高中数学圆锥曲线与方程测试题

高中数学选修2-1圆锥曲线与方程测试题

圆锥曲线与方程测试题

一、选择题

1．双曲线3x－y＝9的实轴长是 ( )

A．2 B．2 C．4 D．422xy2．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) 41222222222xyxyxyxyA.1 B.＝1 C.＋1 D.＋1 16121216164416

3．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 ( )

A．开口向上，焦点为(0,1)

1B．开口向上，焦点为 0， 16C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，焦点为 0，

x2y2

4．若k∈R，则k>3－＝1表示双曲线的 ( ) k－3k＋3

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 22x16y5．若双曲线1的左焦点在抛物线y2＝2px (p>0)的准线上，则p的值为( ) 3pA．2 B．3 C．4 D．42

x2y26．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为 ( ) a9

A．4 B．3 C．2 D．1

→→7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是 ( )

1 D. 2 A．(0,1) B. 0， C.0，，1 2 2 28．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ( ) 1111A. 1 B. ，1 C. 1 D. 1 4 4 2 2

9．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是 ( ) 252525A. B. C. D．25 42822xy10．设双曲线＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心ab

率为 ( ) 5A. B．5 C. D.5 4222xy11．若双曲线1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px 94

(p>0)通过点A，则p的值为 ( ) 1 1622

高中数学选修2-1圆锥曲线与方程测试题

92A. B．2 C. 21313x2y2

12．已知双曲线1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在ab

一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为 ( )

A．[2，＋∞) B．[，＋∞)

C．(1,2] D．(1，二、填空题

13．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心

率为______． 2x14．椭圆＋y2＝1的两个焦点F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其中一个4

交点为P，则|PF2|＝______.

15．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋

y22的最小值是________．

x22π16．F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左，右两个焦点，过F2作倾斜角为的弦AB，则△F1AB24

的面积为________． 三、解答题

xy17．已知双曲线－1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，916

求△F1PF2的面积．

18.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程． y2219．已知双曲线的方程为x－＝1，试问：是否存在被点B(1,1)平2

分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

20．设圆C与两圆(x＋2＋y2＝4，(x－2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

345(2)已知点M(，，F(5，0)，且P为L上的动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时55

点P的坐标．

21．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l与抛物线交于A、B两点．求证：△AOB不是直角三

角形．

x2y222．已知椭圆G：1 (a>b>0)，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线lab3

与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积． 22

圆锥曲线与方程测试题答案

1．A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7．C 8.A 9.A

10.D 11.C 12.C

17413.14.15.32 16. 17.16 223

高中数学选修2-1圆锥曲线与方程测试题

18．(1)－1 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4

19．解 如图所示，设被B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1， 2y代入双曲线方程x21， 2

得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，

∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0.

3解得k，且k≠， 2

2k k－1 ∴x1＋x2＝k－2

k k－1 ∵B(1,1)＝1. k－2

3∴k＝2>.故不存在被点B(1,1)所平分的弦． 2

20．解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.

圆(x＋2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，

圆(x－＋y＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.

|CF1|＝r＋2，由题意得 |CF|＝r－2 22

|CF1|＝r－2，或 |CF|＝r＋2，

∴||CF1|－|CF||＝4.

∵|F1F|＝2∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(，0)为焦点的双曲

x22线，其方程为－y＝1. 4

(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且

点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|34－ 2＋ 0 2＝2. 55

直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得

y＝－2x＋2，

x22 4y＝1， 整理得15x2－325x＋84＝0.

1462解得x1(舍去)，x2＝.此时y＝－1555

652∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(，－． 55

21．证明 ∵焦点F为(1,0)，过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为ky＝

x

－1，代入

抛物线y＝4x，

得y2－4ky－4＝0，则有yAyB＝－4， 22yAyB则xAxB＝1. 44

2

高中数学选修2-1圆锥曲线与方程测试题

又|OA|·|OB|cos∠AOB＝·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0，

得∠AOB为钝角，故△AOB不是直角三角形．

c22．解 (1)由已知得c＝2，＝. a3解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.

x2y2

所以椭圆G的方程为＋1. 124(2)设直线l的方程为y＝x＋m.

y＝x＋m

由 x2y2

124＝1 ，

得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)， x1＋x23mm则x0＝＝－y0＝x0＋m＝； 244

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.

m2－4所以PE的斜率k1. 3m－3＋4

解得m＝2.

此时方程①为4x＋12x＝0.

解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.

|－3－2＋2|3所以|AB|＝3此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝， 219所以△PAB的面积S＝|AB|·d. 222

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