《工程电磁场》复习自测题

《电磁场与电磁波》自测试题

1.介电常数为?的均匀线性介质中，电荷的分布为?(r)，则空间任一点?E? ____________, ?D? _____________。（ ?/?；

?）

?I2( 线电流I与I垂直穿过纸面，如图所示。已知I?1A，试问

112?l1H.dl?______；若

?lH.dl?0， 则I?________。(?1A;1A )

2I1?ll13. 镜像法是用等效的 代替原来场问题的边界，该方法的理论依(镜像电荷； 唯一性定理)

4. 在导电媒质中， 电磁波的相速随频率改变的现象称为____， 这样的媒质又称为___ 。(色散； 色散媒质) 5. 已知自由空间一均匀平面波， 其磁场强度为方向为______。(e； ?e)

xz据是___。

H?eyH0cos(?t??x)， 则电场强度的方向为_____， 能流密度的

6. 传输线的工作状态有____ ____、_ _____、____三种，其中____状态不传递电磁能量。(行波； 驻波； 混合波；驻波) 7. 真空中有一边长为的正六角 形，六个顶点都放有点电荷。则在图示两种情形 下，在六角形中心点处的场强大小为图中(；

)

_____；图中

______。

8. 平行板空气电容器中，电位

(其中 a、b、c 与 d 为常数)， 则电场强度

(

；

)

______，电荷体密度

_________。

9. 在静电场中，位于原点处的电荷场中的电场强度线是一族以原点为中心的___ 线， 等位线为一族_____。(射 ； 同心圆)

10. 损耗媒质中的平面波 , 传播系数 可表示为_____ 的复数形式，其中表 示衰减的为_____。(??j?；

)

11. 在无损耗传输线上， 任一点的输入功率都 _______，并且等于____ 所得到的 功率。( 相同； 负载) 1( 在静电场中，线性介质是指介质的参数不随________ 而改变，各向 同性的线性介质是指介质的特性不随______ 而变化的线性介质。( 场量的量值变化；场的方向变化 )

13. 对于只有 个带电导体的静电场系统， 取其中的一个导体为参考点，其静电能量可表示成 ， 这里

号导体上的电位 是指_____的电荷在 号导体上引起的电位， 因此计算的结果表示的是静电场的______ 能量的总和。( 所

有带电导体；自有和互有)

14. 请用国际单位制填写下列物理量的单位 磁场力________，磁导率 _________。( N； H/m)

1

15. 分离变量法在解三维偏微分方程 时， 其第一步是令_________， 代入方程后将得到_____

个____方 程。( ；, 常微分。)

处的

， 设

， 则正确的差

16. 用差分法时求解以位函数为待求量的边值问题, 用 ____阶有限差分近似表示 分格式是 _。(一；

)

的导电媒质中，已知电场强度

， 则在

17. 在电导率??103s/m、介电常数

时刻， 媒质中的传导电流密度

___________________

( 1.41?10?2A/m2；

_______________ 、 位移电流密度

18. 终端开路的无损耗传输线上， 距离终端 _______处为电流波的 波腹；距离终端_____处为电流波的波节。

( ；

19. 镜像法的理论根据是_____。 镜像法的基本思想是用集中 的镜像电荷代替______ 的分布。( 场的唯一性定理 ；未知电荷

20. 请采用国际单位制填写下列物理量的单位 电感_________, 磁通___________。( H；Wb) 21. 静态场中第一类边值问题是已知整个边界上_________，其数学表达式 为____________。( 位函数的值；22. 坡印廷矢量

， 它的方向表示___ 的传输方向， 它的大 小 表示单位时间通过与能流方向相垂直的____电磁

能量。( 电磁能量；单位面积的

23. 损耗媒质中其电场强度振幅和磁场强度振幅以_____，因子随 增大而______。(

；减小

24. 所谓均匀平面波是指等相位面为_______，且在等相位面上各点的场强_______的电磁波。( 平面；相等 25. 设媒质1介电常数 ）与媒质2 （介电常数为 面上的边界条件 ________ 和____。(

；

）分界面上存在自由电荷面密度 ， 试用电位函数写出其分界

， 下半部分的面积为

， 板

26. 图示填有两层介质的平行板电容器， 设两极板上半部分的面积 为 间距离为 ， 两层介质的介电常数分别为 与则此平行板电容器的电容应为______________。(

。 介质分界面垂直于两极板。 若忽略端部的边缘效应，

27. 用以处理不同的物理场的类比法， 是指当描述场的数学方式具有相似的____ 和相似的____， 则它们的

解答在形式上完全相似，在理论计算时， 可把某一种场的分析计算结果 , 推广到另一种场中去。( 微分方程 ；边界条件

28. 电荷分布在有限区域的无界静电场问题中， 对场域无穷远处在无限远处的取值为________。( 29. 损耗媒质中的平面波， 其电场强度

的边界条件可表示为_____________， 即位函数

有限值 ；

， 其中 称为____， 称为______。( 衰减系数 ；相位系

2

数

30. 在自由空间中， 均匀平面波等相位面的传播速度等于_____， 电磁波能量传播速度等于________ 。( 光速 ；光速

31. 均匀平面波的电场和磁场除了与时间有关外， 对于空间的坐标， 仅与___________ 的坐标有关。 均匀平面波的等相位面和________方向垂直。( 传播方向 ；传播

32. 在无限大真空中，一个点电荷所受其余多个点电荷对它的作用力，可根据_____ 定律和____ 原理求得。( 库仑；叠加 33. 真空中一半径为a 的圆球形空间内，分布有体密度为?的均匀电荷，则圆球内任一点的电场强度

E1?_________er(r?a)；圆球外任一点的电场强度E2?________er(r?a)。( ?r/3?0；?a2/3?0r2；

34. 镜像法的关键是要确定镜像电荷的个数、_______________ 和_________________。( 位置；大小

35. 一均匀平面波由空气垂直入射到良导体表面，则其场量衰减为表面值的1/e时的传播距离称为该导体的______________, 其值等于_______，( 设传播系数????j?)。( 透入深度 ( 趋肤深度 )；1/?

36. 电磁波发生全反射的条件是，波从_________，且入射角应不小于__________。( 光密媒质进入光疏媒质； 临界角 37. 若媒质1为完纯介质，媒质2 为理想导体。一平面波由媒质1入射至媒质2，在分界面上，电场强度的反射波分量和入射波分量的量值_______；相位______，( 填相等或相反)。( 相等；相反 38. 设空气中传播的均匀平面波，其磁场为_____________，该波的频率为_______________。( 39. 已知铜的电导率

6ey； 5?10Hz

，则该平面波的传播方向为

，相对磁导率，相对介质电常数，对于频率为 的电磁波

在铜中的透入深度为__________，若频率提高，则透入深度将变_______。( 66?m；小 40. 一右旋圆极化波，电场振幅为磁场强度

的瞬时表示为__。 (

，角频率为 ，相位系数为，沿 传播，则其电场强度的瞬时表示为_________，E?E0cos(?t??z)ex?E0sin(?t??z)ey；

EEH?0cos(?t??z)ey?0sin(?t??z)exZZ

1. 设一空气中传播的均匀平面波，已知其电场强度为_______；波长为_______。(

1?exE0cos(6??108?2?z)120?，则该平面波的磁场强度

；1m

1. 在电导率、介电常数 的导电媒质中，已知电场强度

________ 、位移电流密度

_______

，则在

时刻，媒质中的传导电流密度

( 1.414?10?2A/m2；2.36?10?7A/m2 1. 在分别位于

和

处的两块无限大的理想导体平板之间的空气中，时变电磁场的磁场强度

______ 和

3

则两导体表面上的电流密度分别为

_______。 (

ezcos(?t??z)； ?ezcos?(t??z )1. 麦克斯韦方程组中的磁场

和表明不仅____ 要产生电场，且随时间变化的____也要产生电场。 ( 电荷；

1. 时变电磁场中，根据方程____，可定义矢量位使( ?B?0；

，再根据方程______，可定义标量位，使

?B

??E???t 满足的波动方程为________________；正弦电磁场 ( 角频率为 ) 的磁场强

?2H?H??0?02?0?t21. 无源真空中，时变电磁场的磁场强度度复矢量 ( 即相量)

满足的亥姆霍兹方程为____________________。 (

；?2H??2??H?0

001. 在介电常数为，磁导率为量)

磁场强度复矢量( 即相量)

、电导率为零的无损耗均匀媒质中，已知位移电流密度复矢量 ( 即相

__________；

，那么媒质中电场强度复矢量( 即相量)

____________。(

ex2j??；

e?j?zV/m?eye?j?zA/mj?2?0?1. 在电导率 和介电常数 的均匀媒质中，已知电磁场的电场强度，则当频率

________________ 且时间_________________，媒质中位移电流密度的大小与传导电流密度的大小相等。( 注:

1(n?),n?0,1,2......728 ) ( 7.2?1010Hz； ?910 的磁场中，且与线圈平面垂直，则线圈上的感应电动势1. 半径为 的圆形线圈放在磁感应强度

____________________，感应电场的方向为___________。 ( 2；

2?(3t?1)a 分别为

e?1. 真空中，正弦电磁场的电场强度 和磁场强度

,

那么，坡印廷矢量________.。平均坡印廷矢量__________.。 (

ez1?02E0sin(?z)sin(2?t)4?0； 0

1. 两个载流线圈的自感分别为 和，互感为，分别通有电流

211 和，则该系统的自有能

为 ，互有能为 。 ( 1； 1MI1I2 2LI?L2I2221. 在恒定磁场中，若令磁矢位 的散度等于零，则可以得到所满足的微分方程 。但若 的散度不为零，还能得到同样的微分方程吗？ 。 ( ?2A???J； 不能

1. 在平行平面场中， 线与等线相互____ ______ ( 填写垂直、重合或有一定的夹角)

4

1. 恒定磁场中不同媒质分界面处， 是 , 或 , 。 (

与满足的边界条件

H1t?H2t?Js；B1n?B2n?0 ； n?(H1?H2)?Js；n(B1?B2)?0；

7、 试题关键字镜像法

1. 图示点电荷Q 与无限大接地导体平板的静电场问题中，为了应用镜像法求解区域A 中的电场， 基于唯一性定理，在确定镜像法求解时，是根据边界条件（用电位表示）和 。 ( ????0；

AB ??A?0???n1. 镜像法的关键是要确定镜像电荷的大小、 和 。 ( 位置； 个数

1. 根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的_ ___ 条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是 。 ( 边界；唯一的

1. 以位函数 为待求量的边值问题中，设( f(s)；

1. 分离变量法用于求解拉普拉斯方程时，具体步骤是1、先假定待求的_ 由 __ 的乘积所组成。2、把假定的函数代入 ，使原来的 _ 方程转换为

两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。 ( 位函数；两个或三个各自仅含有一个坐标变量的；拉氏方程；偏微分；

1. 静态场中第一类边值问题是已知整个边界上 _ ，其数学表达式为 。( 位函数的值；1. 以位函数 为待求量的边值问题中，设( ??

为边界点 的点函数，则所谓第一类边值问题是指给定

。

?s?f(s)

为边界点 的点函数，则所谓第二类边值问题是指给定式 。

?n?f(s) ( 场的唯一性定理；1. 镜像法的理论根据是 _。镜像法的基本思想是用集中的镜像电荷代替 的分布。求知电荷 1. 电源以外恒定电流场基本方程的积分形式是_______________，它说明恒定电流场的传导电流是__________。 (

?E?dl?0,?J?dS?0；连续的

1. 电通密度（电位移）矢量的定义式为 ；若在各向同性的线性

。 (

电介质 中，则电通密度 与电场强度 的关系又可表示为

5

?0E?P； ?E

1. 介电常数的电导率分别为上的电荷面密度(

及 的两种导电媒质的交界面，如已知媒质 2中电流密度的法向分量，则分界面

，要电荷面密度为零，必须满足 条件。

?1?2??2?1； ?1?2 J2n??1?2?1?21. 写出下列两种情况下，介电常数为 的均匀无界媒质中电场强度的量值随距离的变化规律（1）带电金属球（带电荷量为Q）

；（2）无限长线电荷（电荷线密度为）

。

(

Q/4??0r2； ?/2??r

_________

；壳外任一点的电场强度

1. 真空中一半径为a 的球壳，均匀分布电荷Q，壳内任一点的电场强度________

。( 0；

Q/4??0r2

1. 电偶极子是指___ ，写出表征其特征的物理量电偶极矩的数学表达式_________________。 ( 两个相距一定距离的等量异号的电荷；p?ql

1. 矢量场中A围绕某一点P作一闭合曲面S，则矢量A穿过闭合曲面S的通量为入的通量， 即通量由S面内向外 ，说明S面内有 。 (

； 若Ф> 0，则流出S面的通量 流

；大于； 扩散；正源

????A?dss ( 1. 矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为 ，它的结果为一 场。?Ax?Ay?Az； 标量 ??A???

?x?y?z1. 散度定理的表达式为 ；斯托克斯定理的表达式为 。 ( ；

??Ads??????A?dvsv?LA?dl???(??A)?dss1. 标量场的梯度是一 场，表示某一点处标量场的 。 ( 矢量； 变化率

1. 研究一个矢量场，必须研究它的 和 ，才能确定该矢量场的性质，这即是 。 ( 散度；旋度； 亥姆霍兹定理 1. 标量场的梯度的方向为 ；数值为 。 ( 指向标量增加率最大的方向或等值面的法线方向；该方向上标量的增加率 1. 真空中两个点电荷之间的作用力（ ）( A A. 若此两个点电荷位置是固定的，则不受其他电荷的引入而改变 B. 若此两个点电荷位置是固定的，则受其他电荷的引入而改变 C. 无论固定与不固定，都不受其他电荷的引入而改变 1. 真空中有三个点电荷、、。 带电荷量则（ ）( A

A. 电荷位于、 电荷连线的延长线上，一定与

同号，且电荷量一定大于

， 带电荷量

，且

。要使每个点电荷所受电场力都为零，

B. 电荷可位于连线的任何处，可正、可负，电荷量可为任意大小

C. 电荷应位于、 电荷连线的延长线上，电荷量可正、可负，且电荷量一定要大于

6

1. 如图所示两个载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距离扩大；

缩小；

不变

( ) ( A

1. 电流是电荷运动形成的，面电流密度可以表示成（ ）

；

；

( B

1. 在导波系统中，存在TEM 波的条件是 A.

； B.

和； C. ，互感为

( C

1. 两个载流线圈的自感分别为。 分别通有电流和， 则系统的储能为（ ）

A.

B.

C.

( C

1. 用有限差分近似表示处的， 设， 则不正确的式子是（ ）

； ； ( C

1. 损耗媒质中的电磁波, 其传播速度随媒质电导率的增大而（ ） A.不变； B. 减小； C. 增大 ( B

1. 在无损耗媒质中,电磁波的相速度与波的频率( ) A. 成正比； B. 成反比； C. 无关 ( C 1. 同轴线、传输线 ( ) ( C

A. 只能传输TEM波 B. 只能传输TE波和TM 波 C. 既能传输 TEM 波 ， 又能传输TE波和TM 波 7、 试题关键字自感、互感 1. 两线圈的自感分别为A. B. C. ( B

1. 两个极化方向相互垂直的线极化波叠加，当振幅相等，相位差为

或

时，将形成（ ）

、、、

增加，和

和

， 互感为

， 若在 线圈下方放置一无限大铁磁平板，如图所示，则（ )

减小

均增加

增加

不变，

A. 线极化波； B. 圆极化波； C. 椭圆极化波 ( B

1. 均匀平面波由介质垂直入射到理想导体表面时，产生全反射，入射波与反射波叠加将形成驻波，其电场强度和磁场的波节位置( )

A. 相同； B. 相差

； C. 相差

( B

，则该导电媒质可视为（ ）

1. 已知一导电媒质中平面电磁波的电场强度表示为

7

A. 良导体； B. 非良导体； C. 不能判定 ( A 1. 已知一均匀平面波以相位系数

；

；

在空气中沿 轴方向传播，则该平面波的频率为（ ）

( C

1. 已知电磁波的电场强度为，则该电磁波为（ ）

A. 左旋圆极化波； B. 右旋圆极化波； C. 线椭圆极化波 ( A 1. 均匀平面波从一种本征阻抗 ( 波阻抗) 为

的无耗损媒质垂直入射至另一种本征阻抗为

的关系为（ ） ；

的无耗媒质的平面上，若

, 则两种媒质中功率的时间平均匀值

；

( A

1. 已知一均匀平面波的电场强度振幅为

在空气中沿

，当 时，原点处的达到最大值且取向为，该平面波以相位系数

方向传播，则其电场强度可表示为（ ）

；

( B

1. 若介质为完纯介质，其介电常数

，磁导率

，电导率

；介质 为空气。平面电磁波由介质 向分

为

界平面上斜入射，入射波电场强度与入射面平行，若入射角（ ） ( B

；

，则介质( 空气) 中折射波的折射角；

1. 一金属圆线圈在均匀磁场中运动，以下几种情况中，能产生感应电流的是（ ） 线圈沿垂直于磁场的方向平行移动

线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向平行

线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向垂直 ( C

1. 如图所示，半径为 的圆线圈处于变化的均匀磁场中，线圈平面与垂直。已知

，则线圈中感应电场强度, 逆时针方向 顺时针方向

( C

1. 已知正弦电磁场的电场强度矢量

8

的大小和方向为（ ）

逆时针方向

则电场强度复矢量 ( 即相量) 为（ ）

,

( B

1. 已知无源真空中，正弦电磁场的复矢量 ( 即相量其中

和

是常矢量，那么一定有（ ） 和

( C

1. 对于载有时变电流的长直螺线管中的坡印廷矢量，下列陈述中，正确的是（ ） A. 无论电流增大或减小， 都向内 B. 无论电流增大或减小， 都向外 C. 当电流增大，向内；当电流减小时，向外 ( B

1. 比较位移电流与传导电流，下列陈述中，不正确的是（ ）

A. 位移电流与传导电流一样，也是电荷的定向运动 B. 位移电流与传导电流一样，也能产生涡旋磁场 C. 位移电流与传导电不同，它不产生焦耳热损耗 ( A

1. 已知在电导率

、介电常数

的海水中，电场强度

，则位移电流密度为

, ）

；

（ ）:

( C

1. 自由空间中，正弦电磁场的电场强度和磁场强度

分别为 ，

那么，通过

平面内边长为 ；

( B

1. 导电媒质中，已知电场强度 相差；

，

和 的方形面积的平均功率为 （ ）

；

，则媒质中位移电流密度

相同

9

的相位与传导电流密度的相位（ ）

相差；

( A

1. 两块平行放置载有相反方向电流线密度

与

的无限大薄板，板间距离为, 这时（ ）

A. 两板间磁感应强度 为零。（)

B. 两外侧的磁感应强度为零。（) C. 板间与两侧的 都为零

( B

1. 若要增大两线圈之间的互感，可以采用以下措施（ ）

A. 增加两线圈的匝数 B. 增加两线圈的电流 C. 增加其中一个线圈的电流 ( A

1. 在无限长线电流 附近有一块铁磁物质，现取积分路径1234，它部分地经过铁磁物质，则在以下诸式中，正确的是（ ）

(注: ( C

1. 若在两个线圈之间插入一块铁板，则（ ） A. 两线圈的自感均变小 B.两线圈的自感不变 C.两线圈的自感均变大 ( C

1. 下列矢量哪个可能是磁感应强度，式中 为常数（ ） ( B 1

1. 根据恒定磁场中磁感应强度、磁场强度 ( A

1. 设半径为a 的接地导体球外空气中有一点电荷Q ，距球心的距离为

，如图所示。现拆除接地线，再把点电荷Q

与、

的方向一定一致， 的方向可能与

与磁化强度

的定义可知，在各向同性媒质中:（ ）

相反

与回路 链结的铁磁物质被磁化后等效的磁化电流)

的方向可能与一致，也可能与

一致，也可能与相反 磁场强度的方向总是使外磁场加强。

移至足够远处，可略去点电荷Q 对导体球的影响。若以无穷远处为电位参考点，则此时导体球的电位（ ）

10

A.

B.

C.

( B

1. 图示 一点电荷Q 与一半径为a 、不接地导体球 的球心相距为

， 则导体球的电位（ ）

A. 一定为零 B. 可能与点电荷Q 的大小、位置有关 C. 仅与点电荷Q 的大小、位置有关 ( B

1. 以位函数 为待求量的边值问题中，设（ ）

、

、

都为边界点的点函数，则所谓第二类边值问题是指给定

； ( 为 在边界上的法向导数值)

( B

1. 以位函数 为待求量边值问题中，设

、

、

都为边界点 的点函数，则所谓第一类边值问题是指给定( )

；

( 为 在边界上的法向导数值)

( A

1. 静电场中电位为零处的电场强度（ ）

A. 一定为零； B. 一定不为零； C. 不能确定 ( C

1. 电源以外恒定电流场基本方程的微分形式说明它是（ ） 有散无旋场； ( B

1. 恒定电流场中，不同导电媒质交界面上自由电荷面密度

的条件是（ ）

无散无旋场；

无散有旋场

； ；

( A

1. 试确定静电场表达式A. ( A

11

中，常数c 的值是（ ）

； C.

； B.

1. 已知电场中一闭合面上的电通密度，(电移位) 的通量不等于零，则意味着该面内（ ）

A．一定存在自由电荷； B．一定存在自由电荷； C． 不能确定 ( A

1. 下列表达式成立的是（ ） A、

； B、??u?0； C、???u?0； D、???u?0

??Ads??????A?dvsv( C

1. 关于距离矢量R?r?r?，下面表示正确的为（ ） A、

1R； B、?R???R； C、?1； D、1R ( D R?R2?1R???R??R?R31. 下面表述正确的为（ ）

A．矢量场的散度仍为一矢量场；B．标量场的梯度结果为一标量；

C．矢量场的旋度结果为一标量场；D．标量场的梯度结果为一矢量 ( D 1. 矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为（ ） A．?Ax?x??Ay?y??Az； B．?Ax?z?xe?Ay?Azx??yey??zez； C．?A?A?A； D．??xeA?A?Ax??yey??zez?x??y??z 1. 斯托克斯定理的表达式为（ ）A．

?LA?dl???(??A)?ds； B

．

?ds；

s?LA?dl???(??A)sC．

? D．

LA?dl???(??A)?ds；s?LA?dl???(??A)?dss

1. 下面关于亥姆霍兹定理的描述，正确的是（ ）

A． 研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 B． 研究一个矢量场，只要研究它的散度就可确定该矢量场的性质。

C． 研究一个矢量场，只要研究它的旋度误就可确定该矢量场的性质。 ( A 1. 带电球体（带电荷量为Q） 球外任一点的场强（ ） A．大小为Q/4??r； B．与电量的大小成反比

0C．与电量的大小成正比 D．与距离成正比 ( C

12

( A ( A ( B

1. 下列关于电场（力）线表述正确的是（ ）

A．由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；B．由正电荷出发，终止于负电荷； C．正电荷逆着电场线运动，负电荷顺着电场线运动 ( B 1. 下列关于电位移线表述正确的是（ ）

A．由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷； B．由正电荷出发，终止于负电荷； C．正电荷逆着电位移线运动，负电荷顺着电位移线运动 ( A 1. 电位移表达式D??E（ ）

A．在各种媒质中适用； B．在各向异性的介质中适用；C．在各向同性的、线性的均匀的介质中适用； ( C

1. 电位移表达式

D??0E?p（ ）

A．在各种媒质中适用； B．只在各向异性的介质中适用；C．只在各向同性的、线性的均匀的介质中适用； ( A 1. 磁场强度表达式B??H（ ） A．在各种磁介质中适用； B．只在各向异性的磁介质中适；C．只在各向同性的、线性的均匀的磁介质中适用； ( C

1. 磁感应强度表达式

B??0H??0M（ ）

A．在各种磁介质中适用； B．只在各向异性的磁介质中适用；C．只在各向同性的、线性的均匀的磁介质中适用； ( A

1. 电源以外恒定电流场基本方程的积分形式是（ ）

B．A．

C．

?E?dl?0,?J?dS?0?E?dl?0,?J?dS?0?E?dl?0,?J?dS??dq/dt( A

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 (答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为

(3分)（表明了电磁，?D?B??H?J?,??E??,??B?0,??D???t?t场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

(( 时变场的一般边界条件 D??、E2t?0、H2t?Js、B2n?0。nD2??、n?E2?0、n?H2?Js、nB2?0) 2n1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 ( 答矢量位B???A,??A?0；动态矢量位

。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制?A或?AE?????E??????t?tA的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义

13

(

????A?dss 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若Ф> 0，流出S面的通量大于流入的通量，即通量由S

面内向外扩散，说明S面内有正源若Ф< 0，则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内有负源。若Ф=0，则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。 1. 证明位置矢量 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

r?exx?eyy?ezz( 证明在直角坐标系里计算

，则有

?x?y?z???????r(r)??ex?ey?ez??(exx?eyy?ezz)????3?x?y?z?y?z???x2由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 1?3??r(r)?2(rr)?2(r)?3r?rr?r1. 在直角坐标系证明????A?0 (

????A?A?A?A?A?A?A????ey?ez)?[ex(z?x)?ey(x?z)?ez(y?x)]?x?y?z?y?z?z?x?x?y??A?A??A?A??A?A?(z?y)?(x?z)?(y?x)?0?x?y?z?y?z?x?z?x?y?(ex若在球坐标系里计算，则 1?

1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。 ( 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 例静电场

??D?ds??qs

0??D??0 有源

?l ??E?0 无旋

E?dl?01. 已知

R?r?r?，证明

R??R????R??eR。

R

( 证明

?R?R?Rx?x?y?y?z?z??R?ex?ey?ez?ex?ey?ez?x?y?zRRR

??R? …… ???R

1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？ ( 一般电流

/t?J?dS??dq/dt0,??J?????；恒定电流

?J?dS?0,??J?0

1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。 ( 答静电场基本方程的

积分形式

，

微分形式

??E?ds???qs01?E?dll?0

??D??,??E?0

1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

( 静电场基本方程微分 ，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是电荷的分布）。

??D??,??E?01. 试说明导体处于静电平衡时特性。 ( 答导体处于静电平衡时特性有

14

①导体内

④导体表面附近电场强度垂直于表面，且

E?0；②导体是等位体（导体表面是等位面）；③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)；

E??n/?0。

n1?D2?n1?D2

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。 ( 答在界面上D的法向量连续

D1n?D2n或（）；E的切向分量连续

E1t?E2t或（

n1?E1?n1?E2）

1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。 ( 在界面上D的法向量

D2n??或（

n1?D2??）；E的切向分量

E2t?0或（

n1?E2?0）

1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。 ( 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为

?1??2，

??1??2?1??2?n?n1. 试推导静电场的泊松方程。 ( 解由

??D??

，其中

D??E,E????

，???D????E ?为常数

???2???? 泊松方程

1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义 ( 对于某一空间区域V，边界面为s，φ满足

， 给定

（对导体给定q）

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可由经验先写试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。 1. 试写出恒定电场的边界条件。 ( 答恒定电场的边界条件为

，

，

1. 分离变量法的基本步骤有哪些?

( 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。

1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？

( 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。 7、 试题关键字恒定磁场的基本方程

1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。 ( 答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为

??H?dl??IsB?ds?0’

??B?0??H?J

说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。

l 15

1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。 ( 答:恒定磁场的边界条件为:

n?(H1?H2)?Js,n?(B1?B2)?0，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切向分量是

不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。

1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

( 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程??E?0和??D??由??D??得

??Dd???????d?

据散度定理，上式即为

?D?dS?qs 利用球对称性，

D?erq故得点电荷的电场表示式 q

E?er4?r24??r2由于??E?0，可取E????，则得??D????E???????????1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。 (

?2???即得泊松方程 ?2???

? ?D?B?B ?D

??H?J?E?dl?????dS??E???lH?dl???s(J??t)?dS?ls?t?t?t??sB?dS?0 ??B?0

??sD?dS?q

??D??

1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。

( 答边界条件为E?E?0 或 或

n?E1?0 H1t?Js n?H1?Js1t2tB1n?B2n?0 或 n?B1?0 D1n??s 或 n?D1??s

1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。

( 答 ??H?j??E ??E??j??H ??B?0 ??D?0 1. 试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。 ( 答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。 圆极化的特点

Exm?Eym，且Exm,Eym的相位差为?，直线极化的特点Exm,Eym的相位差为相位相差0,?，

?2Exm?Eym，且Exm,Eym的相位差为?或0,?，

?2椭圆极化的特点

1. 能流密度矢量（坡印廷矢量）S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？

( 答能流密度矢量（坡印廷矢量）S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的表达式为

d??(E?H)?dS?(We?Wm)?P?dts

或

d11??(E?H)?dS??(?E2??H2)d????E2d?dt?22s?，反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。

16

1. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大） ( 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减 ； 电场和磁场不同相；以平面波形式传播。 1. 写出一般情况下时变电磁场的边界条件

( 时变场的一般边界条件 D?D??、E?E、H?H?J、B?B。 (写成矢量式

n(D1?D2)??、1t2t1t2ts1n2n1n2nn?(E1?E2)?0、n?(H1?H2)?Js、n(B1?B2)?0一样给5分)

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 ( 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为

?D?B??H?J?,??E??,??B?0,??D???t?t（表明了电磁场和它们的源之间的

全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件

(写成矢量式( 时变场的一般边界条件 D??、E?0、H2t?Js、B2n?0。nD2??、n?E2?0、n?H2?Js、2t2nnB2?0一样给5分)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 ( .答矢量位B???A,??A?0；动态矢量位

?AE??????t或

?AE??????t。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A的

散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 真空中有一导体球A， 内有两个介质为空气的球形空腔B和C。 其中心处分别放置点电荷

和

， 试求空间的电场分布。

( 对于A球内除B、C 空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。 对 A球 之外， 由于在A 球表面均匀分布

的电荷， 所以 A 球以外区域

蔽作用则

(为B内的点到B 球心的距离),

(为C内的点到C球心的距离)

（方向均沿球的径向）, 对于 A内的B、C空腔内，由于导体的屏

1. 如图所示， 有一线密度中各点的磁感应强度。

的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场

( 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则 由

17

1. 已知同轴电缆的内外半径分别为 和 ,其间媒质的磁导率 为，且电缆长度

， 忽略端部效应， 求电缆单位长度的外自感。

( 设电缆带有电流

,

则

1. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为。 试求载流导线单位长度受到 的作用力。

( 镜像电流

镜像电流在导线处产生的值为

单位长度导线受到的作用力 力的方向使导线远离媒质的交界面。

1. 图示空气中有两根半径均为a，其轴线间距离为 d 们单位长度上所带的电荷 量分别为应，试求

(1) 圆柱导体外任意点p 的电场强度的电位的表达式 ； (2) 圆柱导体面上的电荷面密度

与

值。 和

的平行长直圆柱导体，设它

， 若忽略端部的边缘效

(

以y轴为电位参

考点，则

1. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场 中的磁感应强度分布(( 线上、下对称。

18

线)。

1. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为: 和求合 成波电场强度的瞬时表示式及极

化方式。(

得

合成波为右旋圆极化波。

1. 长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互 位置如图所示。设面

时，线框与直导线共

时，线框以均匀角速度 绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。

( 长直载流导线产生的磁场强

度

时刻穿过线框的磁通

感应电动势 参考方向时为顺时针方向。

1. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为 试求(1)

的值 ; (2) 电场强度瞬时矢量

和复矢量(即相量)

。

( （1)

由 得 故得

(2)

1. 证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等, 旋转方向相反的圆极化波 的叠加。 ( 证明 设线极化波

其中 :

19

和分别是振幅为的右旋和左旋

圆极化波。

1. 用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点的拉普拉斯方程的差分格式和内点的泊松方程的差分格式。

(

1. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度 为；

, 其中

、

为常数，求位 移电流密度

。

( 因为 由

得

1. 利用直角坐标系证明??(fG)?f??G?(?f)?G ( 证明左边=（

??(fA)???(fAxex?fAyey?fAzez)?(Ay)ey?(f)ey?(Ax)ex?(f)ex?Ax?f?Ay?x?x?y?y?(Az)ez?(f)ez?f?Az?z?z?f??(fAx)ex?(fAy)ey?(fAz)ez???x?y?z?(Ay)ey?(Ax)ex?(f)ex?(Az)ez?[f?f?f]?[Ax?x?y?z?x?(f)ey?(f)eyAy?Ay]?y?y?f??A?A??f=右边

1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

? ???j(20?z?)??4?j20?z?42E?ax?10e?ay?10e(v/m)求（1）平面波的传播方向； （2）频率； （3）波的极化方式； （4）磁场强度； （5）电磁波的平均坡印廷矢量?。

Sav 20

( 解（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向 （2）频率为

cf?k0?3?109Hz2?

（3）波的极化方式因为

Exm?Eym?10,?x??y?0?

?4?2???，故为左旋圆极化．

2（4）磁场强度

H??1?01az?E?(az?ax10?4?jaz?ay10?4)e?j20?z?0?0(ay10?4?jax10?4)e?j20?z?0（5）平均功率坡印廷矢量

11Re[E?H*]?Re[(ax10?4?jay10?4)e?j20?z2211(10?4)2(10?4)2?(ay10?4?jax10?4)ej20?z?[?]az?02?0?0Sav?11??[2?10?8]az2120??0.265?10?10az(W/m2)1 求矢量1.

A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

exey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z( 解 ?Adl??xdx??xdx??2C00022222dy??0dy?8 ??A?0??xx22所以??AdS?S???(e2yz?e2x)exz00zdxdy?8 故有?Adl?8????AdS

CS1. 同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质??0，具有漏电现象，同轴线外加电压U，求

（1）漏电介质内的?；（2）漏电介质内的E、J；（3）单位长度上的漏电电导。 ( 解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为1dd?

()?0rdrdr??由边界条件r?a,??U;r?b,??0所得解为

?(r)?[Ub]lnbrlna

（2）电场强度变量为

E(r)??erd?U?erdrrlnba，

则漏电媒质的电流密度为

J??E(r)? （3）单位长度的漏电流为

?Urlnbaer

I0?2?r??Urlnba?2??Uebrlna 21

单位长度的漏电导为

G0?I02???Ulnba

1. 空气中传播的均匀平面波电场为

E?exE0e?jk?r，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f。求

(1)磁场H； (2)波长?； (3)能流密度S和平均能流密度( 解（1）

Sav； (4)能量密度W。

H?1?ez?exE0e?jk?r?ey

?0E0e?jk?r?0

（2）

v1???ff?0?0（3）

?0S?E?H?exE0e?jk?r?eyE0e?jk?r??ez0E02e?2jk?r?0?0?ez

?022Ecos(2?ft?kz)?0011?02Sav?Re(E?H*)?ezE022?0 （4）

11W??0E2??0H222

1. 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

d/2)用介电常数为?的电介质填充，

（2）若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；（3）求电容器的电容量。 ( （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有?E??0E0 又由于E2?0U02?U0dd E0?? ?E0??U0由以上两式解得E??(???)d(???)d22002?0?U0

(???0)d故下极板的自由电荷面密度为?下??E??上极板的自由电荷面密度为?上???0E0?2?0?U0

(???0)d2?0(???0)U0

(???0)d2?0(???0)U0

(???0)d电介质中的极化强度P?(???0)E??ez故下表面上的束缚电荷面密度为?p下??ezP?上表面上的束缚电荷面密度为?p上?ezP??2?0(???0)U0

(???0)d 22

（2）由??2?0?U(???0)dQQ(???0)Q?U? 得到 故?p下? ab(???0)d2?0?ab?ab2?0?abQ? U(???0)d（3）电容器的电容为C?1. 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（?z）方向传播，介质的特性参数为??4、

r?r?1，??0。设电场沿x方向，即E?exEx；当t?0，

1时，电场等于其振幅值 10?4V/m 。试求 z?m8（1） H(z,t)和E(z,t)； （2） 波的传播速度； （3） 平均波印廷矢量。 ( 解以余弦形式写出电场强度表示式

E(z,t)?exEx(z,t)?exEmcos(?t?kz??xE)把数据代入

Em?10?4V/m

4?k?????2?f4?0?0?rad/m3

E(z,t)?ex10?4cos(2??108t?H(z,t)?eyHy?ey?eyEx4??z?)V/m3614??10?4cos(2??108t?z?)36???xE 4?1??kz???rad386??ey14??10?4cos(2??108t?z?)A/m60?36（2）波的传播速度

3?108v????1.5?108m/s2???0?011

（3）平均坡印廷矢量为

1Sav?Re[E?H*]2

4?????j(z?)z?)?42110?4j(43?4366Sav?Re[ex10e?eye]?1Re[e(10)]z260?

260?10?8?ezW/m2120?1. 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。 ( 解 在圆柱坐标系中?A?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z所以??Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200?

?00042?5又

23

?SAdS??(err2?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)S42?252????5?5d?dz???2?4rdrd??1200?0000

故有?Ad??1200?????AdS

S1. 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。

2??2( 解

?rdS??redS??d??aarSS00sin?d??4?a3

又在球坐标系中?r?1?2(rr)?3 2r?r2??a所以?rd????23 3rsin?drd?d??4?a???0001. 证明（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。 ( 解 （1）

?x?y?z???R??R????3 （2） ?x?x?y?zxexey??yyez??0 ?zy（3）设 A?exAx?eyAy?ezA z则AR?Axx?Ayy?Azz

?(AR)?ex??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)?x?y?ez?(Axx?Ayy?Azz)?z?exAx?eyAy?ezAz?A

1. 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。 ( 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为E电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为E21?q1r?r1?2ex4?ez4? 4??0r?r1?3??0(42)3?q2r?r2?1ex4?ey4?? 34??0r?r2???0(42)3故(4,0,0)处的电场为E?E1?E2?ex?ey?ez2322??0

1. 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 ( 解 无限长直线电流I1产生的磁场为B1?e??0I1 2?r 24

1直线电流I2每单位长度受到的安培力为Fm12??I2ez?B1dz??e120?0I1I2 2?d?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为Fm21??Fm12?e121. 半径为a的球体中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a)

其中A为常数，试求电荷密度?(r)。 ( 解 由?D??，有?(r)??D?1d2(rDr) r2dr故在r?a区域?(r)??01d2322[r(r?Ar)]??(5r?4Ar) 02rdr541d(a?Aa)2在r?a区域?(r)??02[r]?0 2rdrr1. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。

4已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计算（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

( 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3(rE)]??[(r)]?6?00r2drr2dra4a4a???0?E??0[

r322（2）球体内的总电量Q为Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为??2Q?2?0 24?a1. 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为

P?P0(exx?eyy?ezz)。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

?P0 ?P(x?( 解 （1） ?P???P?3L)?nP2x?L2?exPx?L2?LP0 2 25

?P(x??)?nPL2x??L2??exPx??L2?LP0 2同理?P(y?LLLLL)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0 22222LP0?0 22?r?1?()R02 3?032（2） qP???Pd????PdS??3P0L?6L??S1. 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为2?r( 解 由

?DdS?q可得到

S34?R04?r32 4?rD2?即 4?rD1??（r?R0）?（r?R0）332D1?D2?D?r?r,E1?1?（r?R0） 3?r?03?r?033?R0D1?R0,E??（r?R0） 23r2?03?0r2故中心点的电位为

?3?R0?r?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr 23??3?rr000R0R00R0?R0?R02?R022?r?1?2???()R0 6?r?03?02?r3?01. 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 ( 解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为?p???P??1d2KK (r)??22rdrrrK R在r?R的球面上，束缚电荷面密度为?p?nPr?R?erPr?R?（2）由于D??0E?P，所以?D??0?E??P??0??D??P 即(1?0)?D??P

??????0?p??K

(???0)r2由此可得到介质球内的自由电荷体密度为???D?????0?P???KR14??RK24?rdr? 总的自由电荷量q???d??2????r???000?

26

（3）介质球内、外的电场强度分别为E1?PK?er???0(???0)r(r?R)

(r?R)

E2?erq4??0r2?er?RK?0(???0)r2介质球内、外的电位分别为

K?RKdr??dr ?1??Edl??E1dr??E2dr??2(???0)r?(???0)rrR0rrR?KR?Kln????0r?0(???0)???R?R?(r?R)

?2??E2dr??r?RK?RKdr??(???0)r2?0(???0)rr0(r?R)

1. 如题（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有点电荷q。求（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。

z q z q R1 z q?q?? P ?0 ? h o ? h ? h o 图 2.13q ? ?0 ?0 h o R2 P R? 题 4.24图（a） 题 4.24图（b） 题 4.24图（c） ( 解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c）所示）

q??????0???0q，位于 z??h q???q， 位于 z?h ???0???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即

?1?qq??4??0R14??0R? ????0q?11?????2?24??0????0r2?(z?h)2?r?(z?h)??下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即

q?q??q1?2?? 4??R22?(???0)r2?(z?h)2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

27

?p?n??P1?P2??z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(??2??1?)?z?zz?0??(???0)hq2?(???0)(r2?h2)32

z 极化电荷总电量为qP???PdS???P2?rdr??S0(???0)q(???0)hqr?q?1. 如题dr??2232????00(r?h)???0?5.8所示图，无限长直线电

I ?1??0 ?2?? x 流I垂直于磁导率分别为?1和?2的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和（2）磁化电流分布。 B2；

( 解 （1）由安培环路定理，可得H?e??II所以得到?I B1??0H?e?0 B2??H?e?2?r2?r2?r(???0)I

2??0r（2）磁介质在的磁化强度M?1?0B2?H?e?则磁化电流体密度Jm???M?ez(???0)I1d1d1(rM?)?ez(r?)?0 rdr2??0rdrr在r?0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r?0处存在磁化线电流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有I?Im?1?0C?B?dl??I ?0H1(P1) H2(P1) ?l ?h 故得到Im?(??1)I ?0(???0)I er2??0rH1(P2) H2(P2) ?1 ?2 题5.9图 在磁介质的表面上，磁化电流面密度为JmS=M?ezz=0 1. 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为U0sin?t，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。

( 解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即E?erU0sin?t

rln(ba)Ucos?t?D ?er??0?trln(ba)故电容器两极板间的位移电流密度为Jd?则id?Jd?dS?s???02?l0??U0cos?trln(ba)er?errd?dz

?2??l2??l是长为l的圆柱形电容器的电容。 ?U0cos?t?C?U0cos?t 式中，C?ln(ba)ln(ba) 28

流过电容器的传导电流为ic?C1. 已知在空气中E?ey0.1sin10dU?C?U0cos?t可见id?ic dt9?cxos(6?10?t?)?z，求H和?。

(提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得?。)

2?E( 解 电场E应满足波动方程?E????0 002?t2将已知的E?eyEy?2Ey?x22式中?Ey?z22?Ey代入方程，得

?x2??2Ey?z2??0?0?2Ey?t2?0

??0.1(10?)2sin10?xcos(6??109t??z)?0.1sin10?x[??2cos(6??109t??z)]?2Ey?t2?0.1?0?0sin10?x[?(6??109)2cos(6??109t??z)]

?0?02故得?(10?)2??2??0?0(6??109)?0 则???300?54.41rad/m 由??E???0?H得

?t?E?E?H11????E??[?exy?ezy]?t?0?0?z?x??1?0[?ex0.1?sin10?xsin(6??109t??z)

?ez0.1?10?cos10?xcos(6??109t??z)]将上式对时间t积分，得

Η??1[ex0.1?sin10?xcos(6??109t??z]9?0?6??10?ez?cos10?xsin(6??109t??z)??ex2.3?10?4sin10?xcos(6??109t?54.41z)?ez1.33?10?4cos10?xsin(6??109t?54.41z)A/m

1. 在自由空间中，已知电场E(z,t)?ey10sin(?t??z)V/m，试求磁场强度H(z,t)。 ( 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式

3E(z,t)?ey103cos(?t??z?)V/m

2这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为?90?。与之相伴的磁场为

H(z,t)?1??0ez?E(z,t)????ez?ey103cos??t??z???02??1103?????excos??t??z????ex2?65sin(?t??z)A/m120?2??

1. 均匀平面波的磁场强度H的振幅为

1A/m，以相位常数30rad/m在空气中沿?ez方向传播。当t=0和z=0时，若H的3? 29

取向为?ey，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。 ( 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式H??ey1cos(?t??z)A/m 3?与之相伴的电场为

E??0[H?(?ez)]?120?[?ey?ex40cos(?t??z)V/m1cos(?t??z)?(?ez)]3?

由????rad/m得波长?和频率f分别为

??f?2??0.21m?c??vp3?108 Hz?1.43?109Hz??0.21??2?f?2??1.43?109rad/s?9?109rad/s则磁场和电场分别为

1cos(9?109t?30z)A/m3?

9E?ex40cos(9?10t?30z)V/mH??ey1. 海水的电导率??4S/m，相对介电常数?r?81。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。

??48.8?108??? ( 解 先判定海水在各频率下的属性??2?f??2?f?81?fr00?????f?????1，海水可视为良导体。此时??(1?j)?f? 可见，当f?107Hz时，满足???00c????10?103?4??10?7?4?0.126??0.396Np/m2?2?????15.87m?0.126?f=10kHz时

?c?(1?j)??10?10?4??1043?7

????100?103?4??10?7?4?1.26?Np/m2?2?????5m?1.26?f=100kHz时

?c?(1?j)??100?10?4??1043?7

??0.099(1?j)??0.314(1?j)?f=1MHz时

????10?4??10?4?3.96Np/m2?2?????1.587m?3.96??c?(1?j)??106?4??10?74?0.99(1?j)?6?7

????10?106?4??10?7?4?12.6Np/m2?2?????0.5mf=10MHz时?12.6?c?(1?j)??10?10?4??1046?7

?3.14(1?j)?当f=100MHz以上时，

???1不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时， ?? 30

??2?f??2?f?0??0?r?0?2??)2?1??1?(2?f?r?0????)2?1? ?1?(2?f?r?0???0?r?0?2?0(?r?0)1?j?(2?f?r?0)f=100MHz时

??37.57Np/m??42.1rad/m2????0.149m??c?42??14.05ej41.8?1?j8.9??69.12Np/m??203.58rad/m2? f=1GHz时????0.03m?0?42??36.5ej20.8?1?j0.89

1. 有一线极化的均匀平面波在海水(?r?80,?r?1,??4S/m)中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为

H?ex0.1sin(1010?t??/3)A/m

（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

( 解 （1）???1010??80??1010??80?10?9?0.18

0可见，在角频率??1010?时，海水为一般有损耗媒质，故

???????2??1?()?1?2????80?0?0[1?0.182?1]?83.9Np/m2?44?36??1010????????2??1?()?1?2?????1010? 80?0?0[1?0.182?1]?300?rad/m2??1010???0.333?108m/s?300?2?2?????6.67?10?3m ?300?vp??c????1?j???080?01?j0.18?c?1??1?11.92?10?3m83.9?42.15?41.82ej0.028??1.008e?j0.028?（2）由0.01?0.1e??y即e??y?0.1得

y?1?ln10?1?2.303m?27.4?10?3m 83.9?3（3）H(y,t)?ex0.1e?83.9ysin(1010?t?300?y?)A/m

?j3 其复数形式为H(y)?ex0.1e?83.9ye?3j00?yeA/m?故电场的复数表示式为

E(y)??cH(y)?ey?41.82ej0.028??0.1e?83.9y?e?ez4.182eE(y,t)?Re[E(y)ej?t]?83.9y?j(300?y??)32??ex?eye?j(300?y??0.028??)32??

V/m则

?ez4.182e?83.9ysin(1010?t?300?y??3?0.028?)V/m

31

??2?f??2?f?0??0?r?0?2??)2?1??1?(2?f?r?0????)2?1? ?1?(2?f?r?0???0?r?0?2?0(?r?0)1?j?(2?f?r?0)f=100MHz时

??37.57Np/m??42.1rad/m2????0.149m??c?42??14.05ej41.8?1?j8.9??69.12Np/m??203.58rad/m2? f=1GHz时????0.03m?0?42??36.5ej20.8?1?j0.89

1. 有一线极化的均匀平面波在海水(?r?80,?r?1,??4S/m)中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为

H?ex0.1sin(1010?t??/3)A/m

（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。

( 解 （1）???1010??80??1010??80?10?9?0.18

0可见，在角频率??1010?时，海水为一般有损耗媒质，故

???????2??1?()?1?2????80?0?0[1?0.182?1]?83.9Np/m2?44?36??1010????????2??1?()?1?2?????1010? 80?0?0[1?0.182?1]?300?rad/m2??1010???0.333?108m/s?300?2?2?????6.67?10?3m ?300?vp??c????1?j???080?01?j0.18?c?1??1?11.92?10?3m83.9?42.15?41.82ej0.028??1.008e?j0.028?（2）由0.01?0.1e??y即e??y?0.1得

y?1?ln10?1?2.303m?27.4?10?3m 83.9?3（3）H(y,t)?ex0.1e?83.9ysin(1010?t?300?y?)A/m

?j3 其复数形式为H(y)?ex0.1e?83.9ye?3j00?yeA/m?故电场的复数表示式为

E(y)??cH(y)?ey?41.82ej0.028??0.1e?83.9y?e?ez4.182eE(y,t)?Re[E(y)ej?t]?83.9y?j(300?y??)32??ex?eye?j(300?y??0.028??)32??

V/m则

?ez4.182e?83.9ysin(1010?t?300?y??3?0.028?)V/m

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