最新北师大版 2016-2017学年八年级数学初二上册全册教案 第一学

第一章 勾股定理

1. 探索勾股定理（第1课时）

一、学生起点分析

八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．

为此本节课的教学目标是：

1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．

2．让学生经历―观察—猜想—归纳—验证‖的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．

3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

第一环节：创设情境，引入新课

内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与―勾股定理‖有关的图形，数学家曾建议用―勾股定理‖的图来作为与―外星人‖联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）

意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.

第二环节：探索发现勾股定理

1．探究活动一

内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：

问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：

结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.

效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二

内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：

CAB CA

（2）填表：

左图 右图 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） （3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）

图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：

如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，

1SC?4??2?3?1?13．

2方法二：

如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，

方法三：

如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，

（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：

结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角

ABCD．

．

形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.

效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议http://w ww.xkb1.com

内容：（1）你能用直角三角形的边长，b，c来表示上图中正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2?b2?c2．

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，―勾股定理‖因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）

意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.

效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.

勾弦股第三环节：勾股定理的简单应用

内容：

例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？

（教师板演解题过程） 练习：

1．基础巩固练习：

求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：

100225x1715?2．生活中的应用：

小明妈妈买了一部29 in（74 cm）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．

效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生―用数学‖的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.

第四环节：课堂小结

内容： 教师提问：

1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：

1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c222分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a?b?c．http://w ww.xkb1.com

2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）―割、补、拼、接‖法.

3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．

意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．

效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.

第五环节：布置作业

内容：布置作业：1．教科书习题1.1.

初三（2）班体育成绩2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足

人数252015105020101不及格及格中良好优秀成绩118？

acb acb

方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．

意图：

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．

效果：

学生汇总了四种方案：

A

’

A

’

A

’

（1） （2） （3） （4）

学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA'?d，

情形（2）中A→B的路线长为：

所以情形（1）的路线比情形（2）要短．

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．

如图：

（1）中A→B的路线长为：（2）中A→B的路线长为：

ABCD

．

EAFCBD>AB．

（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB． （4）中A→B的路线长为：AB．

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具察．接下来后提问：怎样计算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得

AB2?AA?2?A'B2，若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则

决体

问观

AB2?122?(3?3)2,?AB?15．

注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算；

4．检验——是否符合实际问题的真实性．

第三环节：做一做

内容：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

解答：（2）?AD2?AB2?302?402?2500

BD2?2500

?AD2?AB2?BD2

垂直于

是50厘

∴AD和AB垂直．

意图：

运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．

效果：

先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，

学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．

第四环节：小试牛刀

内容：

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则: AB=236=12（km） AC=135=5（km） 在Rt△ABC中:

BC2?AC2?AB2?52?122?169?132．

∴BC=13（km）．

AB东北C即甲乙两人相距13 km．

2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解答：?AB2?152?202?625?252.

3220B3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插A入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？

解答：设伸入油桶中的长度为x m．

x2?1.52?22．则最长时:

x?2.5．∴最长是2.5+0.5=3（m）． 最短时:

初三（2）班体育成绩人数252015102010不及格及格中良好优秀成绩11．

∴最短是1.5+0.5=2（m）．

答:这根铁棒的长应在2～3m之间．

意图：

对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果：

学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．

第五环节：举一反三

内容：

1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？

B B B A C A 解：如图，在Rt△ABC中:

∵500＞202 .

∴不能在20 s内从A爬到B.

2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 52+ x2=（x+1）2.

25+x2= x2+2x+1. 2x=24.

∴ x=12，x+1=13．

人数25201510550不及格初三（1）班体育成绩2010105及格中良好优秀成绩

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 意图：

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．

效果：

学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．

学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．

注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．

2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．

效果：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．

第七环节：布置作业

1．课本习题1．4第1，2，3题．

2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴

一段，交流设

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