第4讲 利用轴对称破解最短路径问题

第一章 平移、对称与旋转 第4讲 利用轴对称破解最短路径问题

一、学习目标

1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识·轻松学

与轴对称有关的最短路径问题

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

三、重难疑点·轻松破

最短路径问题

在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题

例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．

（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由． 解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点， ∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′， ∴AB′=AP+PB．

（2）如图：连接AN，BN，B′N， ∵AB′=AP+PB，

∴AN+NB=AN+NB′＞AB′， ∴AN+NB＞AP+PB．

点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．

变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．

（2）“两点两线（平行）”问题

例2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？

解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．

如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽， 连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH， 则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PD=BB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．

故桥建立在PD处符合题意．

点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 解决“造桥选址”的简单的实际问题．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．

变式2 如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一座桥CD．请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）．要求写出作法，并说明理由．

（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题

例3：如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M，

以BA为对称轴作出P的对称点N， 连MN交BA、BC于点P1、P2 ∴△PP1P2为所求作三角形．

点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线

上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题．

变式3 城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

（4）“一线异侧两点” “差最大” 问题

例4 在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差的绝对值最大．

解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B′， 作直线AB′交XY于P点，

则点P为所求点（如图）；若B′A∥XY（即B′、A到直线XY的距离相等），则点P不存在．

证明：连接BP，在XY上任意取点P′， 连接P′A、P′B，则PB=PB′，P′B=P′B， 因为|P′B﹣P′A|=|P′B′﹣P′A|＜AB′=|P′B﹣PA|=|PB﹣PA|，

所以，此时点P使|PA﹣PB|最大．

点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．

变式4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，

（1）求BC的长

（2）在直线MN上是否存在点P，使｜PA－CP｜的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。

（5）“两点一线＋线段”

例5 直线L的同侧有两点A、B，在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧。

作法：①将点A向右平移a个单位到A1 ②作点B关于直线L的对称点B1 ③连结A1B1交直线L于点D

④过点A作AC∥A1D交直线L于点C，连结BD， 则线段AC、CD、DB的和最小。点C、D即为所求。 变式5长方形OACB，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，画出点E的位置；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，画出点E、F的位置；

（6）台球击点问题

例6如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M，N两点处，问：怎样撞击白球M，使白球先撞击台边BC，反弹后再去击中黑球N？

解析：作N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点E，连接EN．按ME方向撞击白球M，白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N． 点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N，必须使∠MEB=∠NEC．由轴对称还可得，∠N′EC=∠NEC．又对顶角

∠MEB=∠N′EC，故可得到∠MEB=∠NEC．本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应

用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

变式6 如图，甲乙丙丁四人做接力游戏．开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上．游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲．如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，作法不用写）

四、课时作业·轻松练 A.基础题组

1. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）

A、 B、 C、D、

2.已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 cm．

第2题 第3题

3.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD= °．

4.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，∠AOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）

B.中档题组

5.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．

6.如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）

C.挑战题组

7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的路程最短，画出路程图

五、我的错题本

参考答案

变式练习

变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．

变式2 解：如图，过点B作BC⊥n，且使BC等于河宽，连接AC交

直线m与M，作MN∥BC即可． 理由：两点之间线段最短．

变式3解析：本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果作点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC=MN，此时周长最小．

变式4解：（1）因MN垂直平分AB，所以MB＝MA，又因△MBC的周长是14 cm，故AC+BC＝14 cm，所以BC＝6 cm.

（2）当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PA－CP的值最大，最大值是6cm， 理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP，当点P位于MN（直线MN与BC延长线的交点除外）上时，根据三角形三边关系始终有｜PB－CP｜

变式5解：（1）如图，作点D关于OA的对称点D'，连接CD'与OA交于点E，连接DE．

若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E' 由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE， 可知△CDE的周长最小．

（2）如图，作点D关于OA的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与OA交于点E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF， 又GC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小． 变式6解：作点G关于CD的对称点G′，作E关于AB的对称点E′连接G′E′，交CD于点F、交AB于点H，故比赛最短的路线为：E→H→G→F．

课堂作业 A.基础题组

1.D解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D． 2.10解析：连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm．

3. 45°解析：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，

正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．

4.解析：要求小华所走路程最短路线，如图，可作点C关于OA的对称点M，作点C关于OB的对称点N．连接MN，交OA于点F，交OB于点E，最短路线CEF．

B.中档题组

5解：作出点A关于l1的对称点E，点B适于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点B，则AC，CD，BD是他走的最短路线．

6.解：如图，分别作A点关于直线MN的对称点A′、B点 关于直线PQ的对称点B′，连接A′B′，分别交MN于点C，交PQ于点D，连接AC、BD，∴路线AC+CD+BD最短．

C.挑战题组

7.解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．

证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．

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