同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

1

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)3811411

02

---

解 3811411

2---

2(4)

30(1)(1)118 013

2(1)81(4)(1) 248

1644 (2)b a c a c b c

b a

解 b a c a c b c

b a

acb bac

cba bbb aaa ccc 3abc a 3

b 3

c 3 (3)2221

11c b a c b a

解 2221

11

c b a c b a

2

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2

(a b )(b c )(c a )

(4)y x y x x y x y y x y x +++

解 y x y x x y x y y x y x +++

x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3

3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3

2(x 3y 3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n )

解逆序数为

2)1

(

n

n

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2(2n1)4(2n 1)6

(2n1)(2n 2) (n1个)

(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2

解逆序数为n(n1)

3 2(1个)

5 2 5 4 (2个)

(2n1)2(2n1)4(2n1)6

(2n1)(2n2) (n1个)

4 2(1个)

6 2 6 4(2个)

(2n)2(2n )4(2n)6(2n)(2n2) (n1个)

3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

3

4 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为

(1)t a 11a 23a 3r a 4s

其中rs 是2和4构成的排列

这种排列共有两个 即24和42

所以含因子a 11a 23的项分别是

(

1)t a 11a 23a 32a 44(1)1a 11a 23a 32a 44a 11a 23a 32a 44 (1)t a 11a 23a 34a 42(

1)2a 11a 23a 34a 42a 11a 23a 34a 42 4 计算下列各行列式

(1)71

100251020214214 解 71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-?---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c (2)2605232112131412-

5 解 2605232112131

412-260503212213

041224--

=====c c 0

41203212

21

3

041224--=====r r

0000321221304

1214=--=====r r

(3)ef cf bf de cd bd ae

ac ab ---

解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e

c

b adf ---=

abcdef adfbce 41111111

1

1

=---=

(4)d

c b a 1001100110

01---

解 d c b a 100110011001---d

c b

a

ab ar r 1001100

1101021---++=====

d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad

a a

b d

c c

cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23abcd ab cd ad 1 5 证明:

6 (1)1

112222b b a a b ab a +(a b )3;

证明 1112222b b a a b ab a +001

2222

2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=(a b )3 (2)y

x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明

bz

ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bz

ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 z

y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=

7 y

x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y x z x z y z y x b a )(33+=

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

22222222

2222

222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明

2

22222222

2222

222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4c 3 c 3c 2 c 2c 1得)

5

2321252321252321

252

3

2

122222++++++++++++

=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4

c 3 c 3c 2得) 0

2

21222122

21

2221

22222

=++++=d d c c b b a a

8 (4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a

(a b )(a c )(a d )(b c )(b d )(c d )(a b c d );

证明

4444

222

21111d c b a d c b a d c b a )

()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=

)

()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= )

)(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=

=(a b )(a c )(a d )(b c )(b d )(c d )(a b c d )

(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +???-?????????????????????-???--- x n a 1x n 1

a n 1x a n

9

证明 用数学归纳法证明

当n

2时

2121

221a x a x a x a x D ++=+-= 命题成立

假设对于(n 1)阶行列式命题成立

即

D n

1

x n 1

a 1 x n

2

a n 2x a n 1

则D n 按第一列展开

有

1

11

00 100 01

)1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n xD n

1

a n x n a 1x n 1

a n 1x a n

因此 对于n 阶行列式命题成立

6 设n 阶行列式D

det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时

针旋转90

、或依副对角线翻转

依次得

n nn

n a a a a D 11111 ????

???????????= 1

1112 n nn

n a a a a D ???????????????=

11

113 a a a a D n n

nn ????

???????????=

证明D

D D n n 2

)1(21)

1(--== D 3D

证明 因为D det(a ij ) 所以

10

n

nn n n n n

nn

n a a a a a a a a a a D 221

1

111

111111 )1( ?

?????????????????-=???????????????=- ???=?

????????????????????--=-- )1()1(331

1

221

11121n

nn n n

n n n a a a a a a a a D D n n n n 2

)1()1()2( 21)1()1(--+-+???++-=-=

同理可证 nn

n n n n a a a a D ???????????????-=- )1(11112

)1(2D D n n T

n n 2)

1(2)1()1()1(---=-=

D

D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22

)1(3)1()

1()

1()1(

7

计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)

(1)a

a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a 未写出的

元素都是0

解

11 a

a a a a D n 0 0010 000 00 0000 00

10 00?????????????????????????????????=(按第n 行展开) )1()1(10 000

00 0000 0010 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a

n

n n n n a a a

+???-?-=--+)2)(2(1 )1()1(a n a n 2a n 2(a 21)

(2)x

a a a x a a a x

D n ?????????????????????= ; 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行

得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0

再将各列都加到第一列上 得

12 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 00 )1([x (n 1)a ](x a )n 1

(3)1 1

1 1

)( )1()( )1(11

11???-?????????-??????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n

n n ; 解 根据第6题结果 有

n n

n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(11

12)1(1-???--?????????-??????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式 ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112)1()]([)

1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-?-?-=1121 )1(2)1()()1()

1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-=

11)(j i n j i

13 (4)n

n n

n n d c d c b a

b

a D ?

??????

?????=

11112;

解

n

n n

n n d c d c b a

b

a D ?

??????

?????=

1

1112(按第1行展开)

n

n n n n n d d

c d c b a

b

a a 0

00 0

11111

111----?

??????

?????=

0)1(1

11

11

11

112c d

c d c b a b a b n n n n n n n ----+?

??????

?????-+ 再按最后一行展开得递推公式 D 2n a n d n D 2n 2b n c n D 2n 2 即D 2n (a n d n b n c n )D 2n 2

14 于是 ∏=-=n i i i i i n D c b d a D 22

2)(

而 111111112c b d a d c b a D -==

所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(

(5) D

det(a ij ) 其中a ij |i j |; 解 a ij |i j |

0 4321

4 01233 10122 21011 3210)det(???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0 4321

1 11111 11111 11111 1111 2132???----?????????????????????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r 1 5

242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-???----?????????????????????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c (1)n 1(n 1)2n 2

(6)n

n a a a D +??????????????????+???+=1 11 1 111 1

121, 其中a 1a 2

15

a n 0

解

n

n a a a D +??????????????????+???+=1 1

1 1 111

1

12

1 n

n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????

?????-???-???-???-=====--10 0001 000 100 0

100 0100 00

113322

1

2132 1

1

1

1

3

1

2

1

121110

11 000 00 110

00 011

00 001 ------+-???-????

???????????????????????-???-??????=n

n n a a a a a a a a

∑=------+?????????????????????????

??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1

1

11

131******** 0001

0 000 00 100

00 01000 001

)

11)((121∑=+=n

i i

n a a a a

8

用克莱姆法则解下列方程组

16 (1)?????=+++-=----=+-+=+++0

1123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

解 因为 14211213513241211111

-=----=D

14211210

5132412211151-=------=D 28411

203512241211151

2-=-----=D 426110135232422115113-=----=D 14202132132212151114=-----=D

所以 111==D D x 222==D D x 333==D D x 144-==D D x

(2)???

????=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x

17

解 因为 6655

1000

6510006510

0651

00065==D

1507510016510006510

0650

000611==D 1145510106510006500

0601000152-==D

703511006500006010

0051

001653==D 3955

1

6010000510

0651010654-==D

2121

1

0510006510

0651

100655==D

所以

665

1507

1=x 6651145

2-=x 665703

3=x 665

395

4-=x

665

212

4=x

9 问 取何值时 齐次线性方程组

?????=++=++=++0

200

321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 系数行列式为

18 μλμμμλ-==1

211111D 令D 0 得

0或1 于是

当0或1时该齐次线性方程组有非零解

10 问取何值时 齐次线性方程组?????=-++=+-+=+--0

)1(0)3(20

42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式为

λ

λλλλλλ--+--=----=101112431111132421D

(1)3

(3)4(1)2(1)(3) (1)32(1)23 令D

0 得

0 2或3 于是

当0 2或3时 该齐次线性方程组有非零解

19

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

?????++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x

求从变量x 1 x 2

x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知

???? ?????? ??=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ??=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y

?????-+=-+=+--=3

21332123211423736947x x x y x x x y x x x y

2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3

2133212311542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2

x 3的线性变换

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