用判别式法求函数值域的几点思考

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数值域为[-,1).3

例2　求函数y=2的值域.

x+x+1

2

而不在定义域内,则此时的y值

内,反之在值域内.

不在值域d

思考2　为什么当二次项系数不为零时就有判别式Δ≥0呢?

当二次项系数不为零时,注意到例1、例2中函数定义域都为R,二次方程在R上有

实数解(否则函数的定义域为 ,与函数定义相矛盾),因此有Δ≥0.

例3　求函数y=

(2)

解　函数式变形为

(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0

的值域.

2x+x-1

2

解　函数式变形为2yx2+yx-(y+1)=0

(3)

当y=1时,方程(2)为2x=0,解得x=0在函数定义域内,∴y=1在函数值域中;

当y=0时,方程(3)为1=0,显然不成立,∴y=0不在函数值域中;

当y≠0时,∵方程有实根,∴Δ=y2+

当y≠1时,∵x∈R,∴Δ=(y+1)2-

2001年第20期　　　　　　　　　　　　　数学通讯5

8y(y+1)≥0,解得y>0或y≤-

,9

公因式为零的x值所对应的y值.当分子、分母只有一个一次公因式时,分式函数可化成yd(x-x1)(x-x2)=a(x-x1)(x-x3)(其中x2≠x3),再恒等变形为方程※,判

).∴函数值域为(-∞,-]∪(0,+∞

9

思考3　为什么函数定义域不为R时

仍可使用Δ≥0求解呢?

(其一般地,分式函数y=2

dx+ex+f

2

别式Δ=0时,=x1,显然不,Δ.(顺便提

中a+d≠0)+ex+)

,=ax2+bxc22

,,函数为常量函数,值域显然)

(x>0)的例5　求函数y=

x

值域.

2

存在Δ≥0x值使分母

dx+ex+f=0,则由于等式成立,必有分子ax+bx+c=0,于是分子、分母有公因式.

22

因此,当分子、分母无公因式时,使方程※成立的x值不可能使分式函数的分母等于零,从而仍然可用Δ≥0求y的范围.也就是说,象这类自然定义域(使函数解析式有意义的

x的取值集合)的分式函数求值域,当分子、

解　原函数可变形为

x2-(y+1)x+3=0

(5)

令f(x)=x2-(y+1)x+3(x>0),注意到

f(0)=3>0,所以方程(5)在x>0时有解的

条件为Δ≥0,且

分母无公因式时判别式法仍然适用.

例4　求函数y=解　函数式变形为

(y-1)x2-(3y+1)x+2y+2=0

(4)

的值域.2

x-3x+2

2

2

>0,解得y≥2-1.

于是原函数值域为

{y|y≥2-1}.思考

5　为什么这里不仅仅只用Δ≥0来求函数值域?

当分式函数的定义域不为自然定义域时,尽管分子、分母无公因式,也不能仅用判别式来求值域,可考虑其他方法,如根据方程在自变量的限制条件下有实根的充要条件即一元二次方程的实根分布理论来解决.

(收稿日期:2001-04-16)

当y=1时,方程(4)为-4x+4=0,解

x=1不在函数定义域内,∴y=1不在函数

值域中;

当y≠1时,∵方程有实根,∴Δ=(3y+1)2-4(y-1)(2y+2)≥0即(y+3)2≥0,

而该不等式恒成立.∴y∈R且y≠1.但当Δ=0即y=-3时,方程(4)的解为x=1不在函数定义域内.

∴函数值域为{y|y≠1且y≠-3,y∈R}.思考4　为什么必须且只需检验Δ=0时的y值呢?

2(其中a2+当分式函数y=2

dx+ex+fd≠0)分子、分母有公因式时,可先约去公

2

因式后再来求值域,但必须在值域中去掉使

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