江苏省扬州中学2015届高三上学期质量检测(12月) 数学理试题及答案

·1· 江苏省扬州中学2015届高三上学期质量检测（12月）

数学（理）试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=?B A _________.

2.函数)42cos(2)(π+

-=x x f 的最小正周期为_________. 3.复数1z i =+，且)(1R a z

ai ∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 4.已知双曲线)0(13

2

2>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.

6.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

7.若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______.

8.若正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm 则它的侧面积为_______. 9.在平面直角坐标系xoy 中，记不等式组??

???≥+-≤-+≥-06207203y x y x y 表示的平面区域为.D 若对数函数

)1(lo g >=a x y a 的图像与D 有公共点，则a 的取值范围是__________.

10.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(x x f =

则=++)2013()2014()2015

(f f f _________. 11.在边长为1的正ABC ?中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x

则BE CD ?的最大值为________.

12.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存

在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______.

·2· 13.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为32的等比数列.记),(1

2*N n a a b n n n ∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.

14.已知0,,≠∈b R b a ，曲线 bx ax x y --=23 和直线 b ax y +=有交点Q ()n m ,()Z n m ∈,，则b a ,满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)

二． 解答题：本大题共6小题，共计90分

15.（本小题满分14分）9a9b26b450e2524de5187ef1 分享 已知函数,)(n m x f ?=其中向量),cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=

),sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=,0>ω若)(x f 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于.π

（1）求ω的取值范围；

（2）在A B C ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,3=a 当ω最大时，,1)(=A f 求ABC ?的面积最大值.

16.（本小题满分14分）

如图，AB 为圆O 的直径，点F E ,在圆O 上，且,//EF AB 矩形ABCD 所

在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且.1,2===EF AD AB

(1)设FC 的中点为,M 求证：//OM 面;DAF （2）求证：⊥AF 面CBF .

17.（本小题满分14分） 如图①，有一个长方形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液，现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）.

(1)当030=α时，通过计算说明此溶液是否会溢出；

60(2)现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当α等于

时，能实现要求吗？通过计算说明理由

.

·3· 18.（本小题满分16分） 如图所示，已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为()()121

,0,1,0F F -，P 为椭圆上一点，Q 为上顶点， 12F M MP =，20PO F M ?=.

（1） 当椭圆离心率12

e =时，若直线过点（0

，,A B （不同于Q ）两点，求AQB ∠；9a9b26b450e2524de5187ef1 分享

（2）求椭圆离心率e 的取值范围.

19. （本小题满分16分）

设函数21()ln ().2

a f x x ax x a R -=+-∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；

（2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.

（3）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2

a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.

20. （本小题满分16分）

已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<

≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j

i a a 两数中至少有一个属于A .

（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

（2）证明：11a =，且1211112n n n

a a a a a a a ---+++=+++； （3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.

命题、校对、审核：王朝和、徐小美

·4·

数 学Ⅱ (附加题)

1.已知矩阵?

?

?

???=a M 112的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的直线方程.

2.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是).(1sin cos 是参数ααα

?

??+==y x 若以O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.

3.如图，在正四棱锥P A B C D -中

，PA AB ==，点,M N 分别在线段PA 和BD 上，

1

3

B N B D =

．

（1）若1

3

PM PA =

，求证：MN AD ⊥; （2）若二面角M BD A --的大小为4

π

，求线段MN 的长度．

4.已知n

x )2

11(+

展开式的各项依次记为).(),(),...,(),(121x a x a x a x a n n +设函数 =)(x F ).()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++

（1） 若)(),...,(),(321x a x a x a 的系数依次成等差数列，求正整数n 的值； （2） 求证：],2,0[,21∈?x x 恒有.1)2(2|)()(|1

21-+≤--n x F x F n

命题、校对、审核：王朝和、徐小美

C

·

·

P

M A

B

D

N (第3题图)

·5· 高三（理）数学质量检测参考答案 （2014.12）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1. R

2. π

3. 1

4. 12

5. 1

6.必要不充分

7.24±

8. 224

9. ]2,1(3∈a 10. 0 11. 88

12. 圆，【解析】设),,(),,(t x x P n m M +若恒有,PQ PM =则有

,8)2()()(2222--++=-++-t x x n t x m x 即有

R x t nt n m x n m ∈?=++-+--+,0)442()422(22恒成立，

∴,0

442042222???=++-+=-+t nt n m n m 消去,m 得.0)42()2(2=+++-t n t n ∴0)42(4)2(2≥+-+=?t t ，∴),6[]2,(+∞?--∞∈t .

13.【解析】∵),(12*N n a a b n n n ∈--=∴.12--=n n n b b a ∴1

212111-----=-+++n n n n n n b b b b a a ,0)1)(3

21(31)1)(1(1111111<---=---=---=+++n n n n n n n n n b b b b b b b b b 解得23>n b 或.10<n b ，则2

3)32(11>-n b 对一切正整数n 成立，显然不可能； 若,10<

2(011<<-n b 对一切正整数n 成立，只要101<

2011<--=a a 14. 082=+-b a 导数

三． 解答题：本大题共6小题，共计90分

).12222T =?

·6· 由余弦定理得,223222bc bc c b a ≥?-+==即.1≤bc ∴.4

323121sin 21=??≤=?A bc S ABC 16.【证明】（1）设DF 的中点为,N 连接,MN 则MN ∥,21CD MN =,21CD 又∵AO ∥,21CD AO =,2

1CD ∴MN ∥AO ，MN =AO ，∴MNAO 为平行四边形，∴OM ∥.AN 又∵?AN 面,DAF OM ?面,DAF ∴OM ∥面.DAF 9a9b26b450e2524de5187ef1 分享

（2）∵面⊥ABCD 面ABEF ，,AB CB ⊥?CB 面ABCD ,面?ABCD 面ABEF ,AB = ∴⊥CB 面ABEF .∵?AF 面ABEF ,∴.CB

AF ⊥又∵AB 为圆O 的直径， ∴.BF AF ⊥又∵,B BF CB =??BF CB ,面.CBF ∴⊥AF 面.CBF

17.【解析】

18.解：（1）11,,2

c c

e a ===得2222,3a b a c =∴=-=， 所以椭圆的方程为22143x y +=. 依题意可设AB 所在的直线方程为y kx =-，代入椭圆方程,得

·7· (

)225763+40749k x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则

()112

2576

7344934x x x x k k -+==++.

因为(

(

(

11221122,,,,,77Q QA QB x y x y x kx x kx ?

?∴?=-?=-?- ????

(

)()()(

)()2212122219257619211749749

4934734k x x k x x k k k -=+-++=+-+++()222257657619257676804934k k k k ---++==+，所以2AQB π

∠=.

（2）因为()

12221211,23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-, 因为20PO F M ?=，所以()121211023PF PF PF PF ??+?-= ???，化简得 2121·2PF PF PF --0322=PF ，即22112122

2cos 30PF PF PF F PF PF -∠-=， 在12F PF ?中，由余弦定理，有2221

212122cos 4PF PF PF PF F PF c +-∠=， 所以222

244,PF c PF c ==， 又因为2,2a c PF a c a c -≤≤+∴≤， ,01e <<19.解析：（1）函数的定义域为(0,)+∞.当1a =时，'()ln ,()1,f x x x f x x x =-=-

=当01x << 时，'()0;f x <)(x f 单调递减；当1x >时，'()0.f x >)(x f 单调递增

()=(1)1f x f ∴=极小值，

无极大值. （2）'1()(1)f x a x a x =-+- 2(1)1a x ax x -+-= 1(1)()(1)1a x x a x

----= 当111a =-，即2a =时，2'(1)()0,x f x x

-=-≤ ()f x 在定义域上是减函数； 当1011a <<-，即2a >时，令'()0,f x <得101x a <<-或1;x >令'()0,f x >得1 1.1x a <<-

·8· 当

111a >-，即12a <<时，令'()0,f x <得01x <<或1;1

x a >-令'()0,f x >得11.1x a <<- 综上，当2a =时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当2a >时，()f x 在1(0,)1

a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1a -上单调递增；当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减，在1(1,)1a -上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当(3,4)a ∈时，()f x 在[1,2]上单减，(1)f 是最大值，(2)f 是最小值. 123()()(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=-+ ∴2(1)l n 22

a m -+>3l n 222

a -+,而0a >经整理得231a m a ->-，由34a <<得2310115a a -<<-，所以1.15m ≥

20.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（1）由于34?与43

均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236

????都属于数集{}1,2,3,6， ∴该数集具有性质P. 9a9b26b450e2524de5187ef1 分享

（2）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与n n

a a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，∴n n n a a a >，故n n a a A ?.从而1n n a A a =∈，∴11a =. ∵121n a a a =<<<， ∴k n n a a a >，故()2,3,

,k n a a A k n ?=. 由A 具有性质P 可知()1,2,3,,n k

a A k n a ∈=.又∵121n n n n n n a a a a a a a a -<<<<， ∴21121

1,,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a --====， 从而121121n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --=+++=++++，∴1211112n n n

a a a a a a a ---+++=+++. （3）由（Ⅱ）知，当5n =时，有552343

,a a a a a a ==，即25243a a a a ==， ∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A ?，

·9· 由A 具有性质P 可知43a A a ∈.由2243a a a =，得3423

a a A a a =∈，且3221a a a <=， ∴34232a a a a a ==，∴534224321

a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.

数 学Ⅱ (附加题)

1.【解析】∵矩阵??

????=a M 112的一个特征值是3，设a f ----=λλλ112)( ,01))(2(=---=a λλ则,01)3)(23(=---a 解得,2=a ∴??

????=2112M . 设直线032=--y x 上任一点),(y x 在M 作用下对应的点为),','(y x 则有

,''2112??????=????????????y x y x 整理得???=+=+'2'2y y x x y x ，则???

????-=-='31'32'31'32x y y y x x ，代入032=--y x ，整理得 09'5'4=--y x .∴所求直线方程为0954=--y x .

2.【解析】由???+==1

sin cos ααy x 消去,α得.1)1(22=-+y x 曲线C 是以点)1,0(为圆心，1为半径的圆，∴在极坐标系中，曲线C 是以点)2,1(π

为圆心，1为半径的圆，∴曲线C 的极坐标方程是

.sin 2θρ=

3.【解析】连接,AC BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空

间直角坐标系．因为PA AB ==，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ．

（1）由13BN BD =，得1(0,,0)3N ，由13PM PA =，得12(,0,)33M ，所以112(,,)333MN =--，(1,1,0)AD =--．因为0MN AD ?=．所以MN AD ⊥．

·10· （2）因为M 在PA 上，可设P M P A λ=，得(,0,1)M λλ-．所以(,1,1)BM λλ=--，(0,2,0)BD =-．设平面MBD 的法向量(,,)n x y z =，

由00n BD n BM ??=???=??得

20(1)0

y x y z λλ-=??-+-=?其中一组解为1x λ=-，0y =，z λ=，所以可取(1,0,)

n λλ=-．因为平面ABD 的法向量为(0,0,1)OP =， 所以cos 4n OP

n OP π

?

=

，即2=，解得12λ=， 从而11(,0,)22M ，1(0,

,0)3N ，所以6

MN =． 4.【解析】（1）由题意知.1...,3,2,1,)21

()(11+==--n k x C x a k k n k

∵)(),(),(321x a x a x a 的系数依次为,10=n C ,8

)1()21(,221221-=?=?n n C n C n n ∴,8

)1(122-+=?n n n 解得.8=n （2）=)(x F )()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++

=.)2

1()1()21

(....)21

(3)21

(2112210n n n n n n n n n x C n x nC x C x C C ++++++-- 令,2=x =)2(F .)1(....321210n n n n n n n C n nC C C C ++++++-

令,0=x 1)0(=F

设.)1(....321210n n n n

n n n n C n nC C C C S ++++++=- 则.23....)1(0121n n n n n n n n C C C nC C n S ++++++=-考虑到,k n n k n C C -=将以上两式相加得

).....)(2(21210n n n n n n n n C C C C C n S +++++=-∴.2)2(1-+=n n n S

又当]2,0[∈x 时，0)('≥x F 恒成立，从而)(x F 是]2,0[上的单调增函数，

∴],2,0[,21∈?x x .1)2(2)0()2(|)()(|121-+=-≤--n F F x F x F n