第十三章 表面化学习题解答

第 十 三 章 习 题

1、在293K时，把半径为1mm的水滴分散成半径为1μm的小水滴，问比表面增加了多少倍？表面吉布斯自由能增加了多少？完成该变化时，环境至少需做功若干？已知293K时水的表面张力为0.07288N〃m-1。

解 设半径为1mm水滴的表面积为A1，体积为V1，半径为R1；半径为1μm小水滴的表面积为A2，体积为V2，半径为R2。大水滴分散成小水滴后，设分散成小水滴后的数目为N，则V1=N V2，所以

?R1??10m?43439????10?R1?N?R2， N????? ?10?6m?R33???2?A24?R9?10m???N?10??1000

?6??A14?R?10m?2?GA???A?0.07288N?m?1?4?(NR2?R12)?9.145?10?4N?m?9.145?10?4J

3?33

2221?32

?4W???G??9.145?10J。 fA2、已知汞溶胶中粒子（设为球形）的直径为22nm，每dm3溶胶中含Hg为8×10-5kg，试问每1cm3的溶胶中粒子数为多少？

其总表面积为若干？把8×10-5kg的汞滴分散成上述溶胶时表面吉布斯自由能增加多少？已知汞的密度为13.6kg〃dm-3，汞-水界面张力为0.375N〃m-1。

解 直径为22nm的汞的粒子的体积为

434?22??9?243V??R????10m?5.576?10m??

33?2?每1cm3的溶胶中粒子数N(为每1cm3的溶胶中含汞的体积再除以直径为22nm的汞的粒子的体积)

3

8?10?5kg?dm?3?1?10?3dm3112N???1.054?10

13.6kg?dm?35.576?10?24m3?22?A总?N?4?R2?1.054?1012?4????10?9m??1.603?10?3m2

?2?13132

8×10-5kg的汞滴的半径R0，

?3?[8?10?5kg/(13.6kg?dm?3)]??3V0??2?3?R0???1.12?10dm?1.12?10m ?????4??4????2?GA???A?0.375N?m?1?4?(NR2?R0)?5.95?10?4J。

3、试证明：

??U????????????T?p??? ??(1)??A?T????p?T,Asp,As?s?T,p(2)

??H????????T????

?A?T??p,As?s?T,p证明 (1)对单组分有界面效应的系统

dU?TdS?pdV??dAs

??U???S??T????恒温恒压对As求偏导：???As?T,p??As?T,p由吉布斯函数变化

??V?p???? ??As?T,pdG??SdT?Vdp??dAs

??V?????d，写出其麦克斯韦关系式A????? s??As?p??p?As恒温时

dG?Vd?p???V??????综合得到 ????

??As?T,p??p?T,As恒压时

dG??SdT????S?????d，写出其麦克斯韦关系式A?????? s?A?T??As?s?T??S?????????? 综合得到 ??A?T??p,As?s?T,p??U????????????T?p??? ??将综合结果代入到前面的偏导式，得 ??A?T????p?T,Asp,As?s?T,p(2) 对单组分有界面效应的系统

dH?TdS?Vdp??dAs

??H???S???T????恒温恒压对As求偏导：???As?T,p??As?T,p

??H?????????T??。证完。 将前一证明的第二综合式代入即得??A?T??p,As?s?T,p6、在298K、101.325kPa下，将直径为1μm的毛细管插入水中，问需在管内加多大压力才能防止水面上升？若不加额外

的压力，让水面上升，达平衡后管内液面上升多高？已知该温度下水的表面张力为0.072N〃m-1，水的密度为1000kg〃m-3，设接触角为0°，重力加速度为g=9.8m〃s-2。 解 cosθ=cos0°=1，R=R’

防止水面上升所加的压力

2?2?0.072N?m?1ps?'??288kPa ?6R0.5?10mps288?103N?m?2h???29.38m

?3?2?g1000kg?m?9.8m?s管内液面上升高度

8、在298K时，平面水面上水的饱和蒸气压为3168Pa，求在相同温度下，半径为3nm的小水滴上水的饱和蒸气压。已知此时水的表面张力为0.072N〃m-1，水的密度设为1000kg〃m-3。 解

p2?M2?0.072N?m?1?18?10?3kg?mol?1ln???0.3487 '?1?1?3?9p0RT?R8.314J?K?mol?298K?1000kg?m?3?10m p/p0=1.4172， p=1.4172×3168Pa=4489.8Pa

10、373K时，水的表面张力为0.0589N〃m-1，水的密度为958.4kg〃m-3。问直径为1×10-7m的气泡内（即球形凹面上），373K时的水蒸气压力为多少？在101.325kPa外压下，能否从373K时的水中蒸发出直径为1×10-7m的蒸气泡？ 解

p2?M2?0.0589N?m?1?18?10?3kg?mol?1ln????0.01427 '?1?1?3?7p0RT?R8.314J?K?mol?373K?958.4kg?m?(?0.5?10m)p/p0=0.9858， p=0.9858×101.325kPa=99.89kPa 气泡内水的蒸气压小于外压，所以这麽小的气泡蒸不出来。

11.（复习题）如果某气体的大粒子（半径为R1）在水中形成饱和溶液的浓度为c1，微小粒子（半径为R2）在水中形成饱和溶液的浓度为c2，固－液界面张力为?l?s，试证明饱和溶液浓度与曲率半径的关系为

c22?l?sMln?c1RT?式中M为该固体的摩尔质量，

?11???R?R??

1??2为其密度。

?证明：不同半径液滴的蒸气压符合下述开尔文公式

p22?l?gMln?p1RT?p22?g?sMln?p1RT??11???R?R??

1??2?11???R?R??

1??2对不同半径的固体粒子的蒸气压符合的开尔文公式为

当粒子浸入到水中，达到溶解平衡后，其蒸气与溶液呈平衡，蒸气压与溶液浓度近似符合亨利定律，

pB?kBcB，浸

p2W?????0湿功i（＞自发，= 平衡），本题最后结果是达平衡，所以有g?sl?sp1代入上式，得证

?c2c1，

?g?s??l?s，

c22?l?sMln?c1RT??11???R?R??

1??212. 在293K时，酪酸水溶液的表面张力与浓度的关系为：

?????12.94×10-3ln(1+19.64c/c?)

(1)导出溶液的表面超额?与浓度c的关系式； (2)求c=0.01mol·dm-3时，溶液的表面超额值； (3)求??的值；

(4)求酪酸分子的截面积。

$?3d?dln(1?19.64c/c)12.94?10?19.64?3??12.94?10??解 (1) dcdc1?19.64c/c$12.94?10?3?19.64/c$c12.94?10?3?19.64c/c$????$1?19.64c/cRTRT(1?19.64c/c$)(2) c=0.01mol·dm-3时，溶液的表面超额值

??8.72×10-7mol·m-2

(3)当酪酸浓度很大时19.64c >> 1，吸附等温式分母中的1可忽略不计

12.94?10?3?19.64c/c$12.94?10?3???$RT(1?19.64c/c)RT此时吸附量与浓度无关，达到饱和状态，即

12.94?10?3?12.94?10?3??2?6?2???????mol?m?5.31?10mol?m?

RT8.314?293??(4)每个酪酸分子在液面上所占的截面积为：

Am?1/?L????1/?6.022?1023?5.31?10?6?m2?31.27?10?20m2?

13. 在298K时有一月桂酸的水溶液，当表面压?=1.0×10-4N〃m-1时，每个月桂酸分子的截面积为41nm2，假定月桂酸能在

水面上形成理想的二维表面膜，使计算该二度空间的摩尔气体常数。 解 月桂酸表面膜的摩尔表面积

Am=6.022×1023×41×10-18m2〃mol-1=2.47×107 m2〃mol-1 ? Am =RT

R=? Am/T=(1.0×10-4×2.47×107/298)J〃K-1〃mol-1

=8.29 J〃K-1〃mol-1

14. 在298K时，将含1mg蛋白质的水溶液铺在质量分数为0.05的(NH4)2SO4溶液表面，当溶液表面积为0.1m2时，测得其表面压?=6.0×10-4N〃m-1。试计算该蛋白质的摩尔质量。 解 ? A=nRT=mRT/M，M= mRT/(?A)

M=0.001×8.314×298/(6.0×10-4×0.1)g〃mol-1=4.1293×104 g〃mol-1?

13. 在298 K时测得β-苯丙基酸（B）水溶液的表面张力?和它在水中的溶解度S（用每kg水中溶解B的质量表示）， S×103 ?×103/ (N〃m-1) 0.5026 69.00 0.9617 66.49 1.5007 63.63 1.7506 61.32 2.3515 59.25 3.0024 56.14 4.1146 52.46 6.1291 47.24 ??试求当溶液中含B为1.5×10-3kg/kg(H2O)时，B的表面超额为若干?已知β-苯丙基酸的摩尔质量为0.150kg〃mol-1。（用直

-7-2

接快速切下液面薄层分析所得结果为（5.2±0.4）×10kg〃m。

解 m=S/M, a2≈m/m

θ

a2d?Sd??????, 2RTda2RTdS,

此时，Γ2的单位是mol〃m-2, 乘以摩尔质量后单位才是kg〃m-2。 所以，以?对S作图，得一曲线（如下图所示），在S=1.5×10-3处作切线，斜率为

d???5.45N?m?1??5.45J?m?2 dS

MS?d??0.150kg?mol?1?1.5?10?3?2?2???(?5.45J?m) ?????1?1RT?dS?8.314J?K?mol?295K?5.0?10?7kg?m?2。

15、在298K时，乙醇水溶液的表面张力与溶液活度之间的关系为B=2×10-4N〃m-1，求活度a=0.5时的表面超额为多少？ 解

???0?Aa?Ba2，式中常数A=5×10

-4

N〃m-1，

d???A?2Ba daad??2??RTda??a(?A?2Ba) RT0.5?4?1?4?1??(5?10N?m?2?2?10N?m?0.5)

?1?18.314J?K?mol?298K?6.054?10?8mol?m?2。

16、在298K时，根据下列表面张力的数据， ?界面 ×10/(N〃m) 3-1苯－水 苯－气 水－气 汞－气 汞－水 汞－苯 35 28.9 72.7 483 375 357 试计算下列情况的铺展系数及判断能否铺展。 (1) 苯在水面上（未互溶前）。

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