新课标高二数学选修2-2导数单元测试题（有答案）（十五）

新课标选修2-2高二数学理导数测试题

一．选择题

(1) 函数f(x)?x3?3x2?1是减函数的区间为

( D )

A．(2,??) B．(??,2) C．(??,0) D．（0，2） （2）曲线y?x3?3x2?1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）

A．y?3x?4 B。y??3x?2 C。y??4x?3 D。y?4x?5a

(3) 函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( )

111A． B． C． D．1

8422

(4) 函数f(x)?x3?ax2?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值，则a= ( )

D．5

?(5) 在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是

4 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 （6）函数f(x)?ax3?x?1有极值的充要条件是 （ ）

A．a?0 B．a?0 C．a?0 D．a?0 （7）函数f(x)?3x?4x3 （x??0,1?的最大值是（ ） A．

1 B． -1 C．0 D．1 2A．2 B．3 C．4

（8）函数f(x)=x（x－1）（x－2）…（x－100）在x＝0处的导数值为（ ） A、0 B、1002 C、200 D、100！

1?4?（9）曲线y?x3?x在点?1，?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

3?3?1212Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

9933二．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x3＋3x－5相切的直线方程是 。

312

（2）．设f ( x ) = x－x－2x＋5，当x?[?1,2]时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取

2值范围为 .

（3）．函数y = f ( x ) = x＋ax＋bx＋a，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。

3（4）．已知函数f(x)?4x3?bx2?ax?5在x?,x??1处有极值，那么a? ；b? 23（5）．已知函数f(x)?x?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 322

1

（6）．已知函数f(x)?x3?3ax2?3(a?2)x?1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 （7）．若函数f(x)?x3?x2?mx?1 是R是的单调函数，则实数m的取值范围是 （8）．设点P是曲线y?x3?3x?上的任意一点，P点处切线倾斜角为?，则角?的取值范围是 。 三．解答题

1．已知函数f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0,2）,且在点M(?1,f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0.（Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间.

2．已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值.

（Ⅰ）讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线，求此切线方程.

33．已知函数f(x)?ax3?(a?2)x2?6x?3

2（1）当a?2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线y?f(x)与x轴公共点的个数。

4．已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0， （I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；

（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

2

23

5．设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．

6．已知f(x)?ax3?bx2?cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(??,0),(1,??)上是减函数,又

13f?()?. 22(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.

7．设函数f(x)?ax3?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

垂直，导函数f'(x)的最小值为?12． x?6y?7?0（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值．

3

参考解答

一．BBDDD CDDA

?1二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、?18,?3 5、(??,0) 6、?,??)7、

?3?2?(??,?1)?(2,??) 8、[0,]?[,?)

23三．1．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以

f(x)?x3?bx2?cx?2,f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0?3?2b?c?6,?2b?c?3,即?解得b?c??3.故知?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.???1?b?c?2?1.b?c?0,??所求的解析式是

f(x)?x3?3x2?3x?2.（2）

f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,即x2?2x?1?0.解得 x1?1?2,x2?1?2. 当

x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0;当1?2?x?1?2时,f?(x)?0.故

在(1?2,1?2)内是减函数，在(1?2,??)内f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2)内是增函数，

是增函数.

2．（Ⅰ）解：f?(x)?3ax2?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，即

?3a?2b?3?0,解得a?1,b?0. ?3a?2b?3?0.?∴f(x)?x3?3x,f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1). 令f?(x)?0，得x??1,x?1.

若x?(??,?1)?(1,??)，则f?(x)?0，

故f(x)在(??,?1)上是增函数，f(x)在(1,??)上是增函数. 若x?(?1,1)，则f?(x)?0，故f(x)在(?1,1)上是减函数. 所以，f(?1)?2是极大值；f(1)??2是极小值.

（Ⅱ）解：曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上.

3?3x0. 设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x022?1)，故切线的方程为y?y0?3(x0?1)(x?x0) 因f?(x0)?3(x0

32?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 注意到点A（0，16）在切线上，有16?(x03??8，解得x0??2. 化简得x0所以，切点为M(?2,?2)，切线方程为9x?y?16?0.

2a3．解：（1）f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)极小值为f(1)??

2a（2）①若a?0，则f(x)??3(x?1)2，?f(x)的图像与x轴只有一个交点；

4

②若a?0， ?f(x)极大值为f(1)???f(x)的图像与x轴有三个交点；

a2?0，?f(x)的极小值为f()?0， 2a③若0?a?2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；

④若a?2，则f'(x)?6(x?1)2?0，?f(x)的图像与x轴只有一个交点；

2133⑤若a?2，由（1）知f(x)的极大值为f()??4(?)2??0，?f(x)的图像与x轴只有

aa44一个交点；

综上知，若a?0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a?0，f(x)的图像与x轴有三个交点。 4．解(I)f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点,

所以f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0，所以n?3m?6

??2??（II）由（I）知，f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)?x??1???

??m??当m?0时，有1?1? 2，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表： mx f?(x) 2????,1??? m??1?2 m2??1?,1? ?m??1 0 极大值 ?1,??? ?0 单调递减 ?0 调调递减 0 极小值 ?0 单调递增 f(x) 2??故有上表知，当m?0时，f(x)在???,1??单调递减，

m??在(1?2,1)单调递增，在(1,??)上单调递减. m（III）由已知得f?(x)?3m，即mx2?2(m?1)x?2?0

2222(m?1)x??0即x2?(m?1)x??0,x???1,1?① mmmm12设g(x)?x2?2(1?)x?，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

mm又m?0所以x2?22??g(?1)?0?1?2???0所以?解之得 ??mmg(1)?0????1?0

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