线性代数讲义(1)

《线性代数》讲义 第 1 页 共 30 页

第一章 行列式

一、2、3阶行列式---之计算方法：对角线法则 1、

ab?ad?cb cdabehcf?(aei?bfg?cdh)?(ceg?bdi?afh) i2、dg3、克莱姆法则（见课本p84?85页） 4、补充习题：

ae00x?11（1）计算：a）2 b） 0ab c） bxx2?x?10cdca2b2c2a3b3（答：abc(b?a)(c?a)(c?b)）

c31a12特别地：Vandermonde（范德蒙）行列式结论a1...1a22a2...........................1an2?an...1?j?i?n?(ai?aj)

n?1n?1a1n?1a2......ank34（2）解方程：?1k0?0

0k1a11（3）填空：0?10?0的充分必要条件是 4aa二、n阶行列式

1、n阶行列式定义：行列式的值等于第一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。 2、概念：元素aij余子式Mij及代数余子式Aij?(?1)i?j?Mij

000...0...0a10n(n?1)...?(?1)2?a1a2...an 003、计算行列式方法：行列式的值等于任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和。

00a2...0?a1a2...an??ai；4、结论：（1）（2）...............i?1000...ananna10...0...a2......00...an?1...a1(2)证明：设Dn?a2...an，以后都按第一行展开

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a2Dn?a1(?1)n?1a3?a1a2(?1)n?1?(?1)n??...??ai(?1)(n?1)?n???3

nai?1nannnn(n?1)??a(n?1)?n???3i(?1)?2

i?1?n(n?4)(n?1)ai(?1)2?i?1?ai(?1)i?1【-1的指数可以全部下降2，由1到n-1，更好理解】

5、例题与习题：

00?0100?20n(n?1)（1）计算：a） ?????（答：(?1)2n!） 0n?1?00n0?000...01按第一列展开0【解：原式???????(?1)n?1?n0...20.........?(?1)(n?1)?n?n(n?1)...n?1...00n?2(n?4)(n?1)n(n?1)?...?(?1)(n?1)?n?...?3?n!?(?1)2?n!?(?1)2?n!】

010?050000010002?000001002b) ?????（答：(?1)n?1n!）c）00020； d）000000?n?100300000n00?004000500x010（2）解方程：

00020x00?1； （答：x??16）

3405a00...00000...0b（3）计算n阶行列式

000...b0(n?1)(n?2) （答：(?1)2...............?abn?1）

00b...000b0...00bb【解：原式Dbn?a??ab(?1)n??ab2(?1)n?(n?1)bb(n?2)b(n?1)mshzq

1...

0000030；（c、d答：5!）0400b??

(n?3)

...... ?《线性代数》讲义 第 3 页 共 30 页

n?1n?(n?1)???3?ab(?1)三、n阶行列式的性质 1、性质

?ab(?1)n?1(n?2)?(n?3)???3?2?1?(?1)(n?1)(n?2)2?abn?1】

T（1）、转置行列式值不变，即A?A。

（2）、任意两行（列）互换，值改变符号。 （3）、如果有两行（列）的对应元素相同，或对应成比例，行列式值为零。

【补：行列式某一行（列）的所有元素全为零，行列式值为零】 （4）、行列式某一行（列）的所有元素乘以k，等于k乘以该行列式。（提取公因子！） （5）、将行列式某一行（列）的所有元素乘以k后，再加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变。 （6）、行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。 2、行列式计算约定记号：

1互换行列式的某两行（列），即ri?rj（ci?cj）【值变号】 ○

2非零数k遍乘某行（列），即kri（kci）【提取公因子】 ○

3某行（列）遍乘k加到另一行（列），即ri?krj（ci?kcj）【值不变】 ○

3、特殊行列式的计算

a1b1...00...0000..b1a10a2...（1）二条线型： 形如D1?.........0c01...0000...an?1...0000...a20...或D2?............... bn?1bn?1an?1...00an0an0...0c【称为二线型行列式，可以按照第一列或最后一列降阶展开】

0...100...01............例题：○

0n0...00...0002...；○...n?1n?1002?1...0...00............ 0...000...0n00（2）三对角型和次三对角型

?1例题：计算n阶行列式Dn?...002...0.........000... ---【重点题型】

...2?1...?12?1?1...00000按第一列展开0??????2Dn?1?Dn?2

00...02...?1...解：按第一行展开Dn?2Dn?1?(?1)1?2............0...?12

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即是Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?22?1） ???D2?D1??2?1（递推关系！

?12于是Dn?Dn?1?1?Dn?2?2???D1?(n?1)?2?(n?1)?n?1 （3）“两岸”行列式

x?aa1计算行列式：○Dn?...a...a12aa2...ax?a...a2D?3D?1；*○；○0nn.....................a1a...a111...10...03...0 ......a...ax?aaa...an100...x?aa...a11...1解：○1Dax?a...a将n?.........?????2,3...n行全加到1行[x?(n?2)a]ax?a...a......... aa...x?aaa...x?a10...0x?2a?x...0依次后列x?(n?2)a]ax?2a0按第一0x?2a...0减去前列????[.........????行展开[x?(n?2)].........

a0...x?2a00...x?2a(n?1阶)?[x?(n?2)a](x?2a)n?1

a1a...aa1a?a1...00○2D?aaa后列减aa2?a...002...n.........????前一列............【2010-10-24有了正解！】

aa...aa0..an?1?aa?an?1na0...0an?aaa11?a?10...0n1?aa1?a??aa第aa1行起n2?a1?1...0i?i?a00...0??????......其他行加n1?1...0各提取a????i?a?(ai?a)......i?1?(aaa22?ai?........ aan?1?a00...?1到第一行a)i?1...a00...?1aan?a00..1aan?1?aan?a00..11?1按第一nnnn行展开???(1??a)i?1ai?a?(a1?ai?a)?(1)i?1??1??i?1ai?a?(ai?a) i?11mshzq

n

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113D?1○n1201...1110...02依次各行提取各行乘（?1）13...0??????n!301...0?????n!1,2,?,n加到第一行........................100...1100...nn111...10...01??1kk?21213n0100...00...0

1..0...1...1n......00?n!?(1??)1kk?2n1?1(n?1)?n!?(1??1) kk?2n4、例题与习题

12（1）计算

342341341241（答案：160） 【注意：各行（列）元素之和为10！】 231a1?1...000a2......000...?1000（答案：1） ...an1?an?11?a10（2）计算n?1阶行列式

...001?a2......00......1?an?1【提示：将第一行加到第二行，所得第二行再加到第三行，如此继续，可解之！】

123...n1x?13...n2x?1...n?0（答案：x?1,2,...,n?1） （3）解方程1............123...x?1【提示：行列式第二行起，每一行减去第一行，可解！】

a1a2（4）计算n阶行列式...an?1an?1x...000...00?1...00.........（答案：a1xn?1?a2xn?2?...?an?1x?an） 0...x?10...0x【提示：从第一行起，每一行乘以x后逐次加到下一行，再按最后一行展开！】

30（5）

2024011010124?1?22?37?14（答案：6） （6）（答案：9） 15?92722?512mshzq

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x（7）

yx?yxyx?y2222?xx?y222?x2x（答：?2(x3?y3)）（8）（答：x2y2）

22?y22y2?y222x

ax

a

a...a

a...a

x...a（答：[x?(n?1)a](x?a)n?1）---【重点题型】

a

（9）计算n阶行列式a

............aaa...x

12*（10）32343...4...5...n1n(n?1)nn?1(n?1)22（答：(?1)）---【重点题型】 ?2............n12...n?1n(n?1)，有 2111?【解：各行都加到第一行，后提取

1232343...4...5...n11230110?01n(n?1)2?2............n12...n?11按第一行展开1最后一列n(n?1)2???????依次减前一列2????n12?n?111?n1第一行乘?1n(n?1)???????加到各行2111?n1各列加到n?1n(n?1)...????最后一列211?1?1...?1?1(n?2阶)

10...234?345?1?1?n1?1

?1???n1?n1?10......11?nn...nn...?n...00?11?11?1?nn(n?1)?????????211?n?11?n1?11各提取n(n?1阶)

0?n...?n0...10...1?1...001...110...00...?1n(n?1)n?2?????n?.........第二行起20?1...0?10...00...(n?1阶) 000?1?10按最后列展开???nn?1(n?1)?(?1)n?(?1)2mshzq

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1各行提???nn?1(n?1)（??1）n（??1）n?11取（?1）2...(n?2阶)

11?nn?1(n?1)（??1）n（??1）n?1?(?1)n?112...(n?3阶)??

1n(n?1)?nn?1(n?1)（??n?1n?(n?1)???32?nn?1(n?1)21）（??1）?(?1)2【注意：(?1)n?1?(?1)n?1】四、本章小结（略）

-----------------------------------------【人生不如意者十之八九，所以要常思一二】 第二章 矩阵

一、关于矩阵的一些概念

??a11a12...a1n???a11a12...a1n?m?n矩阵：?a21a22...a?2n??； n阶方阵：?a21a?22...a2n?.........??.........??；

?am1am2...a??mn?m?n?an1an2...a?nn?n?n

同型矩阵：行列数相同的矩阵；

??a1????a1?行矩阵：?a1a2...a?a2?；对角矩阵：?a?2n?；列矩阵：?????； ??????an????a?n???a11a12...a1n??0...0??上、下三角矩阵：?0a...a??a11222na22...0???.........??；?a21?.........??11?；单位矩阵E或I：???00...a??nn??an1an2...a???nn??零矩阵O：元素全部为零的矩阵。 二、矩阵的运算

1、同型矩阵的加减法 2、数乘矩阵：?A?(?aij)m?n

3、矩阵左乘积：设A?(aij)m?s，B?(bij)s?n，则乘积AB?C?(cij)m?n是个m?n矩阵

其中cij?ai1b1j?ai2b2j?...?aisbsj【即A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和为cij】 注意：

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????；

??

1《线性代数》讲义 第 8 页 共 30 页

1A的列数=B的行数，A才能左乘B；其积AB为A的行数，B的列数 ○

2一般不满足交换律：AB?BA，如若AB?BA，则称A、B是可交换的 ○

3不满足消去律：当AC?BC且C?O，也没有A?B ○

4两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 ○

4、运算律：○1结合律(AB)C?A(BC) ○2左右分配律 ○3数乘结合律

04幂：规定A?E，Ak○

??A...A，AkAl?Ak?l，(Ak)l?Akl【注意：(AB)l?AlBl】

k个5、矩阵的转置：设A?(aij)m?n将行列依次互换，为A的转置矩阵，记作：AT?(aji)n?m

性质○1(AT)T?A ○2(A?B)T?AT?BT ○3(kA)T?kAT ○4(AB)T?BTAT 6、当A?A时，称A为对称矩阵 7、例题与习题：

T?1???10（1）已知B?2，C?(3?11)，且A?BC 求A---【重点题型】

????1???3?11???【解：BC?6?22，CB?2，A2?(BC)(BC)?B(CB)C?2BC， ????3?11???3?11???A3?(BC)(BC)(BC)?B(CB)(CB)C?22BC，如此类推，有A10?29BC?29?6?22?】

??3?11??（2）矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|?m，求?mA

【解：?mA?(?m)A??m34】

5????10?0??? 15? 1?????? 02?0??10123?1?2?412 0????????312?1??02? 123???????（3）计算○1?246???1?2?4?○2?3?????01 1?○031 0?212??10???369?? 1 2 4??30?1?????????03?a00??000?3n?1?2??11?????（4）计算○1?2?3?0b0? ○4?a00? ○○???3 4? ?01? ?bc0??00c?????n5?2?1?5○??3?2??（答：n为奇数时，本身；n为偶数时，单位矩阵） ??mshzq

n

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?103??100?????（5）已知A??021?，B??021? 求○1?A?B??A?B?；○2A2?B2，可得出什么结论？

?001??301?????（6）判断题○1(AB)T?ATBT；【错】○2A2?E2?(A?E)(A?E)；【对】

23若A?O则A?O；【错】○4若AX○

?AY且A?O，则X?Y；【错】○5(AB)k?AkBk。【错】

（7）若A，B时可交换的，即AB?BA，求证○1(A?B)2?A2?2AB?B2；2?A?B??A?B??A2?B2 ○（8）单项选择题

1设有矩阵A3?2,B3?3,C2?3,D3?1，则下列运算中没有意义的是（ D ） ○

(A)BACD； (B)AC?DD?B； (C)AB?3C； (D)AC?DD

TTT?10a??1??a???????2若2?10?0?2，则a?（ C ） ○????????011?????1?????1??(A)

111 (B) (C) (D)1 4323设A，B均为n阶矩阵，A?O且AB?O，则下列成立的是（ D ） ○

22222(A)BA?O (B)B?O (C)(A?B)(A?B)?A?B (D)(A?B)?A?BA?B

4设A，B均为n阶矩阵，则下列命题正确的是（ B ） ○

22233(A)若A?E，则A?E 或?E (B) 若AB?BA，则(A?B)(A?AB?B)?A?B

kkk(C)若k正整数，则(AB)?AB (D)若矩阵C?O且AC?BC则A?B

5设A为m?n矩阵，则下列结论不正确的是（ A ） ○

(A)AA?AA是对称矩阵 (B)AA是对称矩阵 (C)E?AA是对称矩阵 (D)AA是对称矩阵

TTTTT?101???nn?16设A?020，n为正整数，且n?2，则A?2A?（ C ） ○????101?? (A) 2A (B)E (C)O (D) 22nn?1A

?101??202??101???????232【解：A?020?040?2A，A?020?2A，如此类推

??????????101???202???101??有A?2Ann?13?2n?1A?2?2n?2A?O，故选C】

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7设A，B均为n阶上三角矩阵，则下述结论中不正确的是（ D ） ○

(A)A?B仍为上三角矩阵 (B)kA 仍为上三角矩阵 (C)AB仍为上三角矩阵 (D)AB仍为上三角矩阵

TT8设矩阵B?(,0,...,0,)为1?n矩阵。记A?E?BB，C?E?2BB则AC?（ C ） ○

T(A)0 (B) ?E (C)E (D) E?BB

T1212【提示：AC?(E?BTB)(E?2BTB)?E?BTB?2(BTB)(BTB)?E?BTB?2BT(BBT)B】

?1???Tn9设矩阵A??0?，矩阵B?AA，n为正整数，则B?（ A ） ○

?1???(A)2n?1B (B) 2nB (C) 2n?1B (D) 2n?2B

?1??101??1???????TT【提示：B?AA??0??101???000?，而AA??101??0??2

?1??101??1???????所以，B2?(AAT)(AAT)?A(ATA)AT?2AAT，B3?(2AAT)(AAT)?22AAT，如此类推

有答案B?2三、矩阵的初等变换

1、矩阵的秩：阶梯型矩阵下的非零行的行数r为矩阵的秩，记作r(A)?r 2、矩阵的三种初等变换【主讲---初等行变换】

1对换变换：互换矩阵的两行（列），即ri?rj（ci?cj） ○

2倍乘变换：非零数k遍乘某行（列），即kri（kci） ○

3倍加变换：某行（列）遍乘k加到另一行（列），即ri?krj（ci?kcj） ○

结论：

☆初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵

☆矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变换得B，称A与B等价，记作：A?B 【用途：化矩阵为阶梯型矩阵（即可求矩阵的秩）；求逆矩阵；解线性方程组】 3、例题与习题

（1）用初等行变换化下列矩阵为阶梯型，写出它的秩

nn?1B，故答：A】

?11????21?22?16????2??1?211?2431?23?? ○○?? ○3?1????581181?2?????1?2?4??03?1?2???1?45?????123?17? ○4?3?211???05?10???435???30??2?

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?13?1?2?(2)?2(1)?13?1?2??13?1?2???(3)?3(1)??(3)?(2)??2?1230?7470?747??(4)?(1)??(4)?(2)??【解：○3? ??????????????32110?7470000???????1?43????5?7?00???0?74?00?是阶梯型了，2个非零行，所以，它的秩为2】

?010???（2）100????001??2009?123??001??456??010???????789????100??2010?456??

123??????789??3?010??100??010??100??010??010?????????????【解：100?010，100?010?100?100 ????????????????001???001????001???001????001????001???010???如此类推，奇指数的，有100????001??220092?010??

??100????001??2010?001??100??001???????同理，010?010，于是归纳，偶指数的，有010??????????100???001???100???010??123??100???????故，原式?100?456?010?????????001????789????001??四、逆矩阵与矩阵方程

?100???E

??010????001???010??123??456??100???456???123?】 ????????001????789????789???1?11、逆矩阵：n阶矩阵A，B，使得AB?BA?E，称A，B是可逆的，记作A?B且B?A

显然，依定义，就有结论：AA?1?A?1A?E

2、n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A?E；或A?0【称A是非奇异矩阵，亦称满秩矩阵】

?100???例如：3阶单位矩阵E??010?，E?1?0，它是满秩的

?001???1???21?1?21?(2)?2(1)?1?21??1?21???(1,2)??(3)?(1)?????21???????211???????0?33???01?1?秩为2，不满！而?1

?1?1?03?3??001?2?1?2?0??????????2况且，从行列式的值：11113、性质：

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?21?0，也说明，它不是满秩的！

1?2

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1(A?1)?1?A；○2(kA)○

?16AA?E?○

?1?1?1A；○3(AB)?1?B?1A?1；○4(AT)?1?(A?1)T○5AB?A?B kAA?1?1?A?A?1?1（互为倒数关系）

【○3证明：因为(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AA?1?E，于是(AB)?1?B?1A?1】 【○4证明：因为AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E，于是，(AT)?1?(A?1)T】 4、逆矩阵的求法○1(A?E)?初等行变换2伴随矩阵法：A????(E?A?1)；○【伴随矩阵：设A?(aij)n?n，Aij是A中元素aij的代数余子式，

?1?1*?A A?A11?A12*矩阵A??????A1n5、解矩阵方程： 1AX○

A21?A22?A2nAn1??An2??称为A的伴随矩阵。】

???Ann??B型【解法一：(AB)?初等行变换????(EX)；解法二：可先求A?1，则X?A?1B】

TTT1解出X，于是X?(X)】 ?BT，有ATXT?BT，依○

2XA?B型【对原方程两边转置，(XA)T○6、例题与习题

?a100?0a02?（1）求逆矩阵○1?00a3??.........??000?a1?10??...0??0?...0?（ai?0，i?1,2,3,...,n）（答：?0??...??...?0...an???...?1??30??2?0??（答：?3?01?

??3???0?0?1a20...0231?30000?1a3...000351?50??0? 0?）?...??1...an??.........?0??0??） 1??5?2??5??1

01??2?1?3?2??2????21?2?1（答：1?5?3）○3?○?????0?????132?164??????0

21000021

?1?14?○?3??2

12750021

0?

?11?1???210?0??? 6?1?21? ? ○2502○????3?

??12???0??1?11??2?

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?11?1??32???210??123???????022X?10X1?21?(2) 解矩阵方程○12

???012? ???? ○?????12??0??1?11????21??2?2??11?132??11?13?11?13???(??02???0111/2? 3)?(1)210??2100【○1解：02??????????1?11?21???0?22?5?1???001?1?1/4??7/4?6??1102?1001/23/2??1/23/2??2???0103/21/4?，则解得X??3/21/4??1?6?】

??0103/21/41??????4???????001?1?1/4???001?1?1/4????1?1/4????4?1???1 1?1??113??25??4?6?????3?4X?2 1 0???432?○?X???○?13??2 1? ?1?1 1??125?????5?○3

?12??3 1?? 24?X??????? 51?2?11??????（3）求下列矩阵的秩 ?1 234???1?1?245?○2 ○

?11012????1?0 1 1?1 2????0 2 2 2 0?? 3?2?0?1?1 1 1?○?3???1 1 0 0?1?0???1?2 0 32 10??4 20? ○4

6?11??0 01??1412682???610421917?? ?76341???353015204???1??05?0○??1?4?01025014?615??3?7?025??1?24?13?6?136?○

??11?105?7??31432???4?11?280???63277??14126?610421【○4??763??353015?1?98?(1)?(2)?61043)?(1)?(????00??00?634?782??1?(1)917??61042192?????41?7634???35301520204???18?5?16??1??5(3)?21917?(2)4?0?6(1)??????00?16/5?4/5?????0000??

1?(3)?(1)?76341??(3,4)??17?(3)/5?610421917? ?????761?34/51/5??????4?000??00??98?18?5?16??*%&$?就是阶梯型了。

0041??0000??它的秩是3】

?1?1?? 01 0?????（4）解矩阵方程AX?B?X，其中A???11 1?? B??2 0?

?5?3???10?1??????1（5）若n阶矩阵满足A?2A?4E?O，试证A?E可逆，并求(A?E)

?1【证：因A?2A?4E?O，A?2A?3E?E，即有(A?E)(A?3E)?E，故(A?E)?A?3E】

222（6）若A是n阶矩阵，且|A|=5，则?5AT?mshzq

?1?5?n?1

《线性代数》讲义 第 14 页 共 30 页

【解：?5AT??1?11111T?11?1T(A)?(A)?n(A?1)T?nA?1?n?n?1?5?n?1】

555A555?1?1（7）设矩阵A????1??2111?022??当a为何值时，矩阵A满秩？当a为何值时，矩阵A的秩为2？ 0a?3?2??31a??010??100??1?4 3?（8）解方程：○1 ?? 14?? 20??3 1???12??X???11?????0?1?? ○

2??100???X??001?????2 0?001????010????1?2【提示：属于AXB?C型，可解X?A?1CB?1】

?020?（9）矩阵A???003?的伴随矩阵A*?

?00??4??（10）设A,B均为n阶方阵，且A??2，B?1，则ATB?1?

（11）设A为可逆n阶方阵，则(A*)?1?（ A ）

A．

1AA B．1AA* C．A?1A?1 D．1A*A

（12）设A为三阶方阵，A??12，计算(3A)?1?2A* 【答案：?12827

】 （13）设P????1?4???11???，D????10???02???由矩阵A方程P?1AP?D确定，试求A5 ?110??123?（14）设矩阵C?A[(A?1)2?A*BA?1]A，其中A???011???，B???456??

?111????789??而且A*

为A的伴随矩阵，○1化简C；○2计算C （15）设A??20?01???，B???11???????25???，求B2?A2(B?1A)?1 wǎng

dài

-----------------------------------------【子曰：学而不思则罔，思而不学则殆。】 第三章 线性方程组

1、非齐次线性方程组

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?1?? 0??

《线性代数》讲义 第 15 页 共 30 页

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?a11??ax?ax?...?ax?b?211222?a212nn2（1）? 其中系数矩阵A??..............................?..........??a??am1x1?am2x2?...?amnxn?bm?m1?a11a12...a1n?x1??b1??????xb?2??2??a21a22...a2nX???，b???又称A?(A?b)??.........????????a?x??b??m1am2...amn?n??m?于是，上面线性方程组可以简记为：AX?b

（2）线性方程组AX?b解的判定：【不证明的提供结论使用】

a12a22...am2...a1n??...a2n? ?...?...amn??b1??b2?为增广矩阵 ...??bm????唯一解?r(A)?r(A)?n?有解?r(A)?r(A)?AX?b??无穷多解?r(A)?r(A)?n

?无解?r(A)?r(A)?（其中A?(A,b)为增广矩阵，n是未知数的个数）

?x1?x2?1例题1：线性方程组?解的情况是（ D ）

?x1?x2?0A、无穷多解； B、只有0解； C、有唯一解； D、无解

?111?(2)?(1)?111?A????解：增广矩阵?110????

00?1????因为r(A)?1?r(A)?2，故方程组无解，选择D答案。

?x1?3x2?2x3?x4?0?例题2：求线性方程组的一般解??x1?2x2?x3?2x4??1

?x?2x?3x?2x?1234?110?(2)?(1)?1?3210??1?32?????0?113?1? (3)?(1)2?12?1??解：增广矩阵A??1???????1?23?21???011?31??1?1?3210??105?83?(3)2??(??011?31? 1)?(2)3?????011?31?????????00200???00100??(2)?(3)(2,3)因为r(A)?r(A)?3，有无穷多解。

?x1?3?8c?x1??3??8????????x?1?3c?2?x2??1??3?其全部解可表示为?（c为任意常数）。【或表为向量式：????????c】

x00?x3?0?3??????x??0??1???x4?c?4?????mshzq

《线性代数》讲义 第 16 页 共 30 页

x1?x3?2??例题3：设线性方程组?x1?2x2?x3?0讨论当a, b为何值时？方程组无解、有唯一解和无穷多解。

?2x?x?ax?b23?112??1012?(2)?(1)?10??(3)?(1)2??

解：增广矩阵A?12?10????02?2?2???????21?ab???01?a?2b?4??12?12??10?10??(??01? 3)?(2)?????01?1?1???1?1???????01?a?2b?4???00?a?1b?3??1(2)2（1）当a??1,b?3时，r(A)?2?r(A)?3，方程组无解； （2）当a??1时，r(A)?r(A)?3，方程组有唯一解；

（3）当a??1,b?3时，r(A)?r(A)?2?3（未知数的个数），方程组有无穷多解。

?x1?2?cx?x?2?1?3这时方程组为?，令x3?c，无穷多的解是?x2??1?c（c为任意常数）

x2?x3??1??x?c?3?2x1?x2?x3?0?例题4：设线性方程组??x1?2x2?x3??1 试问c为何值时？方程组有解，有解时，求其所有解。

?x?3x?2x?c23?1?2?110?(1)?(2)?1?32?1???(3)????1?21?1? (2)?解：增广矩阵A??1?21?1?????????1?32c???0?53c?1???1?32?1??1?32?1???(??0?53?2? 2)?(1)3)?(2)?(????0?53?2?????????0?53c?1???000c?1??2?1??1?3?101/51/5???(??01?3/52/5? 1)?(2)3?????01?3/52/5????????0c?1?0c?1??00??00?1?(2)5当c??1时，r(A)?r(A)?2?3方程组有解，且有无穷多解。

?x1?1/5?c/5?23c 所有解为：?x2??（c为任意常数）

55??x3?c（3）习题：

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《线性代数》讲义 第 17 页 共 30 页

?2x1?5x2?x3?15x4?7?2x1?3x2?x3?5x4?6??1求解线性方程组a?x1?2x2?x3?4x4?2 【有解】b?3x1?x2?2x3?4x4??5【无解】 ○

?x?3x?2x?11x?5?x?2x?3x?x??2234234?1?1?x1?x2?x3?1?2当a取何值时，线性方程组?2x1?3x2?ax3?3无解？唯一解？无穷多解？有无穷多解时，求其解。 ○

?x?ax?3x?223?1?2x3??1?x1?3当a，b取何值时，方程组??x1?x2?3x3?2无解？唯一解？无穷多解？有无穷多解时，求其解。 ○

?2x?x?ax?b3?122、齐次线性方程组

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?0?a11a12...a1n??x1??0????????ax?ax?...?ax?0aa...ax?211222?21?2??0?2nn222n?A?X?（1）?其中系数矩阵?......?，??? ，O???? ........................................????????????0???am1x1?am2x2?...?amnxn?0?am1am2...amn??xn???于是，齐次线性方程组可以简记为：AX?O

（2）线性方程组AX?O解的判定：【不证明的提供结论使用】

?有非零解?r(A)?nAX?O?

只有零解?r(A)?n??1021???例题5：若齐次线性方程组AX?O的系数矩阵为A?010?2 ????0000???x1??2c1?c2?x1???2???1????????x?2c

?2?x2??0??2?2

c?则此方程组的一般解为?（c1,c2为任意常数）【又可表为：X????? ?1?0?c2】x?cx1?31?3????????1???????x4?c2?x4??0??x1?3x2?2x3?0?例题6：设线性方程组?x1?7x2?2x3?0 判断解的情况。

?2x?14x?5x?023?1?13?2?(2)?(1)?13?2?1?13?2?(2)???(??044????011? 3)?(2)242???解：A?17??????????2145???001???001??因为r(A)?3（未知数的个数），该线性方程组只有零解。

x1?2x3?x4?0??例题7：设线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0 求其全部解。

?2x?x?5x?3x?0234?1mshzq

《线性代数》讲义 第 18 页 共 30 页

2?1?(2)?(1)?102?1??10?102?1???(3)?(2?01?11??(??01?11? 3)?(2))2????解：A??11?32?????????????2?15?3???01?11???0000???x1??2c1?c2

?x?2c?x1??2x3?x4?21

因为r(A)?2?4，其解：?（x3,x4为自由量），即?（c1,c2为任意常数）

x?c?x2?x3?31??x4?c2

（3）习题：

?x1?2x2?x3?2x4?0?1设线性方程组?2x1?x2?x3?x4?0 求其全部解 ○

?3x?x?2x?x?034?12?2x1?4x2?5x3?3x4?0?2设线性方程组?3x1?6x2?4x3?2x4?0 求其全部解 ○

?4x?8x?17x?11x?0234?1?x1?x2?5x3?x4?0?x?3x?9x?7x?0?12343解线性方程组 ?○2x?2x?10x?2x?0234?1??3x1?x2?8x3?x4?03、向量及其线性组合

（1）基本概念

?a1????a2?行向量??(a1,a2,...,an)，列向量????，零向量：O?(0,0,...,0)

????a??n?向量相等：??(a1,a2,...,an)???(b1,b2,...,bn)的对应元素相等ai?bi（i?1,2,...,n）

加减法：设??(a1,a2,...,an)，??(b1,b2,...,bn)，则????(a1?b1,...,an?bn) 数乘向量：k??(ka1,ka2,...,kan)

?是?1,?2,...,?s的线性组合：??k1?1?k2?2?...?ks?s（?可由?1,?2,...,?s线性表示）

?a1j??a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1?b1??????ax?ax?...?ax?ba?2j??211222?b2?2nn2线性方程组?中，记?j???，j?1,2,...,n，????? ?.....................................??????b?????am1x1?am2x2?...?amnxn?bm?m??amj?可简记为：x1?1?x2?2?...?xn?n??------------【线性方程的向量形式】

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《线性代数》讲义 第 19 页 共 30 页

结论：?可由?1,?2,...,?n线性表示??????线性方程x1?1?x2?2?...?xn?n??有解 **例题与习题

充分必要条件??1??1??0??2???????????1??2??1??1问能否由，，???????3?的线性组合？ ○123?5??3??4??6?????????【解：设x1?1?x2?2?x3?3??，

?102?1?(2)?2(1)?102?1??1001???(3)?3??01?13??(??0102? 3)?4(2)(1)????而(?1,?2,?3,?)?2131?????????????3465???0408???001?1???x1?1??,?,?得?x2?2，于是???1?2?2??3，所以?可以唯一地表示成123的线性组合】 ?x??1?3?4??1??2???3??????????7??2??3???5?2问能否由，，????????○123?9??4??3???9?的线性组合？

?????????8??2??5???8?????????【能！可表示为：??3?1?2?2??3】

03把?表示为其他向量的线性组合： 1、??(4,1)；?1?(1,2)，?2?(?2,3) ○

??1??1??1???3??????????4??3???2??1?????????121????????2?00?1???3?，?2??1?，?3??2?；3、????；2、???5?；?1???，?2???，?3???

3111?2??6??2???1??????????????????1??1??2???3?????????（2）向量组的线性相关性

设

?1,?2,...,?m是m个n维向量，若存在m个不全为零的数k1,k2,...,km使得

k1?1?k2?2???km?m?0，则称向量组?1,?2,?,?m线性相关，称k,k,...,k为相关系数；否则，称

12m向量

?1,?2,?,?m线性无关

说明： 1○

?1,?2,?,?m线性无关就是指向量等式k1?1?k2?2???km?m?0当且仅当k1?k2???km?0k1?1?k2?2???km?m?0只有零解

时成立，即m元齐次线性方程组2设○

?1,?2,?,?m为m个n维列向量，则?1,?2,?,?m线性相关?m元齐次线性方程组

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《线性代数》讲义 第 20 页 共 30 页

x1?1?x2?2???xm?m?0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数

3特别地： 单个向量?线性相关???0；单个向量?线性无关???0 ○**例题与习题

?2??1??3???????1讨论向量组的线性相关性?1???1?，?2??4?，?3???6? ○

?7??3??11????????213??102?x??x2?2?x3?3?0其系数矩阵(?,?,?)???14?6???01?1?

【解：考虑方程组11123???????7113???000???x1于是，???x1??2?2x3?0?x1??2x3?，解得? ，可选x3?1 ，?x2?1，则有?3?2?1??2，线性相关】

x2?x3?0x?x3?2?x?1?3?1??1??1???????02判定下列向量组的线性相关性： 1、?1??0?，?2??1?，?3??1?；【无关】 ○

?0??0??1????????1???1??2????????2???3??1???????0?1?????3?020、?1??1?，?2??1?，?3??1?；【无关】3、?1???，?2??，；【相关】 ??3????12?5?1???2??3??????????????2???4??10????????1??2??2???????312??????3?04、?1???，?2???，?3???【相关】

1?28???????4??12??2????????1??1??1???????3设?1??1?，?2??2?，?3??3?，问t为何值时，向量组线性相关？向量组线性无关？【t=5】 ○

?1??3??t?????????2??3??2?????????3??1??4已知，，?????t?线性无关，求t值【答案：t??3】 ○123?1??2???1???????（3）向量组的极大无关组和向量组的秩

向量组等价：若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，

则称这两个向量组等价。

向量组的极大无关组：设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，

且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组。 显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身

对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：

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《线性代数》讲义 第 21 页 共 30 页

定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价 定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同 向量组T的秩：向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数 求向量组的秩和极大无关组的方法：初等行变换 **例题与习题

1求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出 ○

?1???1???1??2??2???????????1?211?????????4?10、?1???，?2???，?3???，?4???，?5???【答：秩4；?4???2??3】

?22?644???????????7???9??6??3??3????????????1??3??3???????02、?1???2?，?2??2?，?3??10?【答：秩2；?3??3?1?2?2】

?5???1???17????????1??0??0??2??????????0??1??0???1?30、?1???，?2???，?3???，?4???【答：秩3；?4?2?1??2?3?3】

0013?????????1???1???1??0??????????1??2??3??0??????????1?20???????3?40、?1???，?2???，?3???，?4???

2460?????????1???2???1???4?????????230??1230??1?1??????1?2030033?????0?4?????2460??0066??0??????1?2?1?4??0?4?1?1??0?????01000?3??00?

11??00??【解：??1?2?3向量组的秩是r(?1,?2,?3,?4)?3；一个极大无关组是：?1，?2，?3；?4??3?1??3】

?1??1??1??1?????????321?x?0???????x?2已知?1???，?2???，?3???，?4???求x，y值，使得该向量组的秩是2。【答：?】 ○y?20123??????????5??4??3??y??????????1???1??3???2??????????1???3??2???6?3设，，，????????○1?1?2?5?3??1?4?10?

?????????3??1??p?2??p?????????mshzq

《线性代数》讲义 第 22 页 共 30 页

?4????1?10、p为何值时，向量组线性无关？此时将????用他们线性表示；

6???10???【答案：p?2；??2?1?3p?41?p?2??3??4】 p?2p?220、p为何值时，向量组线性相关？此时求向量组的秩和一个极大无关组，

并将其余向量用极大无关组线性表出。【答案：p?2；向量组的秩3】

（4）线性方程组解的结构 1齐次线性方程组AX○

?O解的结构

性质1：若?1，?2是齐次线性方程组AX?O的解，则?1??2也是AX?O的解

性质2：若?1，…，则他们任一线性组合c1?1?c2?2?...?cs?s ?2，?s是齐次线性方程组AX?O的解，

也是方程组AX?O的解，其中ci(i?1,2,...,s)为任意常数。

定义：若?1，…，则称?1，…， ?2，?2，?s是齐次线性方程组AX?O的解向量组的一个极大无关组，

?s是该方程组的一个基础解系

齐次线性方程组AX?O的全部解是：??c1?1?c2?2?...?cs?s其中ci**例题与习题：求齐次线性方程组的全部解，并用其基础解系表示

(i?1,2,...,s)为任意常数

?x1?2x2?x3?2x4?0?2x1?4x2?5x3?3x4?0??10、?2x1?x2?x3?x4?0； 20、?3x1?6x2?4x3?2x4?0

?3x?x?2x?x?0?4x?8x?17x?11x?034234?12?13??12?1?2??10?3/50?x?x3?0?1????初等行变换05【1解：2?1?11?????01?1/5?1，即有?

????1?x2?x3?x4?0??00??31?2?1???00?5?3?x??3/5??0??15c1?0c2?????1??1/5??1?令x3?c1，x4?c2，于是?x2?c1?c2，即其全部解为X??c??1?0?c2，c1，c2为任意常数】 51?x?c?0c????12?0??1??3?????x?0c?c12?42非齐次线性方程组AX○

?b解的结构

性质1：若?是非齐次线性方程组AX?b的一个解，?是相应齐次线性方程组AX?O的一个解，

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《线性代数》讲义 第 23 页 共 30 页

则???是方程组AX?b的解。

性质2：若?1，?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则?1??2是对应齐次方程组AX?O的解。

?是相应齐次线性方程组AX?O的全部解，性质3：若?0是非齐次线性方程组AX?b的一个特解，

则方程组AX?b的全部解是X??0??

**例题与习题：

1求线性方程组的全部解，并用其基础解系表示 ○

?x3?x4??3?x1?x2?2x3?4x4?0?x1???1； 10、?2x1?5x2?4x3?11x4??3；20、?3x1?x2?x3?x?2x?2x?5x??1?7x?7x3?3x4?3234?1?1【1解：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯型

0?11?240??10?231???初等行变换?0101?1?，取，为自由量

?A?b???25?411?3????x3x4???????12?25?1???00000???x1?1?2c1?3c2?1??2???3????????x??1?0c?c?10?2??????1?12令x3?c1，x4?c2，则有?，即X??????c1?? c2，其中c1，c2为任意常数】?010?x3?0?c1?0c2???????0??0??1???x4?0?0c1?c2???????x1??3???1????????x2???8??2?0?c，其中c为任意常数】 【2答：X?????x30??1????????x??6??0??4???????x1?x2?x3???3?2设线性方程组?x1??x2?x3??2，讨论?为何值时，方程组无解？唯一解？无穷多解？ ○

?x?x??x??223?1在无穷多解时，并写出它的全部解

【解：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯型

1??2???11??3??1??初等行变换?0??1?

?A?b???1?1?2????1??0??????0(??2)(1??)3(??1)??11??2???0?当???2时，r(A)?r(A)?r(A?b)方程组无解； 当???2且??1时，方程组唯一解；

当??1时，方程组无穷多解，这时同解方程x1?x2?x3??2，即x1??2?x2?x3，取x2，x3为自由量，

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?x1???2?c1?c2???2???1???1???????????X?x?0?c?0c?0?1c?令x2?c1，x3?c2，有 ?2??????1?0?c2，其中c1，c2为任意常数】12??x??0?0c?c??0??0??1?12??3?????????x1?x2?tx3?4?3当t为何值时，线性方程组?x1?x2?2x3??4有无穷多解？并写出此时它的全部解【答：t=4】 ○

??x?tx?x?t223?1??4??2??a1x1?a2x2?a3x3?a?????4已知?1??1?，?2???1?，是方程组?2x1?6x2?9x3?7的两个解，求方程组全部解 ○

?1???x?3x?3x?4?1?123???????6??a1x1?a2x2?a3x3?0???【解：由条件可得，方程组有无穷多解！?1??2??2?对应齐次方程组?2x1?6x2?9x3?0的解

?0???x?3x?3x?0123????a1a2a3?69又，?A?b??2????1?33a?(2)?2(3)?130?1??0? (1)?a1(3)7??????011????4???0a2?3a1a3?3a1a?4a1??(1,3)必有r(A)?r(A?b)?2，即是a2?3a1?a3?3a1?a?4a1?0

同解方程组??x1?3x2??x1???1???3?????????1，令x2?c，它的全部解X??x2???0???1?c，其中c为任意常数】

x3?1?x??1??0??3?????-----------------------------------------【老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。---曹操（东汉）】 第四章 矩阵的特征值与特征向量 1、矩阵的特征值和特征向量

?x1????x2?定义：设n阶矩阵A?(aij)n?n，若对于数?，存在非零列n维向量????，使得A????

????x??n??x1????x2?称?为矩阵A的特征值，????为特征值?对应的特征向量

????x??n?矩阵的特征值和特征向量的求法：特征方程?E?A?0的根?为矩阵的特征值（特征根）；【不考虑复根】

对应齐次方程组(?E?A)X?O的全部解，都为特征值?的特征向量。 **例题与习题：求下列矩阵的特征值和对应的特征向量

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21???102??0?200?32???12?1?；??203?；?111?

（1）?；（2）（3）（4）?????????3?4?????130????1?30???1?13??【（1）解：

?E?A???33?2?(??3)(??2)?0，得特征值?1??3，?2?2 ??4?1???6?2??x1?对于特征值?1??3，方程组???x??0，即3x1?x2?0的全部解是X????3??c，c为任意 31?????2?非零常数，对应的特征向量是?????3??c，c为任意非零常数。

???1???1?2??x1???2?对于特征值?2?2，方程组???x??0，即x1?2x2?0的全部解是X???1??c，c为任意 36???2???非零常数，对应的特征向量是????1??c，c为任意非零常数】

????2???10?2??102???2【（2）12?1解：?E?A??1??21?(??1)(??1)?0得?1??2?1，?3??1

????1?3??130??0?2??x1??2????对于特征值?1??2?1，有方程组?1?11x2?0 ???????1?31????x3??0?2??2?10?1??1???????初等行变换?1?11?????010X?对系数矩阵?0?c，c为任意非零常数 ????，得它的全部解

?1?????1?31???000?????1???对应的特征向量是???0?c，c为任意非零常数

?1???0?2??x1??0????对于特征值?3??1，有方程组?1?31x2?0 ???????1?3?1????x3??0?2??0?130???3???????初等行变换对系数矩阵?1?31?????001，得它的全部解X??1?c，c为任意非零常数

?????0?????1?3?1???000????mshzq

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??3?????对应的特征向量是?1?c，c为任意非零常数】

?0???2、矩阵的特征值和特征向量的性质 性质1：转置矩阵有相同的特征值

性质2：矩阵可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零 性质3：不同特征值对应的特征向量线性无关

性质4：设n阶矩阵A?(aij)n?n的特征值是?1,?2,...,?n（含重根、复根），则有

?1??2?...??n?a11?a22?...?ann；?1?2...?n?A

例题：设三阶矩阵A的特征值为?1?1，?2?3，?3?5，矩阵B?A?2A，求B

22【解：设?为A的特征值，对应的特征向量是?，则A????，于是A???A????，

2即?是A的特征值，所以B??(A2?2A)??A2??2A???2??2???(?2?2?)? 由此可知，??2?是B的特征值，于是B的特征值?1??1?2?1??1，?2??2?2?2?3，

22222?3??32?2?3?15，故B??1?2?3??45】

**习题：1）设?为矩阵A的特征值，求kA特征值和A的特征值【答：k?和?】 2）若A可逆，?为矩阵A的特征值，求证○1 A的特征值是

?1221?；○2伴随矩阵A的特征值是

*

A?

【解：○1设?为A的特征值，对应的特征向量是?，则A????，

?1?1两边乘A，有???A?，即A???11??，故A?1的特征值

1?；

2A?○

?1A1*A，于是A*?AA?1，伴随矩阵A*的特征值是】

?A?101???3）已知0是矩阵A??020?的一个特征值，求○1a的值；○2A的特征值和特征向量

?10a?????1【解：○1?E?A?0?10?(??2)(?2???a??a?1)?0，0是特征值，则有a?1；

??a?10??(??2)2?0，A的特征值为?1?0，?2??3?2 ??1

0?1??200??12这时?E?A?○

0?1??20mshzq

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??10?1??x1???1???????0?20x?0??当?1?0时，有方程组，对应的特征向量是其中c为任意非零常数； ?0?c，???2??1????10?1????x3?????10?1??x1??x1?0c1?c2?x2?c1?????当?2??3?2时，有方程组000x2?0，即x1?x3?0，令?，即有?x2?c1?0c2

????x3?c2??x?0c?c????12??101??x3??3?0??1?????对应的特征向量是???1?c1??0?c2，其中c1，c2为任意非零常数】

?0??1?????4）选择○1设三阶矩阵A的特征值为?2，1，4，则下列满秩矩阵是（ C ）

(A)E?A ( B) 2E?A ( C) 2E?A ( D) A?4E 【解：A的特征方程是?E?A?0，则特征值分别代入得： 当???2时，有?2E?A?0，即2E?A?0，B可逆！ 当??1时，有E?A?0，A可逆！

当??4时，有4E?A?0，即A?4E?0，D也可逆！故，答案C！---08理科4班陈乔鑫】

?3?11???2矩阵201对于特征值2的特征向量是（ D ） ○????1?12???1???(A)?0? ( B)

?1????1????0? ( C) ??1????1?0????1? ( D) ?1????1????1? ?0????1?3设2是可逆矩阵A的一个特征值则矩阵?A2?必有一个特征值是（ B ） ○

?3?4332 ( B) ( C) ( D) 3423121222【解：设?为A的特征值，则有A的特征值是?，于是A的特征值是?，

33(A)

33?12??A?的特征值是2，即是】

4??3?*5）设三阶矩阵A的特征值为?1?1，?2??1，?3?2，求A?3A?2E。

?1【答案：9】 3、相似矩阵

?1（1）定义：n阶矩阵A与B若存在可逆矩阵P，使得PAP?B，则称A与B相似，记作：A~B：

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性质1：相似矩阵的特征值相同

?1?1?1?1?1【证：?E?B??E?PAP?P(?E)P?PAP?P(?E?A)P?P?E?AP??E?A】

性质2：相似矩阵的行列式相等

?1?1【证：B?PAP?PAP?A】

性质3：相似矩阵的秩相等 （2）矩阵可对角化的条件

若n阶矩阵A可以与一对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化

性质1：n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

??10??0?2性质2：n阶矩阵A相似于对角矩阵?......??00?例题1：矩阵A???...0??...0?的充分条件是A有n个不同的特征值?1,?2,...,?n。

......??...?n??2??3?可否对角化？如果可以对角化，则写出可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵 ???3?4?【解：矩阵A???2??3??2??1??????的特征值，，对应的特征向量分别是， ???3??2????1221???????3?4??1???3??1?2??2?????31??，

??于是，矩阵A可对角化（因有不同的特征值）令P???1则对角矩阵为P?1AP?????10???30??】 ???????0?2??02??3?20???A??13?1例题2：矩阵??可否对角化？

??57?1?????3【解：?E?A?201?(??1)(??2)2?0，得的特征值?1?1，?2??3?2

??115??3?7??220??x1??1?????x?0，得特征向量???1?

?21对于特征值?1?1，方程组1??1???2????1???5?72???x3?????120??x1???2???????对于特征值?2??3?2，方程组1?11?x2??0，得特征向量?2???1?

?????1???5?73???x3???只有两个线性无关的特征向量，矩阵A不能对角化！】

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?11?1???A??24?2例题3：矩阵??可否对角化？如果可以，则求可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵

??220?????1【解：?E?A??1122??42?(??1)(??2)2?0，得的特征值?1?1，?2??3?2 ?2??0?11??x1??1/2??1?????1????对于特征值?1?1，方程组2?32?x2??0，得特征向量?1??1???2?

???1?2?2??x???2?21???????3??1?11??x1?????对于特征值?2??3?2，方程组2?22?x2??0，得x1?x2?x3?0，

??????2?22???x3??1???1?????特征向量?2??1?，?3??0?，有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化！

?0??1?????可逆矩矩阵P???1?2?11?1??1??????3???210?，对角矩阵???2?显然，P可逆，且P?1AP??】

?201??2?????**习题：

（1）下列矩阵可否对角化？如果可以，则求出可逆矩阵P及与它相似的对角矩阵

10???4?100??311???1?，??4?10?，

30?1?，【可以】 2【可以】3○○○?22?????【不可以】

????61??3??4?8?2???200??2???（2）设矩阵A??001?，B???01x???????y?相似，求x，y的值

?1????2【解：?E?A?0000?1??(??x)(??2)?(??2)?(??2)(?2?x??1)?0 ?1??x??y2?xy?1?0?x?0又A~B，即特征值是2，y，-1 故有?，得 】 ?2?(?1)?x?1?0?y?1?1?11??2??????14?2?，B??2（3）设矩阵A~B，且A??2求a，b的值和可逆矩阵P，使得PAP?B ?，

??3?3a??b?????mshzq

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?111???a?5?P??10?2【答：?；??】

b?6??013???

------------------------------[2010年9月起黄振权教学同步编辑]

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