2012中考数学第一轮总复习精品教案 四-不等式（组）及其应用精品教案

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四、不等式（组）及其应用(3课时)

教学目标：

1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能. 2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．

教学重点与难点

重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学时间：3课时

不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排. 课时数 内 容 1 不等式的基本性质、不等式（组）的解法 1 不等式（组）的应用 1 不等式（组）在实际问题中的应用 单元测试与评析 教学过程： 【知识回顾】 1、知识脉络

不等式（组）的应用一元一次不等式 实际问题 不等 式 不等式的性质 一元一次不等式组 2、基础知识

不等式的有关概念

(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.[来源:学&科&网Z&X&X&K] (2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

(3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.

(4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 不等式的基本性质 (1)不等式的性质1

不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变.

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如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. (2)不等式的性质2

不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc. (3)不等式的性质3

不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac

(1)只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.

(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变.[来源:Z#xx#k.Com]

(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图: a a x>a a x≥a x

一元一次不等式组

(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.

(2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分.

(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下:

若a

?x?a①??x?b的解集是

?x?ax?b，如下图： ②??x?b的解集是x?a，如下

图： b b a a

?x?a?x?a③?的解集是a?x?b，如下图： ④?无解，如下图：

x?bx?b??不等式(组)的应用 解不等式b 问题关键是建立不等式模型,会根b 的不等量关系建a 的应用a 据题中立不等式(组),解决实际应用问题.具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤. 3．能力要求

例1.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来. (1)

x?15?1≥

x2;

(2) 2?x?8?≤10?4?x?3?, ①

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x?12?2x?13?1. ②

解：(1) 去分母,得 2?x?1??10≥5x,

整理,得 ?3x≥12, ∴ x≤?4. 解集在数轴上表示为:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 (2) 由①得 2x?16≤10?4x?12, 整理得 6x≤6, ∴ x≤1;

由②得 3?x?1??2?2x?1??6, 整理得 ?x?1,

∴ x??1. 解集在数轴上表示为: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

∴ 不等式组的解集为?1?x≤1. 例2.已知关于x、y的方程组??2x?3y?a?1?x?2y?a的解是负数,求a的取值范围.

【分析】先由方程组求出方程组的解(用含a的代数式表示),再由方程组的解为负数列出不等式组,求a的取值范围.

5a?2?x???2x?3y?a?1?7, 得 ?【解】 解方程组?.

x?2y?a??y?a?1?7? ∵方程组的解是负数，

?5a?22?0,???x?0,a?,?7?∴? 即? ∴?5 ?y?0.?a??1.?a?1?0.???7∴a??1.

例3.现计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.

(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试

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写出y与x之间的函数关系式.

(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35t和乙种货物15t,每节B型车厢最多可装甲种货物25t和乙种货物35t,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有几种方案?

(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用. 【解】 (1) ∵ 用A型车厢x节,则B型车厢为(40-x)节,得 y?0.6x?0.8(40?x)??0.2x?32. (2) 依题意,得 35x?25?40?x?≥1240,

15x?35?40?x?≥880.

解之,得 24≤x≤26.

∵ x取整数， ∴ x?24或25或26.

∴ 共有三种方案:

① 24节A型车厢和16节B型车厢; ② 25节A型车厢和15节B型车厢; ③ 26节A型车厢和14节B型车厢. (3) 当x?24时,y?27.2万元; 当x?25时,y?27万元; 当x?26时,y?26.8万元;

故安排方案③,即A型车厢26节,B型车厢14节最省,最省费用为26.8万元.

【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.

例4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.

(1)设用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围.

(2)设此次运输公司的利润为M(单位:百元),求M与x的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案. 大蒜规格[来甲 乙 丙 源:Z&xx&k.Com] 每辆汽车的满载量/t 8 10 11 运输每吨大蒜获利/百元 2.2 2.1 2 【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.

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题(2)中运输公司的利润M是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 【解】(1)∵用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜，

∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x―y)辆. 根据题意，得 8x?10y?11(10―x―y)＝100， 化简，得 y＝－3x＋10.

∵每种大蒜不少于一车， ∴ ?3x?10≥1，

x≥1. 解之得 1≤x≤3.[来源:学*科*网

Z*X*X*K]

(2) 根据题意，得 M＝2.2?8x＋2.1?10y＋2?11(10―x―y) ＝17.6x＋21(－3x?10)?22(10－x+3x－10)

＝－1.4x?210.

∵k=－1.4?0,

∴M随x的增大而减小.又∵1≤x≤3,

∴当x＝1时M有最大值.

∴M最大＝－1.4+210＝208.6（百元）

此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装

运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.

【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.

例5. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表: v?3[来日平均风速v/(m/s) 3?v?6 v?6 源:Z+xx+k.Com] ≥150[来日发电量/kW?h[来A型发电0 ≥36 源:学科机 源:Z§xx§k.Com][来网源:学§科§网ZXXK] Z§X§X§K] B型发电0 ≥24 ≥90 机 根据上面的数据回答： (1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一

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年的发电总量至少为 kW?h；

(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000kW?h,请你提供符合条件的购机方案. 【解】(1)12600x

(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机(10－x)台. 根据题意，得

0.3x?0.2?10?x?≤2.6,

12600x?7800?10?x?≥102000.

解之得：5≤x≤6.

∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6

台，则购B型发电机4台.

【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型.

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一． 应用方程处理问题

在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。 在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。 【考点解析】

例. 张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50吨面粉和第二仓库的70吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40吨面粉，乙厂接收80吨面粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如果1吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最低？

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工厂 运价 甲 乙 仓库 第一仓库 6元 8元 第二仓库 4元 5元

表一

分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问题转化为数学问题。

工厂 运货量 甲 乙 仓库 （40） （80） 第一仓库（50） x1 x2 第二仓库（70） x3 x4

表二

解：假设张清安排的运输方案如表二，那么x1、x2、x3、x4应满足下面的数量关系： ?x1??x3? ?x1??x2?x2?50?x4?70?x3?40?x4?80(1)(2)(3)(4)(其中x1、x2、x3、x4非负)

其中(4)式可以由(1)?(2)?(3)得到 也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以把x2、x3、x4分别用x1表示出来。 如果设总运费为N，那么有

N?6x1?8x2?4x3?5x4?6x1?8(50?x1)?4(40?x1)?5(30?x1)?710?x1由(3)和x1非负可得：0?x1?40

所以，只要x1取最大值40，总运费N取最小值670，也就是说，由第一仓库给甲厂运40吨面粉，给乙厂运10吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70吨面粉，即完成了给定任务，

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还使总运费最省，共计670元。

点评：本题是2001年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把x2、x3、x4分别用x1表示出来，然后由x1的取值范围确定运费N的最小值。 【例题分析】

例1 一件工作，由甲单独作需要24个小时，由乙单独做需要18个小时，现在先由甲单独作6个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？

分析：若直接设元，则设完成这件工作需要x个小时，列方程解出x即可。若间接选元则可以设甲、乙合作用了x个小时，则x＋6就是问题要求的未知量。

解法1：(直接设元)设完成这件工作共需x个小时，由已知甲先工作了6个小时，则甲、乙合作了(x－6)个小时。设全部工作量为1，则甲的工作效率为根据题意列方程：

6?12414?(x?6)?(?(x?6)?57124772?118)?1124，乙的工作效率为

118，

即：?1

解得：x?1357124(小时) 答：共需13小时完成全部工作。

解法2：(间接设元)设甲先工作6小时后，甲、乙又合作x个小时，由题意，得：

124?6?x(772?11834)?1

整理得： ?x?7x?

57(小时)

答：完成这件工作需1357小时。

小结：本题解法1和解法2表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，可以采用间接选元的方法。

例2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99。求原来的三位数。

分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。

解：设原来的三位数的十位上的数为x，则它的百位上的数为2x＋1，个位上的数为3x－1，这个三位数表示为：

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100(2x＋1)＋10x＋(3x－1)

把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到： 100(3x－1)＋10x＋(2x＋1) 根据题意，得方程：

100(3x－1)＋10x＋(2x＋1)＝100(2x＋1)＋10x＋(3x－1)＋99 解这个方程，得： 99x＝198＋99

?x?3则2x?1?7，3x?1?8

答：原来这个三位数是738。

例3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过2号桥20分钟以后到达A处，发现在二号桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距2公里，求水流速度。 分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20分钟和两桥间相距2公里。如果只设水流速度为每分钟x公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未知数，以建立等量关系列出方程。

解：设船速为每分钟a公里，水流速度为每分钟x公里，依题意列方程：

2x?20?220(a?x)a?x?2a?x

xa?x?(2?20x)(a?x)?x(20a?20x?2)?x?120?0.05(公里/分)120即?20?20a?20x?2 经检验知x?是原方程的解，并且符合题意。

答：水流速度为每分钟0.05公里。

例4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为3％；第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为2％，求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

解：本题需设辅助未知数。设原有盐水a升，每次加入水量是b升，且设第三次加入水后，盐水浓度为x％，依题意列方程组： ?(a?b)?3%?(a?2b)?2% ?

(a?2b)?2%?(a?3b)?x%?(1)?3(a?b)?2(a?2b) 化简得：?

2(a?2b)?(a?3b)?x(2)? 由(1)得：3a?3b?2a?4b 得a＝b

代入(2)得：4ax?6a(a?0)

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?x?1.5

答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为1.5％。 小结：例3和例4都要把辅助未知数消去，简称消去参数。 【模拟试题】

1. 一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲先做3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

2. 甲乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。

3. 有某种农药一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，于是测得桶中农药与水的比为18：7，求桶的容积。

4. 小船航行于内河的A、B两个码头之间逆流而上需要航行6小时，已知小船在静水中航行AB这段路程比顺流而下要多用1小时，求小船顺流而下航行所需时间。

5. 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲走10米后两人第一次相遇，然后甲继续向前走到B处立即返回，乙继续向前走到A处立即返回，在距离B点6米处二人第二次相遇，问A、B两地相距多少米？

6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100公里。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速8公里，汽车时速40公里。问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？ 7. 某县农机厂金工车间共86个工人，已知每个工人平均可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才能使加工后的3个甲种部件、2个乙种部件和1个丙种部件恰好配套。

8. 一支队伍以a公里/小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。 【疑难解答】

A. 教师自己设计问题：

1. 解答题的第6小题的问题实质是什么？ 2. 解答题的第7小题能不能用两种方法来解？ 3. 解答题的第8小题怎样设辅助未知数？ B. 对问题的解答：

1. 答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。 解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里。如图所示：(从甲地到乙地100公里)

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x公里 甲 下车点 乙 上车点 y公里

汽车走(x＋y)公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间相等，列出方程为：

x?y8?x?y40(1)

先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另一部分人到终点所用的时间，得出方程为：

100?x8?y40?y?100?x40(2)

x?y?x?y???840 解方程组?

100?xyy?100?x????84040?

?x?75得??y?50?从甲地到乙地共用x40?100?x8?5小时。

答：要使大家下午4点钟同时到达目的地，必须在中午11点出发。

2. 答：本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需x人，乙种部件需y人，丙种部件需z人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组： ?x?y?z?86?x?36?? ?15x?3?9z?解得?y?30

?12y?2?9z?z?20?? 设加工后的丙种部件有x个，那么甲种部件有3x个，乙种部件有2x个。根据题意列方程：

3x15

3x15?2x12?x9?86?解得x?1802x12?30人，x9

?20人。?36人， 以上两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。

3. 答：分析：本题的已知量仅有a公里/小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未知量，设队伍的长度为l公里，通讯员的速度为x公里/小时。 根据题意得方程：

lx?a?lx?a?la

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解得：x?(2?1)a公里/小时

试题答案

1. 设整个工作量是1，乙还需x天完成。 列方程

19?3?x6?1?x?4

2. 设小张速度是x千米/小时，小王速度是y千米/小时。

12?(4?)x?(4?)y?36?x?6??解之得 列方程组：? 23??y?4.5?x?y?1.5? 3. 设桶的容积为x升。

x?(12?32x)?187 列方程

12?32x

答：x＝40升。

4. 小船顺流而下需航行x小时，小船在静水中速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时。

?b(a?b)?(a?b)?x 列方程组?

?(a?b)x?a(x?1) x1?2或x?3 5. 设两地相距为x米 则

v甲v乙＝10x?10?x?4x?4?解得x?24米。

6、7、8题见疑难解答。

二． 用辩证思维解题

数学世界丰富多彩，又充满矛盾，渗透着辩证法。解题时不妨进行辩证思维，这样可以激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。 一、顺向与逆向

例1. 求2?22?23?24?25?26?27?28?29?210的值。 解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。 原式?(210?2)?2?2???2?2

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?(2?2)?2???2?2?(2?2)?2???2?287629872

322???(2?2)?2?2?2?6

二、常量与变量

例2. 如图，已知正比例函数y?2x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数y?kx(k?0)的图像在第一象限内分别交于A、B两点，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D。设?AOC和?BOD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是（ ） A.S1?S2B.S1?S2 y A O C D x B C.S1?S2D.不确定的

解析：由y?kx可得xy?k。很显然，若点P(x0，y0)是函数y?kx(k?0)图像上k2的任意一点，过P作PQ?x轴于Q，则?OPQ的面积是一个常量，都等于像上的位置无关。所以S1?S2?k2，与点P在图

，选B答案。

三、直接与间接

例3. 有一片牧场，假设草每天都在匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。问：

（1）要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？

（2）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ 解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别看作是水流速度和船速。由v逆?v静?v水，可得草减少的速度。

（1）设草的总量为S，每天生长的速度为v1，每头牛每天吃草量为v2，则

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???6?(24v2?v1)?S??8?(21v2?v1)?S(1)(2)

由(1)(2)得v1?12v2，即草的生长量等于12头牛每天的吃草量，所以最多放牧12头牛，使牧草永远吃不完。

（2）由（1）知S?72v2，则

72v216v2?12v2?18

故放牧16头牛18天可以吃完草。 四、整体与局部

例4. 若ab?1，且有4a2?2004a?9?0及9b2?2004b?4?0，则_______。

解析：若按常规方法，先求出a、b的值，再求出化为a?1bab?1bab?1b的值是

的值，则十分繁琐，而将

ab?1b，利用所给的两个方程，此题就迎刃而解了。

(1)

4a2?2004a?9?0 9b2?2004b?4?0（显然b?0不是方程的解） ?4?1b1b2?2004?1b?9?0(2)

1b 故a与

都是方程4x2?2004x?9?0的根，但a?1b??20044，由??0，得a与

1b是此方

程的两相异实根，从而a???501，即此题应填?501。

五、一般与特殊

例5. 在?ABC中，AD?BC于D，CF?AB于F，AD与CF相交于G，且CG?AB，则?ACB?________度。

解析：本题看起来似乎无所下手，若将?ABC“特殊”为Rt?，则D、F与B重合，这样问题就简单化了，可得?ACB?45? 六、正面与反面

例6. 老师在黑板上写下这样一道题：“已知?ABC的面积S?18，周长l?12，求它的内切圆半径”。很多同学很快求出内切圆的半径为3，惟独小明认为该题的已知条件不合时，压根就不存在符合条件的?ABC，你认为小明的想法正确吗？

解析：当正面证明命题结论比较困难时，可从反面提出与题目结论相反的假设，得出矛盾，从而肯定原来结论成立。

假设存在符合条件的?ABC，其内切圆半径为r，则S? ?r?2Sl?2?1812212lr

?3

S内切圆??r名师设计

?9??18?S?ABC，这是不可能的。因此小明的想法是正确的。

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综上六例，灵活进行辩证思维，可以收到化繁为简，化难为易，缜密思维的奇效。让人萌生“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的感悟。

三．一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。

例1. 已知方程x2?(a?6)x?a?0(a?0)的两根都是整数，试求整数a的值。 思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。 解：设方程的两整数根为x1、x2，根据根与系数关系得： ?x1?x2?6?a ??x1?x2?a(2)(1)

（1）＋（2）得：x1x2?x1?x2?6 所以(x1?1)(x2?1)?7

?x1?1?1?x1?1??1 ?或?

x?1?7x?1??7?2?2?x1?1?7?x1?1??7 或?或?

?x2?1?1?x2?1??1?x1?0?x1??2?x1?6?x1??8 所以?或?或?或?

?x2?6?x2??8?x2?0?x2??2 因为a?0，所以x1x2?0

?x1??2?x1??8 只有?或?符合题意，代入（2）得：

x??8x??2?2?2 a?x1x2?(?2)?(?8)?16

例2. 已知方程(a?1)x?2(5a?1)x?24?0有两个不等的负整数根，则a的值是______。

思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数

a有了更多的限制。另外，本题的a没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根”做文章。

22名师设计

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解：??4(5a?1)2?4?24(a2?1)?4(a?5)2 所以x1?2(5a?1)?2(a?5)2(a?1)2?6a?1

x2?2(5a?1)?2(a?5)2(a?1)6a?12?4a?4a?12?4a?1

依题意有：、

4a?1均为负整数，符合此条件的仅有a??2。

例3. 设m为自然数，且4?m?40，若方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0的两根均为整数，则m＝______。

思路分析：题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m加以限制，就不难求出符合条件的m值了。

解：??4(2m?3)2?4(4m2?14m?8)?4(2m?1)

因为原方程的两根均为整数，所以2m?1必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是由4?m?40得9?2m?1?81，在此范围内的奇完全平方数只有25和49。 所以2m?1?25或2m?1?49 所以m?12或m?24

经检验，m?12、24均符合题意。

误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。也就是说，?为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。

四．例谈求一次函数解析式的常见题型

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型

例1. 已知函数y?(m?3)xm2?8?3是一次函数，求其解析式。

?m2?8?1 解：由一次函数定义知?

?m?3?0?m??3 ??

m?3? ?m??3，故一次函数的解析式为y??3x?3

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注意：利用定义求一次函数y?kx?b解析式时，要保证k?0。如本例中应保证

m?3?0

二. 点斜型

例2. 已知一次函数y?kx?3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：?一次函数y?kx?3的图像过点（2，－1） ??1?2k?3，即k?1

故这个一次函数的解析式为y?x?3

变式问法：已知一次函数y?kx?3，当x?2时，y＝－1，求这个函数的解析式。 三. 两点型

已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为y?kx?b ?0??2k?b 由题意得?

?b?4?k?2 ??

b?4? 故这个一次函数的解析式为y?2x?4 四. 图像型

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

y 2 O 1 x

解：设一次函数解析式为y?kx?b

由图可知一次函数y?kx?b的图像过点（1，0）、（0，2）

?0?k?b?2?0?b ?有?

?k??2 ??

b?2?名师设计

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故这个一次函数的解析式为y??2x?2 五. 斜截型

例5. 已知直线y?kx?b与直线y??2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线l1：y?k1x?b1；l2：y?k2x?b2。当k1?k2，b1?b2时，l1//l2 ?直线y?kx?b与直线y??2x平行，?k??2。 又?直线y?kx?b在y轴上的截距为2，?b?2 故直线的解析式为y??2x?2

六. 平移型

例6. 把直线y?2x?1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为y?kx?b，?直线y?2x?1向下平移2个单位得到的直线

y?kx?b与直线y?2x?1平行

?k?2

直线y?kx?b在y轴上的截距为b?1?2??1，故图像解析式为y?2x?1 七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q?20?0.2t，即Q??0.2t?20 ?Q?0，?t?100

故所求函数的解析式为Q??0.2t?20（0?t?100）

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型

例8. 已知直线y?kx?4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

解：易求得直线与x轴交点为（

4k，0），所以4??|k|?4?12，所以|k|?2，即k??2

故直线解析式为y?2x?4或y??2x?4 九. 对称型

若直线l与直线y?kx?b关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为y??kx?b （2）y轴对称，则直线l的解析式为y??kx?b

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（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为y?1kx?1kbk

bk （4）直线y??x对称，则直线l的解析式为y? （5）原点对称，则直线l的解析式为y?kx?b

x?

例9. 若直线l与直线y?2x?1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y??2x?1 十. 开放型

例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y??2x?6

（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为y? （3）其它（略） 十一. 几何型

?? 例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，?ACB?90，?CAB?30，

4x

以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。

解：（1）由直角三角形的知识易得点A（?33，0）、B（3，0），由待定系数法

13233可求得二次函数解析式为y??x?2x?3，对称轴是x??3

（2）连结OE、OF，则OE?AC、OF?BC。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（?334，

94）、F（

334，

34）由待定系数法可求得一次函数

解析式为y??十二. 方程型

33x?32

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例12. 若方程x2?3x?1?0的两根分别为?、?，求经过点P（?2??2，

1??1?）

和Q（

?????，?2??2）的一次函数图像的解析式

解：由根与系数的关系得?????3，????1 ??2??2?(???)2?2???9?2?11，

11???????????3?1?3

??????(???)?2??2???11?1??11

?点P（11，3）、Q（－11，11）

设过点P、Q的一次函数的解析式为y?kx?b

?11k?b?3??11k?b?11 则有?

4??k?? 解得?11

?b?7? 故这个一次函数的解析式为y??十三. 综合型

411x?7

22 例13. 已知抛物线y?(9?m)x?2(m?3)x?3m的顶点D在双曲线y??5x上，

直线y?kx?c经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组?a?b?3?0，求这条直线的解析式。 ??2a?ab?4b?10?0 解：由抛物线y?(9?m)x?2(m?3)x?3m的顶点D（?在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：

221m?3，3m?10m?3m?32）

y1??7x?14x?12，顶点D1（1，－5）及y2??27x?18x?18 顶点D2（

1322，－15）

?a1??1?a2?2 解方程组得?，?

b??4b??1?1?2名师设计

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即C1（－1，－4），C2（2，－1）

由题意知C点就是C1（－1，－4），所以过C1、D1的直线是y??D2的直线是y??

五．应用非负性质解题

在初中代数中出现的非负数主要有三类：

1. 绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即a?0。 2. 平方：任何一个实数的平方都是非负数，即a2?0。

3. 算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即a?0(a?0)。 解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下。 例1. 已知a、b为实数，且满足a?2b?1?1?2b?1，求ab的值。

334x?49412x?92；过C1、

分析：解决本题只需从已知等式中求出a、b值即可。应用a中a?0的非负性质可以立即求出b的值，从而进一步得到a的值。 解：由题意可知2b?1?0且1?2b?0 ?b?12，此时a?1

12?12 ?ab?1?

2?1? 例2. 若a、b、c满足a?3??b?c??2??4a?b?c?0，求

a?ca?b的值。

?1? 解：由非负数的性质可知a?3?0，且?b?c??2?2?0，且4a?b?c?0

?a?3，b?8，c??4

?a?ca?b?3???4?3?8?7 11 例3. 已知x?y?x?y?1?2，求x?y的值。

? 解：已知等式可化为

?x?y?2?x?y?2?0

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???x?y?1x?y?0??x?y?2?0?

???x?y?1?0x?y?2?0x?y?2

?x?y?4

六．一些数学思想在解题中的应用

在直线，射线，线段这一部分内容中，渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明。 一. 数形结合思想

例1. 同学们去公路旁植树，每隔3m植一棵树，问在21m长的公路旁最多可植几棵树？你可能会不假思索地在回答，三七二十一，可植树7棵，那就错了，结合图形观察后就知道了。

解：从图1看，显然可植8棵。

图1

说明：对于这类题目要注意考虑线段的端点，否定容易出错。

二. 方程思想

例2. 点D、E在线段AB上，且都在AB中点的同侧，点D分AB为2：5两部分，点E分AB为4：5两部分，若DE=5cm，则AB的长为（ ）。

图2

解：由题意，得如图2所示，设AB=x，则AD?27x，AE?49x，由AE?AD?DE，

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得

49x?27x?5，解得x?31.5，即AB?31.5cm。

三. 整体思想

例3. 已知：如图3所示，C是线段AB上一点，点D、E分别是AC、CB的中点，若AB?10cm，求线段DE的长。

图3

解：∵D、E分别是AC、BC的中点

?DC?12AC，CE?1212CB12CB?12(AC?CB)?12AB?12

?10?5?DE?DC?CE?AC? 说明：解答本题的关键是逆用分配律得出待求线段和已知线段这个整体的关系。 四. 分类讨论思想

例4. 已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC使它等于3cm，求线段AC的长。

图4

分析：由于点C可能在线段AB上，也可能在线段AB外，因此需要分类讨论。 解：当点C在线段AB上时，如图4所示，AC?AB?BC?5cm。 当点C在线段AB外时，如图5所示，AC?AB?BC?11cm。

图5

因此线段AC长为5cm或11cm。 五. 归纳猜想思想

例5. （2001年江苏无锡中考题）

根据题意，完成下列填空：如图6所示，l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线l3，那么这3条直线最多可有（ ）个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有（ ）个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有（ ）个交点。n（n为大于1的整数）条直线最多可有（ ）个交点（用含n的代数式表示）。 解：（1）画图观察

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图

6

（2）列表归纳

直线条数n 增加点数 点的个数an 2 1 1 3 2 3 4 3 6 5 4 10 6 5 15

? ? ? n n-1 ？

（3）猜想：

?? a2?1，a3?a2?2?1?2，a4?a3?3?1?2?3，a5?a4?4?1?2?3?4， 于是，可猜想n条直线最多可有交点个数为： an?an?1?(n?1)?1?2?3?4????n?1?? 于是，当n?6时，

12n(n?1)?15个交点。

12n(n?1)

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