一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法

知识点回顾

1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a?b，那么

a?c__b?c

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a?b,c?0，那么ac__bc（或

ab___） cc （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a?b,c?0那么ac__bc（或

ab___） cc说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或

aa?0，则a、b同号；⑥若ab＜0或?0，则a、b异号。 bb任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>O?a>b；②a-b=O?a=b；③a-b

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。 4．一元一次不等式（重点）

只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．

x?13x?1例：解不等式：??1

236．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．

7．一元一次不等式组的解集

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一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 ?x?a ??x?b?x?a ?x?b??x?a ?x?b??x?a ??x?bx?a（同大取大） ba x?b（同小取小） ba b?x?a（大小交叉取中间） ba 无解（大小分离解为空） ba9．解一元一次不等式组的步骤

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．

（三）常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.

1 +1>2 x2m?1 B.x>9 C.2x+y≤5

2

D.

1 (x－3)<0 22.若(m?2)x?1?5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a与6的和小于5； x与2的差小于－1；

数轴题 1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：

a__________b; |a|__________|b|; a+b__________0 a－b__________0; a+b__________a－b; ab__________a.

2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A、ab＞0 B、a?b C、a－b＞0 D、a＋b＞0

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同等变换 1.与2x<6不同解的不等式是（ ）

A.2x+1<7 B.4x<12 C.－4x>－12 D.－2x<－6

借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见)

?x?1≥0?1? 1.（2010湖北随州）解不等式组? 3??3?4(x?1)?1 2.（2010福建宁德）解不等式

2x?15x?1?≤1，并把它的解集在数轴上表示出来． 32?1?2(x?1)?1,?3.（2006年绵阳市）?x1

??x.?23?此类试题易错知识辨析

（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.

如不等式ax?b（或ax?b）（a?0）的形式的解集：

当a?0时，x?bb（或x?） aa当a?0时，x?（或x?babbb）当a?0时，x?（或x?） aaa4 若不等式(a＋1)x＞a＋1的解集是x＜1，则a必满足( )．

(A)a＜0 (B)a＞－1 (C)a＜－1

5 若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．

6.如果不等式(m－2)x>2－m的解集是x<－1,则有（ ） A.m>2 B.m<2 C.m=2 7.如果不等式(a－3)x＜b的解集是x＜

(D)a＜1

D.m≠2

b，那么a的取值范围是________. a?3 限制条件的解 1.不等式3(x－2)≤x+4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 2.不等式4x－A.1

D.无数个

111?x?的最大的整数解为（ ） 44

B.0 C.－1

D.不存在

含绝对值不等式 不等式|x|<

7的整数解是________.不等式|x|<1的解集是________. 3 分类讨论 1.已知ax＜2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是( )

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A.x＜2 B.x＞－2 C.当a＞0时，x＜2 D.当a＞0时，x＜2;当a＜0时，x＞2

不等式的性质及应用 1. 若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,（4）序号为________。

2（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ）

(A)由a＞b，得a?2＜b?2 (B)由a＞b，得?2a＜?2b (C)由a＞b，得

ay＜0中，正确结论的x＞

b (D)由a＞b，得a＞b

22 依据题意列不等式 1.当x_______时,代数式2x－5的值不大于0.2.当x________时，代数式3.当代数式

x?35x?1?的值是非负数. 26x－3x的值大于10时，x的取值范围是________. 2114.已知x的与3的差小于x的－与－6的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？

22 已知解集求范围 1.关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是( ) A、a＜－4

B、a＞5 C、a＞－5 D、a＜－5

2.已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围. 3.已知不等式

x－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值. 24.如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？ 5.不等式a(x－1)>x+1－2a的解集是x<－1,请确定a是怎样的值. 6．已知关于x，y的方程组??3x?2y?p?1,的解满足x＞y，求p的取值范围．

4x?3y?p?1?

7.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（ ）

A.m>1 B.m<1 C.m≥1 D.m≤1

字母不等式 2，则a的取值范围是（ ）． 1?a1已知关于x的不等式2＜(1?a)x的解集为x＜

A．a＞0 B.a＞1 C.a＜0 D.a＜1

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2（2010山东泰安）若关于x的不等式?A．6?m?7

?x?m?0的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）

?7?2x?1

C．6?m?7

D．6?m?7

B．6?m?7

3关于x的方程kx?1?2x的解为正实数，则k的取值范围是 ．

4已知关于 x，y 的方程组

5若不等式组?(A)k＜2 6等式组?的解满足x＞y，求p的取值．

?1?x?2,有解，则k的取值范围是( )．

x?k?(B)k≥2

(C)k＜1

(D)1≤k＜2

?x?9?5x?1,的解集是x＞2，则m的取值范围是( )．

?x?m?1(A)m≤2 (B)m≥2 (C)m≤1 (D)m≥1

7知(x－2)2＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正数，则a的取值范围是______．

8 k满足______时，方程组??x?y?2k,中的x大于1，y小于1．

?x?y?4

9 若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．

10已知方程组??2x?y?1?3m,①的解满足x＋y＜0，求m的取值范围． ②?x?2y?1?m应用题

一．分配问题：

1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一

只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？

二 速度、时间问题

1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？

三 工程问题

1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？

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四 价格问题

1 商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。

(1)试求该商品的进价和第一次的售价；

(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

五 其他问题

1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数

2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？

六 方案选择与设计

1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲种原料 乙种原料 维生素C及价格 维生素C/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，

（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。 （2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？

2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？

3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？

4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：

（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。

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四 价格问题

1 商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。

(1)试求该商品的进价和第一次的售价；

(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

五 其他问题

1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数

2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？

六 方案选择与设计

1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲种原料 乙种原料 维生素C及价格 维生素C/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，

（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。 （2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？

2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？

3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？

4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：

（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。

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