高中力学竞赛模拟题竞赛题九

1．四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。

2.如图所示，光滑的斜槽轨道的末端切线水平，与光滑的圆轨道相连接，圆轨道的半径为r，在斜槽轨道的末端放一质量为m2的B球，在斜槽轨道某一高度处无初速地释放一个质量为m1的小球，结果在最低处与B球发生弹性碰撞，碰撞后B球沿圆轨道上升到某处后脱离圆轨道，而A球则沿斜槽轨道返回上升又滑下，随即进入圆轨道，恰好也在B球脱离圆轨道处脱离轨道，

试求：两物体的质量之比m1/m2=? m1 A

B

m3、（本题20分）如图4所示，三个质量均为

m的不计大小的球，组成一个边长为a的等边三角形。它们仅受彼此之间的万有引力作用，且正

a在绕系统的质心O点为圆心、在三角形所在的平面做匀速率圆周运动。试求系统的角速度ω的

O大小。

mm

图 44、如图3所示，质量为M的均质圆环半径为R ，圆心在O点，在与其环面垂直的、

过O点的直线上，与O相距d处放置另一大小可以不计的、质量为m的物块。试求环与物块之间的万有引力。

M

Od

R

ωm图 35、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R0＝6400 km．假定地球是

质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

6、一小水滴在均匀的静止雾气中凝结成核，当它下落时，扫光位于路径上的雾气，假如它留住了收集到的全部雾气，仍能保持球形，且没有粘滞阻力，渐渐地它会趋于匀速下落：v ( t ) = a t ( 对应较大的t )。试求系数a 。

7.地球和太阳的质量分别为m和M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a ，半短轴为b ，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径。

8、(25分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速v0抛出．己知物块碰地弹起时

沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为?（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．

1.分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。

又设球形碗的半径为R，O'为球形碗的球心，过下面四球的球心联成的正方形的一条对角线AB作铅直剖面。如图3（b）所示。当系统平衡时，每个球所受的合力为零。由于所有的接触都是光滑的，所以作用在每一个球上的力必通过该球球心。

上面的一个球在平衡时，其重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N，大小相等以

表示，方向均与铅垂线成

角。

下面四个球，由于分布的对称性，每个球受另外两个球的合作用力是一个水平力方向垂直于碗的轴线的压力

。除水平力

外，还有重力mg，碗对球的支力

，，上球

，这四个力都通过该球球心，并位于同一平面内，如图3(b)所示。

解：以A球为隔离体，把它所受的力分解为水平分量和垂直分量。

以上球为隔离体

联立以上三式解出：。

当下面四球之间的相互作用为零，即N=0，得。如时，下面四球将互

相分离。又

由图形（b）看出。

代入（2-4）式得。

此时下面的四个球互相分离，

。

2、解：设A球第一次到达最低点时的速度为v0，与B碰撞后的速度分别

?为v?A,vB

???m1v0?m1v?A?mBvB则 ?2 22??A?mBvB?m1v0?m1v?解得

??m1?m2?vA?m?mv0?12??v??2m1vB0?m1?m2?碰后A球要返回，v?A?0,即m1?m2

A以v?A??m2?m1m?m1v0?2v0返回，

m1?m2m1?m2m2?m1v0

m1?m2?第二次到达最低点的速度为v?A???要使A、B都在同一点脱离轨道，必须v?B?vA，即2m1?m2?m1

?

m11? m233.（答：

3Gm） a3GMmd(R2?d2)324. 〔答：〕

5. 位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为

F?GM?m， （1） 2r式中M?是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以?表示地球的密度，此质量可以表示为 M??4??r3 （2） 3于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为

F??G?mr （3） 作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为

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