，???5rad/s，?0?0。

2时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度为v? 。

因??const，为匀变速，所以有 令??0，即(?0?12???0??0t?2?0122?t。

?t)t?0得，由此得 t?????2?10?5?4s

???0??t?10?5?4??10，所以v??r??15m/s

2． 一根质量为m、长度为L的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为?，在t?0时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为?0，则棒停止转动所需时间为 答案：t?2?0L3?g 。

drL

romLgdr

M?dm解：df??dmg???drg?????m?grdr， dM?r?df，dM?rdf?L?dM??mLg?12L?2?mg2L

又，M??J???Jd???3?g2Ldtd?dt0??13mL2d?dt3?g2L?dt?mg2L，所以

3?g2Lt，?d?????0t0，两边积分得：?0?，

所以

t?2?0L3?g

18

第19页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

3． 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘半径为R，转动惯量为J，角速度为?。如果这人由盘边走到盘心，则角速度的变化??= 能的变化?Ek = 答案：?mRJ2 ；系统动

12 2 mRJ2 。

；mR?(2?1)。

解：应用角动量守恒定律

J??mR??J??

222?mR?mR解得?????1? ?，角速度的变化?????????JJ??系统动能的变化?Ek?12?J???212?J?mR??22，即?Ek?12mR?(22mRJ2?1)

4． 如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度?0作匀速转动，转台对该轴的转动惯量现有砂粒以1g/s的流量落到转台，并粘在台面J?5?10kg?m。

形成一半径r?0.1m的圆。则使转台角速度变为?0/2所花的时间为

。

?02?52ωr答案：5s

解：由角动量守恒定律 得 m?所以

5． 如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为 答案：T?118mg(J?mr)mt?32?J?0

Jr2，

m1?10由于

??1?10kg/s J?5?102?5?3t??3r?1?102?30.1?1?10?5s

。

R

m ?m1g?T1?m1a??T2?m2g?m2a??(T1?T)R1?J1?1?(T?T)R?J? ?2222(1)(2)(3)(4)T2m 解：列出方程组

19

M2R2M1R1Ta第20页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

其中，?1?aR1,J1?122M1R1，?2?aR2,J2?122M2R2

由（1）、（2）两式得：?可先求出a，解得

a??T1?m1(g?a)?T2?m2(g?a)

2(m1?m2)g2(m1?m2)?(M1?M2)4m1m2?m2(M1?M2)2(m1?m2)?(M1?M2)，T1?4m1m2?m1(M1?M2)2(m1?m2)?(M1?M2)g，

T2?g，T?4m1m2?m1M2?m2M12(m1?m2)?(M1?M2)118mg

g

将m1?2m，m2?mM1?M2?m,

R1?R2代入，得：T?三．计算题

1．在半径为R1、质量为M的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这人沿着与圆盘同心，半径为R2（

解：设人相对圆盘的角速度为?，圆盘相对地面的角速度为?M。 则人相对地面的角速度为 ?m????M 应用角动量守恒定律 mR22?m?解得

?M???2212MR1?M?0得，mR2????M22??12MR1?M?0

2mR2mR?122???MR212mR22222mR2?MR1

圆盘相对地面转过的角度为

?M???Mdt??2mR22222mR2?MR1??dt??2mR22222mR2?MR1?2???4?2?MR1/(mR2)22

人相对地面转过的角度为

?m???mdt?2???M?

2?MR12222mR2?MR120

?2?2mR2/(MR1)?122

第21页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

2．如图所示，物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J，半径为r。 （1）如物体2与桌面间的摩擦系数为?，求系统的加速度a 及绳中的张力T1和T2；

（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1和T2。（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）。 答案：太长，略。

解：（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。 对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律 fT1?m1g?m1(?a)

N21aN?T2T2?m2gmg对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律 T2??N?m2a，N?m2g?0

T1T1对滑轮，应用转动定律

T2r?T1r?J????，并利用关系 a?r?，

a由以上各式，解得

m1??m2m1?m2?Jr2m1ga??g；T1?m2??m2?m1?m2?JrJ22?m1g；T2?m1??m1??m1?m2?JrJr22?m2g

r（2）??0时

m1m1?m2?Jr2a??g；T1?m2?Jr2m1?m2?Jr2?m1g；T2?m1m1?m2?Jr2?m2g

3.一匀质细杆，质量为0.5Kg，长为0.4m，可绕杆一端的水平轴旋转。若将此杆放在水平位置，然后从静止释放，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。 答案：（1）0.98J；（2）8.57rad/s。 解：根据机械能守恒定律，有：mg别为：

Ek?12J??mg2l2?12J?。杆转动到铅直位置时的动能和角速度分

2l2?0.5?9.8?0.2?0.98J；??mglJ?mgl13ml2?3gl?8.57rad/s

21

第22页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

2

4．如图所示，滑轮的转动惯量J=0.5kg?m，半径r=30cm，弹簧的劲度系数k=2.0N/m，重物的质量m=2.0kg。当此滑轮——重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。滑轮与绳子间无相对滑动，其它部分摩擦忽略不计。问物体能沿斜面下滑多远？当物体沿斜面下滑1.00m时，它的速率有多大？ 答案：（1）11.8m；（2）1.7m/s。

解：以启动前的位置为各势能的零点，启动前后应用机械能守恒定律

12kx?2J k 37?12mv?212Jvr22?mgxsin37?0

0（1）v?0时，得x?0或x?（2）x?1时

mgsin37??v?12m?2?2.0?9.8?sin37?2?11.8m

121J2r2kx22.0?9.8?sin37???12?2.0?11?22(0.3)20.5?2?12?1.7m/s

5．长l?0.40m、质量M?1.00kg的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量m?8g的子弹以v?200m/s的速率从A点射入棒中，A、O点的距离为3l/4，如图所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。 答案：（1）8.9rad/s；（2）94.5?。 解：（1）应用角动量守恒定律

O mv?34l?1?3?2Ml??m?l?? 3?4?3mv?34?8?10?3234?200???0.4??8.9rad/s

ll 得 ??4A 9?1?m?l?M?16??39?1?3?8?10??1?10?3（2）应用机械能守恒定律

1?13?2l3ll3l2Ml?m(l)??Mg?mg??Mgcos??mgcos? ?2?342424??ml38cos??1?????0.079，

2M?3mg2M?9得 ??94.5?

习题四 一、选择题

1．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为

22

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当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二x1?Acos(?t??)。

个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为 [ ] （A）x2?Acos(?t???12π)； （B）x2?Acos(?t???3212π)；

（C）x2?Acos(?t???π)； （D）x2?Acos(?t????)。

答案：B

解：由题意，第二个质点相位落后第一个质点相位π/2，因此，第二个质点的初相位为??12π，所以答案应选取B。

2．劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为［］

（A）T?2?m(k1?k2)2k1k2；（B）T?2?m(k1?k2)2mk1?k2 ；

1 （C）T?2π答案：C

m(k1?k2)k1k2k2 ；（D）T?2?。

m 解：两根弹簧串联，其总劲度系数k?k1k2k1?k2，根椐弹簧振子周期公式，T?2πmk，

代入k?k1k2k1?k2可得答案为C。

3．一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量J?微小振动的周期为［］ （A）2?答案：C

解：由于是复摆，其振动的周期公式为T?2π?2π2Jmgl?2π2l3glg13ml，此摆作

2Ol l2g； （B）2?； （C）2?2l3g； （D）?l3g。

?，所以答案为C。

23

第24页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

(A) ????x (B) o 12A o 12A ??x (C) ?12o A x (D) ?12A o x ??4．一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［］ 答案：B

解：根椐题意，此简谐振动的初相位为?

5．一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t?与t = T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为［］

1212

A，且向x轴的正方向

?3，或

5?3，所以答案为B。

?)．则该物体在t = 0时刻的动能

（A）1:4；（B）1:2；（C）1:1；（D）2:1。

答案：D

解：物体的速度为v??A?sin(?t?0时刻的动能为

122212π)，动能为

1412mA?sin(?t?2222212π)。所以在t =

mA?，t = T/8时的动能为mA?，因此，两时刻的动能之比为

2:1，答案应选D。

二、填空题

1．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为

x (cm)105O14710-10A = _______cm；? =__________rad/s；??=________。

答案：10；(?/6)；?/3。

解：由图可直接看出，A=10cm，周期T=12s，所以

??2?T?13t (s)?6

rad/；再由图看出，st=0时刻质点在位移5cm

处，下一时刻向着平衡位置方向移动，所以其初相为??=?/3。

2．一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。当振子处在位

A O x a d b c f e t 移为零、速度为??A、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的________点；当振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为??A和弹性力为?kA的状态时，应对应于曲线上的____________点。

24

2-A

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答案：（b，f）；（ a，e）。

解：因b和f点对应着位移为零、速度为??A、加速度为零和弹性力为零的状态，a，e.点对应着位移的绝对值为A、速度为零、加速度为??2A和弹性力为?kA的状态。

3．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。其合振动的振 ·x 幅为__________________________；合振动的振动方程

为_____________________________。

答案：A2?A1；x?A2?A1cos(2?t?1?)。

T2A2 A1 O -A1 -A2 x1(t) T x2(t) t

解：由图可知，两振动其初相位差为?，所以其合振动的振幅为A2?A1又由公式

tan??A1sin?1?A2sin?A1cos?1?A2cos?22，而?1??2, ?2?3?2，由此得???2。所以合振动的振动方

程为

x?A2?A1cos(2?t?1?) T2

4．在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5g的小球，弹簧伸长l=1cm而平衡。经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4cm的振动，则小球的振动周期为__________；振动能量为_________________。 答案：0.201s； 3.92?10-3J。

解：平衡时，有k?l?mg，所以k?mg/?l。

（1） （2）

E?T?2π?2πmk2?2?2π?lg?0.201s；

-312kA?1mg2?lA= 3.92?10J。

5．为测定某音叉C的频率，选取频率已知且与C接近的另两个音叉A和B，已知A的

频率为800 Hz，B的频率是797 Hz，进行下面试验： 第一步，使音叉A和C同时振动，测得拍频为每秒2次。 第二步，使音叉B和C同时振动，测得拍频为每秒5次。

由此可确定音叉C的频率为______________。 答案：802 Hz

解：设音叉C的频率为?，由??800?2和??797?5，联立求得??802Hz。

三、计算题

25

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1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0=1.2cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。 答案：x?2?10?2cos(9.1?t)。

解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数

k?mg/l0

选平衡位置为原点，向下为正方向。小球在x处时，根据牛顿第二定律得

mg?k(l0?x)?mdxdt22

l0 mg kl0 x x mg k(l0+x) 将k?mg/l0代入整理后得

dxdt22?gl0x?0

所以此振动为简谐振动，其角频率为

??gl0?28.58?9.1π

设振动表达式为x?Acos(?t??)

由题意：t?0时，x0?A?2?10?2m，v0?0，由此解得??0。 所以x?2?10?2cos(9.1?t)

2．一质量m?0.25kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k?25N/m。

（1）求振动的周期T和角频率?；

（2）如果振幅A?15cm，t?0时物体位于x?7.5cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相?；

（3）写出振动方程表达式。

答案：（1）T?0.63s，??10rad/s；（2）v0??1.3m/s，??（3）x?15?10km?213π；

cos(10t?13?)。

解：（1）???10rad/s，T?2π??0.63s；

（2）A?15cm；当t?0时，x0?7.5cm，v0?0，

26

第27页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

由A??v?x??0?

???2022得v0???A2?x0??1.3m/s

由??tg?1?v0?x0，得??13π，或π

43π

因x0?0，所以应取??（3）振动方程

13 x?15?10?2cos(10t?13?) (SI)

3．一质点作简谐振动，其振动方程为

x?6.0?10?2cos(13?t?14?) (SI)

（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？

（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 答案：（1）x??4.24?10?2m；（2）0.75 s。 解：（1）势能WP?由题意 （2）周期T?12kx212kx；

22总能量E?A212kA

?22?kA/4，x????4.24?10m。

2π??6s

从平衡位置运动到x??A2的最短时间?t为T/8，所以

t??t?0.75 s

4．一质量M = 3.96 kg的物体，悬挂在劲度系数k = 400 N/m的轻弹簧下端．一质量

m = 40g的子弹以v = 152 m/s的速度从下方竖直朝上射入物体之中，然后子弹与物体一

起作谐振动．若取平衡位置为原点。x轴指向下方，如图，求：

（1）振动方程（因m ?? M，m射入M后对原来平衡位置的影响可以忽略）；

（2）弹簧振子的总能量。 答案：（1）x?0.152cos(10t?12?)；（2）E?4.62J。

mvM?mxOkMvm解：（1）由动量守恒定律mv?(M?m)V，得V?；

27

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又

?0?kM?m?10rad/s

t?0时，

x0?0?Acos?v0??A?0sin???VA =0.152 m，??由上二式解得

12π，

所以，振动方程x?0.152cos(10t?

（2）振子中的总能量E?1212?) (SI)

2(M?m)V?4.62J

5．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为

x1 =5?10cos(4t +-2?3)(SI) ，x2 =3?10sin(4t --2?6)

画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。 答案：（1）旋转矢量如图；（2）合振动方程x=2?10-2cos(4t +解：x2 =3?10-2sin(4t -?6)=3?10cos(4t --2?3)。 2?3 ??6-2)=3?10cos(4t --2)

作两振动的旋转矢量图，如图所示。由图得，合振动的振幅和初相分别为

A = (5-3)cm = 2cm， ?=?A1?A ???3，所以

?3) (SI)

合振动方程为x=2?10-2cos(4t +O ?????A2 ??????x 习题五

??

一、选择题

1．已知一平面简谐波的表达式为y?Acos(at?bx)（a、b为正值常量），则［］

（A）波的频率为a；（B）波的传播速度为b/a； （C）波长为? / b；（D）波的周期为2? / a。 答案：D

解：由y?Acos(at?bx)?Acos(2?2?/at?2?2?/bx)，可知周期T?2?a。波长为

2?b。

2．如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点．已知P点的振动方程为y?Acos?t，则［］

（A）O点的振动方程为y?Acos??(t?l/u)?; （B）波的表达式为y?Acos??[t?(l/u)?(x/u)]?；

O

28

yuPl2lCx

第29页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

（C）波的表达式为y?Acos??[t?(l/u)?(x/u)]?； （D）C点的振动方程为y?Acos??(t?3l/u)?。

答案：C

解：波向右传播，原O的振动相位要超前P点?l/u，所以原点O的振动方程为

y?Acos??[t?(l/u)??0]?，因而波方程为y?Acos{?[t?xu?lu]}，可得答案为C。

3．一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在t?t?时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振动方程为［］

（A）y?acos[ub(t?t?)?ub?2]； ?2]；

a O b y u （B）y?acos[2?（C）y?acos[?（D）y?acos[?答案：D

ubub(t?t?)??(t?t?)?(t?t?)?2?2]； ]。

x

解：令波的表达式为y?acos[2π(?t?当t?t?，y?acos[2π(?t??x)??]

x?)??]

?由图知，此时x?0处的初相2π?t?????由图得??2b， ??

故x?0处y?acos[2π?t??]?acos[πubπ2，所以???π2?2π?t?，

u??u2b

π2(t?t?)?]

4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［］

（A）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒；

（B）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等；（D）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。 答案：D

解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势能也最大。运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。媒质质元的振动动能和弹性势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。所以答案应选D。

29

第30页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

5．设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为?S。若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度vR沿着S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为［］

（A）?S； （B）答案：A

解：位于S、R连线中点的质点P相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是声源的频率?S

二、填空题

1．已知一平面简谐波的表达式为y?0.25cos(125t?0.37x) (SI)，则

x1= 10m点处质点的振动方程为________________________________； x1= 10m和x2= 25m两点间的振动相位差为_____________。

u?vRu?S； （C）

uu?vR?S；

（D）

uu?vR?S。

答案：y?0.25cos(125t?3.7) (SI)；????5.55 rad。 解：（1）x1= 10m的振动方程为y（2）因x2= 25m的振动方程为yx?10?0.25cos(125t?3.7) ?0.25cos(125t?9.25)

x?25所以x2与x1两点间相位差????2??1??5.55 rad

2．如图所示，一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动方程为yP?Acos(?t??)，则

O处质点的振动方程___________________________________；

该波的波动表达式_____________________________________。 答案：y0?Acos[?(t?Lu)??]；y?Acos[?(t?Lux?Lu)??]

LPOux

解：（1）O处质点振动方程y0?Acos[?(t?（2）波动表达式y?Acos[?(t?

x?Lu)??]

)??]

3．图示为一平面简谐波在t?0时刻的波形图，则该波的波动表达 式__________________________________； P处质点的振动方程

为_________________________________。

O P 0.20 0.40 y (m) u = 0.08 m/s x (m) 0.60 30

-0.04

第31页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

答案：y?0.04cos[2?(t5?x0.42)??2] (SI)；

yP?0.04cos(0.4?t?3?) (SI)。

解：（1）O处质点，t?0时

y0?Acos??0，v0??A?sin??0 所以???= 5s 0.08tπ故波动表达式为y?0.04cos[2π(?)?] (SI)

50.4221π，

又有T??ux?0.40（2）P处质点的振动方程为

yP?0.04cos[2?(t5?0.20.4)??2]?0.04cos(0.4?t?3?2) (SI)

4．一平面简谐波，频率为1.0?103Hz，波速为1.0?103m/s，振幅为1.0?104m，在截面面积为4.0?10?4m2的管内介质中传播，若介质的密度为8.0?102kg?m?3，则该波的能量密度__________________；该波在60 s内垂直通过截面的总能量为_________________。 答案：1.58?105W?m?2；3.79?103 J。 解：（1）I?（2）

12??A??2???A?

22222?1.58?105W?m?2

?3w?P??t?IS?t?3.79?10 J。

5．如图所示，两列相干波在P点相遇。一列波在B点引起的振动是y10?3?10?3cos2πt；

?3另一列波在C点引起的振动是y20?3?10cos(2?t?1?)；令

2BPBP?0.45 m，CP?0.30 m，两波的传播速度u= 0.20 m/s。若不

考虑传播途中振幅的减小，则P点的合振动的振动方程为 ____________________________________。 答案：y?6?10?3cos(2πt?12π)(SI)。

C

解：第一列波在P点引起的振动的振动方程为

y1?3?10?3cos(2πt?1212π)

第二列波在P点引起的振动的振动方程为

y2?3?10?3cos(2πt?π)

所以，P点的合振动的振动方程

31

第32页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

y?y1?y2?6?10?3cos(2πt?12π)

三、计算题

1．平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2cm，频率为50Hz，波速为200 m/s．在t?0时，x?0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动，求x?4m处媒质质点振动的表达式及该点在t?2s时的振动速度。 答案：（1）y?2?10?2cos(100πt?12（2）v?6.28 m/s。 π)；

解：设x?0处质点振动的表达式为y0?Acos(?t??)， 已知t?0时，y0 = 0，且v0 > 0，所以???12π，因此得

?2y0?Acos(2π?t??)?2?10cos(100πt?121π)

由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为

y?Acos(2π?t???2π?x?4m处的质点在t时刻的位移

xu)?2?10?2cos(100πt?2π?12πx)

y?2?10?2cos(100πt?12π)

该质点在t?2s时的振动速度为

v??2?10?2?100πsin(200??12π)?2π= 6.28 m/s

2．一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为??，P处质点的振动规律如图所示．

（1）求P处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式；

（3）若图中d?1?，求坐标原点O处质点的振动方程。

2答案：（1）yP?Acos(?t??)；

21yP (m)?解：（1）由振动曲线可知，P处质点振动方程为

4yP?Acos[(2?4t)??]?Acos(12（2）y?Acos[2?(t?x?d)??]（；3）y0?Acos(1?t)。

20-A1t (s)dO

Px

?t??)

（2）波动表达式为y?Acos[2?(t4?x?d?)??]

（3）O处质点的振动方程y0?Acos(1?t)

2

32

第33页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

x3．一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为y?Acos2π(?t?简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为y?2Acos2π(?t?求：（1）x??4x)

?)，而另一平面

?处介质质点的合振动方程；（2）x?12?4处介质质点的速度表达式。

答案：（1）y?Acos(2π?t?解：（1）在x??4（2）v?2π?Acos(2π?t?π)。 π)；

处

y1?Acos(2??t?1212?)，y2?2Acos(2??t?12?)

因y1与y2反相，所以合振动振幅为二者之差：As?2A?A?A，且合振动的初相?与振幅较大者（即y2）的初相相同，为合振动方程y?Acos(2π?t?（2）x??4?。所以，

12π)

处质点的速度

v?dydt??2π?Asin(2π?t? 12π)?2π?Acos(2π?t?π)

4．设入射波的表达式为y1?Acos2?(x??tT)，在x?0处发生反射，反射点为一固定

端。设反射时无能量损失，求

（1）反射波的表达式；（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置。 答案：（1）y2?Acos[2π(（2）y?2Acos(（3）波腹：x?2πx??π2tT)?π]??Acos2π(2πTt?π2x??tT)； sin122πtT?x?12)cos()??2Asin2πx?；

12(n?)? n?1,2,3,?；波节：x?n? n?1,2,3,?。

解：（1）反射点是固定端，所以反射有相位?的突变，且反射波振幅为A，因此反 射波的表达式为

y2?Acos[2π(x??tT)?π]??Acos2π(x??tT)

（2）驻波的表达式是

y?y1?y2?2Acos(2π?x?π2)cos(2πTt?π2)??2Asin2πx?sin2πtT

33

第34页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

（3）波腹位置满足：2?x/??x?12(n?12)? n?1,2,3,?

12??n?，即

波节位置满足 2?x/??x?1212??n??12?，即

n? n?1,2,3,?

5．在大教室中，教师手拿振动的音叉站立不动，学生听到音叉振动声音的频率

?0?1020Hz；若教师以速度v?0.5m/s匀速向黑板走去，则教师身后的学生将会听到拍

音，试计算拍频（设声波在空气中的速度为V?340m/s）。 答案：???3Hz。

解：因声源远离学生，所以由音叉直接传来至学生处的声波频率

???VV?v340340?0.5?0??1020?1018.5Hz

黑板接收到的音波频率（声源朝向黑板运动）

????VV?v?0?340340?0.5?1020?1021.5Hz

黑板固定不动，所以黑板反射的声波频率????等于黑板接收到的声波频率??? 即

?????????1021.5Hz

???????????3Hz

故，学生听到的拍的频率为

习题六 一、选择题

1．如图所示，在杨氏双缝干涉实验中，设屏到双缝的距离D =2.0m，用波长?=500nm的单色光垂直入射，若双缝间距d以0.2mm?s的速率对称地增大（但仍满足d<< D），则在屏上距中心点x =5cm处，每秒钟扫过的干涉亮纹的条数为[ ] （A）1条；（B）2条；（C）5条；（D）10条。 答案：D

解：缝宽为d时，双缝至屏上x处的光程差为??dDx。所以当d增大时，光程差改变，

-1

引起干涉条纹移动。若干涉条纹移动N条，则对应的光程差改变为????????N?，依题意，经1s，光程差的改变量为：

???d?0.2?xD34

?xdD?N?

第35页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

由此可解出N=10。

2．在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏上中央明纹中心位于图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S?位置，则 [ ]

（A）中央明条纹向下移动，且条纹间距不变； （B）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； （C）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大； （D）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变。 答案：D

解：条纹间距与参数d、D和?有关，而与光源的竖直位置无关。但光源下移时，在原O点处两光程差不再为0，而且光程差为0处必在O点上方，即中央明纹向上移动。

3．如图所示，波长为?的平行单色光垂直入射在折射率为n2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e，而且n1 >n2 >n3，则两束反射光在相遇点的位相差为 [ ] （A）4?n2e/?；（B）2?n2e/?； （C）??4?n2e/?；（D）???4?n2e/?。 答案：A

SS?S1S2On1?en2n3解：三层介质折射率连续变化，故上下两光之间无附加程差。垂直入射，所以反射光

??2n2e,???2????4?n2e?

4．借助于玻璃表面上所涂的折射率为n =1.38的MgF2透明簿膜，可以减少折射率为1.60的玻璃表面的反射。若波长为500nm的单色光垂直入射时，为了实现最小的反射，试问此透明薄膜的厚度至少为多少nm? [ ]

（A）5；（B）30； 答案：C

解：三层介质折射率连续变化，故上下两光之间无附加程差。垂直入射，所以反射光

??2ne

（C）90.6； （D）250； （E）1050。

反射相消条件：??2ne?(2k?1)?2,k?0,1,2?，由此得

?4ne?(2k?1)

35

第36页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

令k = 0，得所求薄膜的最小厚度为

e??4n?5004?1.38?90.6nm

5．用白光照射由竖直放置的铅丝围成的薄肥皂水膜时，将观察到彩色干涉条纹，其干涉条纹的特点是

（A）具有一定间距的稳定条纹； （B）条纹下移，其间距越来越大； （C）条纹下移，其间距不变； （D）条纹上移，其间距越来越大； （E）条纹上移，其间距不变。 答案：B

解：由于重力的作用，竖直的肥皂薄膜形成一个皂水劈尖薄膜，因此在白光照射下可观察到彩色干涉条纹。该劈尖干涉亮纹满足关系式??2nd?而言，一个确定级次k的干涉条纹出现在膜厚dk??2k?1?2nd12?2?k?，所以对一确定波长??4n处。由于重力作用，dk的

位置会逐渐向下移动，因而整体显示出彩色条纹逐渐下移。

由上述干涉公式可得k????d。开始时薄膜较厚，所以此时从劈尖往下的任

一处，k值都较大，说明此时干涉条纹较密。随着肥皂水下流，皂膜逐渐减薄，由于劈尖顶点位置不变，而其下方各处的d值变小，相应于劈尖角?减小。又由于相邻劈尖干涉条纹的间距l? 二、填空题

1．双缝干涉实验中，若双缝间距由d变为d?，使屏上原第十级明纹中心变为第五级明纹中心，则d?：d=；若在其中一缝后加一透明媒质薄片，使原光线的光程增加2.5 ?，则此时屏中心处为第级纹。 答案：1:2；2级；暗纹。 解：（1）双缝干涉亮纹位置x??kDdDd??2n??1?，因此，随着?减小条纹间距越来越大。

?，x???k?据题意，k?2k?,x?x?.由此得出： ?，

（2）依题意，此时整个条纹平移，屏中心处光程不再为零，而为2.5?，即中心处满

d?:d?1:2足??5?

?2?(2?2?1)?2，干涉相消。与暗纹公式对照知，k = 2，即中心处为第2级暗纹。

2．用??600nm的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为

36

第37页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

_________ ?m。 答案：1.2?m。

解：牛顿环暗纹对应厚度为2d = k?。代入上述数据得出， d = 2?=1200nm=1.2?m.

3．当牛顿环干涉装置中的透镜与玻璃之间的空间充以某种液体时，第十个亮纹的直径由

1.4?10?2?2m变为1.27?10m，则这种液体的折射率n?。

答案：1.22

解：当牛顿环干涉装置中的透镜与玻璃之间为空气时，其第k级亮纹的直径为

dk?2(k?12)R?

而当透镜和玻璃间充以折射率为n的液体时，其第k级亮纹的直径为

dkn?2(k?12)R?n?2(k?12)R?n

两式联立解得

?d??1.4?n??k?????1.22

?1.27??dkn?22

4．利用光的干涉可以检验工件质量。将三个直径相近的滚珠放在两块平玻璃之间，用单色平行光垂直照射，观察到等厚干涉条纹如图a所示。问：

（1）滚珠（A，B，C）的直径介于三者中的最大与最小之间。

（2）若用手轻压A侧（如图b所示），发现条纹变密，则可以判

B图a CA断A球直径（最大，最小）。

（3）若用单色光波长?表示三个滚珠的直径之差，则

dA?dB?；dB?dC?；dA?dC?。

； ?。 答案：（1）B；（2）最小；（3）?；22?3解：（1）由于三个滚珠直径不等，使上、下两平板玻璃间形成一空气劈尖，因而可观察到等厚干涉条纹。从图a中干涉条纹的方向及三个滚珠的相对位置可知滚珠B的直径介于最大与最小之间。

（2）条纹间距

l??2sin???2?

CBA所以，当劈尖角?角减小，条纹变疏，反之，条纹变密。因用手轻压A侧时，观察到条纹变密，说明此时?角增大，因此劈尖角应在A侧，即A球直径最小。

图b

（3）由于相邻两干涉条纹对应的空气膜厚度差为dk?1?dk?37

?2

第38页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

由图a可知：

dA?dB?2??2??；dB?dC?1??2??2；dA?dC?3??2?32?

5．迈克尔逊干涉仪放在空气中，入射单色光波长?=0.5μm。

（1）若虚平板间距d = 1.0mm，则视场中观察到的干涉明纹有条；

（2）若虚平板间距增加?d（即可动镜移动距离?d），在视场中观察到有2000条条纹移动，则?d = (mm)；

（3）若在一光路插入折射率为1.5的玻璃片，在视场中观察到有100条条纹移动，则玻璃片的厚度e=(m)。

答案：（1）4000条；（2）0.5mm；（3）5?10?5m。 解：（1）两相干光的光程差为：

??2nd?2d

根据明纹条件??k?有

k?2d??2?10.5?10?3?4000条

（2）根据迈克尔逊干涉仪的工作原理，视场中每移过一条明纹，则可动镜平移了?/2的距离，现视场中移过2000条明纹，则有

?d?2000??2?0.5mm

（3）在某一光路插入玻璃片后，两相干光的光程差变为2(n-1)e，视场中有N=100条明纹移过，则有

2(n?1)e?N?

所以

e?N?2?n?1??100?5?102(1.5?1)?7?5?10?5m

三、计算题

1．用很薄的云母片（n =1.58）覆盖在双缝实验中的一条缝上，这时屏幕上的零级明条纹移到原来的第七级明条纹的位置上。S1如果入射光波长为550nm，试问此云母片的厚度为多少？

S2答案：6.64?10?6m (6.64 μm)。

解：设云母片的厚度为l。有云母时，两光的光程差为

OP 38

第39页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

??x?0x?0xdD?(n?1)l

处的光程差为??(n?1)l 处为k?7级明纹时

??(n?1)l?k?，l?k?n?1?7?550?10?91.58?1?6.64?10?6m

2．在双缝干涉实验装置中，屏幕到双缝的距离D远大于双缝之间的距离d，对于钠黄光（??589.3nm），产生的干涉条纹，相邻两明条纹的角距离（即相邻两明条纹对双缝处的张角）为0.20?。

（1）对于什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄光测得的角距离大10%？

（2）假想将此装置浸入水中（水的折射率n?1.33），用钠黄光垂直照射时，相邻两明条纹的角距离有多大？ 答案：（1）648.2nm；（2）0.15?。

D??xDd??Dd解：（1）

??????????

?????1?10%1n，???(1?10%)??589.3?1.1?648.2nm

1n???0.20?1.33?0.15?

(2)

?????????，????

3．如图所示，用白光垂直照射折射率n2?1.4的薄膜。（1）若薄膜的厚度为350nm，且问在反射光中哪些波长的可见光得到加强？（2）若薄膜厚度为400nm，n1?n2, n2?n3，

且n1?n2?n3，则在反射光中又有哪些波长的可见光得到加强？ 答案：（1）653.3nm；（2）560nm

解：（1）依题意，此时在第一个界面的反射光无半波损失，而在第二个界面的反射光存在半波损失。所以，从薄膜上下表面反射的两光之间的光程差为

??2nd??2n1n2dn3

若某波长的光在反射中加强，该波长应满足

2nd??2?k?k?1,2,3... ?19602k?1nm

解得 ??4nd2k?1?4?1.4?3502k?1 39

第40页共65页 1 质点运动学习题详解习题册-上-1

在可见光范围内，只有k=2符合，相应波长为??

19602?2?1=653.3nm为红光。

（2）此时光在第一和第二个界面反射时均无半波损失。所以，从薄膜上下表面反射

??2nd

的两光之间的光程差为 干涉相长的条件为

2nd?k?k?1,2,3...

1120knm

??2ndk?在可见光范围内，可取k=2，相应波长为

??11202?560nm

4．玻璃表面附有一层厚度均匀的液体薄膜，垂直入射的连续光谱（波长范围在可见光及其附近）从薄膜反射。观察到可见光区波长为600nm的红光有一干涉相消，而波长为375nm的近紫外光有一干涉极大。设薄膜的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50，求薄膜的厚度。 答案：546nm

解：由于光在液体薄膜上下界面反射时都有半波损失，所以从薄膜上下两表面反射的两光间的光程差为

??2nd

当?1=600nm，干涉相消，所以

2nd??2k?1??12

当?2=375nm，干涉极大，所以

2nd?k??2

式中，n为液体膜的折射率。 联立以上两式得

?12?2k?1?即

2k?12?k??2

?600?k??375 45k???2k?1?

k, k?必须为整数。令k?2, 7, 12,?,，得k??4, 12, 20,?,。取k?2得

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