1质点运动学习题思考题第一节

质点的运动习题

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti sinωtj) 其中 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由r=R(cosωti sinωtj)，知：x Rcos t ，y Rsin t 消去t可得轨道方程：x2 y2 R2

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

dr

（2）由v ，有速度：v Rsin ti Rcos tj

dt

1

而v v，有速率：v [( Rsin t)2 ( Rcos t)2]2 R。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r 4t2i (3 2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t 0到t 1s的位移；（3）t 0和t 1s两时刻的速度。

2

解：（1）由r 4ti (3 2t)j，可知x 4t2 ，y 3 2t

消去t得轨道方程为：x (y 3)2，∴质点的轨道为抛物线。

t 0t 1（2）从到s的位移为： r r(1) r(0) (4i 5j) 3j 4i 2j

dr

（3）由v ，有速度：v 8ti 2j

dt

t 0和t 1秒两时刻的速度为：v(0) 2j，v(1) 8i 2j。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r t2i 2tj，式中r的单位为m，

t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和

法向加速度。

dr dv

解：(1)由v ，有：v 2ti 2j，a ，有：a 2i；

dtdt

（2）而v

v，有速率：v [(2t)2 22]2 ∴at

an

dvdt

222

a at an有：

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机

1

质点的运动习题

的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为

y1 h v0t y2 v0t

12

12

2

gt （1）

2

at （2）

相遇时y1=y2

即得： t

2hg a

。

速度修

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加正为g' g a，

利用h

12

g t，有：t

2

2hg

2hg a

。

1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的

drdt

h

，

dvdt

，

dvdt

。

解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

1 2

x v0t ，y h gt ，∴r v0ti (h gt)j；

22

1

2

（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y

gx

22

1dr 2

v0i gtj， （3）∵r v0ti (h gt)j，∴

2dt

dv

gj

即：v v0i gtj，dt

dr

t

v0i j

在落地瞬时，有：dt

2

2v0

h（为抛物线方程）；

质点的运动习题

又∵ v

g2tdv

，∴

dt[v2 (gt)2]2

。

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t

由相似三角形关系可得：∴x1

h1h1 h2

x2

1

2

x1 x2

x1

h2h1

，

两边对时间求导有：

dx1dt

h1dx2h1h1 h2

h1 h2dtdt

，考虑到：

dx2dt

v1，

知人影中头的速度：v影

dx2

。 v1（常数）

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为x 2 4t 2t2(m)，在 t从0到3s的时间间隔内，质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v

dxdt

4 4t 若v 0 解得 t 1s，

x1 x1 x0 (2 4 2) 2 2m

x3 x3 x1 (2 4 3 2 3) (2 4 2) 8m

2

x x1 x2 10m。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度h 20cm，斜面对水平的倾角 30 ，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。 解：小球落地时速度为v0

2gh，建立沿斜

面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

3

质点的运动习题

vx0 v0cos60→ x v0cos60t

vy0 v0sin60→ y v0sin60t

00

1212

gcos60t （1） gsin60t （2）

2

02

第二次落地时：y 0，代入（2）式得：t 所以：x v0cos60t

2v0g

，

4h 80cm。

12

gcos60t

02

2v0g

2

2 2ghg

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2。

解：由向心力公式：F向 m R，

赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向 mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向 ma

∴

2

0

16.98 17

1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为 。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx v0cos ，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g

v

2

1

(v0cos )

2

1

，

1

vcos

g

2

2

；

（2）在落地点子弹速度为v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成 角，则：an gcos ，有：gcos

v0

2

2

则： 2

v0

y

2

gcos

。

1-11．飞机以v0 100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h 98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地

4

质点的运动习题

面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x有：

x v0t┄①，h

12

gt┄②

xh

77.5。

2

联立方程解得：x 447m，∴ arctan

1-12．设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为 ；

试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。 vB与水平面的夹角为 ，

证明：两个物体初速度为vA0和vB0，在任意时刻的速度为：

vA(t) vA0cos i (vA0sin gt)j

vBA vB(t) vA(t) (vB0cos vA0cos )i (vB0sin vA0sin )j

vB(t) vB0cos i (vB0sin gt)j

与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 49.0m/s，而气球以速度v 19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：取g=9.8m/s2。

物体在任意时刻的速度表达式为：vy v0 gt

故气球中的观察者测得物体的速度 v vy v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度： v2 9.8m第三秒末物体速度： v3 0 第四秒末物体速度： v4 9.8m

s

s

，（向上）

（向下）。

1-14．质点沿x轴正向运动，加速度a kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x x(t)。

解： 由于是一维运动，所以，由题意：

分离变量并积分有：

vv0

dvdt

kv，

kt

1v

dv kdt ，得：v v0e

t

5

质点的运动习题

又∵

dxdt

v0e

kt

， 积分有： dx

x

t0

v0e

kt

dt

∴ x

v0k

(1 e

kt

)

1-15．跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。

解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。

跳水运动员入水时的速度：v0

2gh 14m

v010

a kv，k 0.4m

2 1

s

，

s

入水后速度减为入水速度的10%时：vt 列式：

v0

1.4m

2

，

dvdt

v

dvdx

dvdt

kv，考虑到

2

dvdt

v

dvdx

，有： kv

10v0

1v

dv

x0

kdx，x

1k

ln10 5.76m

1-16．一飞行火箭的运动学方程为：x ut u(

1b

t)ln(1 bt)，其中b是与燃

料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：看成一维运动，直接利用公式：v

（1）v

1-17. 质点的运动方程为：x Rcos t，y Rsin t，z

h2

dxdt

dxdt

，a

dvdt

dvdt

有：

ub1 bt

uln(1 bt) ， （2）a

t，式中

R、h、 为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。

h222

t，这是一条空间螺旋线。 解：（1）轨道方程为：x y R，z 2

空间螺旋线在Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为h。

6

质点的运动习题

（2）vx ∴v

2x

dxdt

R sin t ，vy

2y

2z

2

dydt

R cos t，vz

dzdt

h2

，

v v v R

h

22

4

；

2

（3）ax R 2cos t ay R sin t az 0 ∴ a

ax ay R

2

2

2

思考题1

1-1．点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?

（1）v v,v v；（2）v v,v v；（3）v v,v v；（4）v v,v v 答：（3）

1-2．质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？

答：匀速直线运动；va vb vc。

1-3．结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答：平均加速度表示速度在 t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度变化的快慢程度，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化。

1-4．运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？

答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小，但速度仍在增加。

1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相距最近的距离．图中 和 为已知。 答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v vB vA。

v 是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v 方向的直线BC,它不与船A相交,

这表明两船不会相碰

.

7

质点的运动习题

由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin Rsin 作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：sin 在三角形BEF中,由余弦定理可得：v rmin

vBsin vAsin v v 2vAvBcos( )

2A

2B

vBsin vAsin

v

，

22

vA vB 2vAvBcos( )

R。

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA (vAtcos )i (vAtsin )j

rB (R vBtcos )i (vBtsin )j

r rB-rA [R (vBcos vAcos )t]i [(vBsin vAsin )t]j

任一时刻两船的距离为：

r

R (vBcos vAcos )t] [(vBsin vAsin )t] dr(t)dt

0

2

2

令：t

vBcos vAcos

(vBcos vAcos ) (vBsin vAsin )

2

2

R

rmin

vBsin vAsin v v 2vAvBcos( )

2A

2B

R。

1-6．质点在一平面内运动，其位置矢量为r，速度为v，试说明

dvdt

drdt

drdt

dvdt

、

的物理意义，并指出它们分别为零时，除了表示静止外，还可表示质点作何

运动？ 解：

drdt

中的r为位置矢量的模（一般可用r表示），它表示质点离原点的距离，

8

质点的运动习题

drdt

表示质点离原点的距离随时间的变化率，即径向速度vr.它为零表示质点与

原点的距离r不变，表示质点的运动轨迹为圆。即当r 0时，质点作圆周运动.

dr

dv

表示质点的速率v，它为零表示r为恒量，所以只能表示质点静止. 表

dtdt

dvdt

示质点的速率v的变化率，即切向加速度at，

表示加速度的大小，它为零表示速度v为恒量，除了表示质点静止外，还表示质点作匀速直线运动。

1-7．一质点在平面直角坐标系内运动,在位置(x,y)处的速度v vxi vyj， 加速度a axi ayj（其中vx,vy,ax,ay为已知）。求该质点在(x,y)处 的切向加速度和法向加速度。 解：v vx vy at ax

a at an ax ay an

axvy ayvx

v

2

2

2

2

222

vxv

2

ay

vyv

9

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