水文地质学第三章

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第4章补充二 地下水向河渠的稳定运 章补充二 动 Steady state flow to rivers and canals3.1 承压水一维稳定流动 3.2 潜水二维稳定流动 3.3 入渗条件下潜水的二维流动 3.4 承压 无压二维流动 承压—无压二维流动 3.5 非均质含水层中地下水的稳定流动 计算流量、流速；计算水头、动水压强分布。 计算流量、流速；计算水头、动水压强分布。1

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本章的基本前提： 本章的基本前提：均质各向同性介质， 均质各向同性介质， homogeneous isotropic medium; ; 稳定流动，steady flow; 稳定流动， ; 渗流符合达西定律。 渗流符合达西定律。

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3.1

承压水一维稳定流动

水文地质概念模型特点： 水文地质概念模型特点： 隔水顶底板水平， 隔水顶底板水平， 含水层等厚M=Const, 含水层等厚 渗流宽度B=常数 渗流宽度 常数, 常数 选坐标和基准面， 选坐标和基准面， 已知： 已知：H1, H2, B, M, K. 水头分布。 求：Q=? 水头分布。

地下水动力学-靳

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3.1 承压水一维稳定流动(续) 承压水一维稳定流动(据达西公式： 据达西公式：Q=KJA 均为常数； Q Q, K, A均为常数； 均为常数 必常数， ∴ J必常数，水头线为常数，J=? 必常数 水头线为常数，J =BM

H

1

H L

2

流量公式

H1 H 2 Q = K BM LQ H1 H q = = KM B L2

因 B = C,故定义单宽流量 ，故定义单宽流量q

H1 H 2 H1 H x QJ = = L x ∴ 水头线方程为 H1 H 2 H = H1 x L

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3.23.2.1

潜水二维稳定流动裘布依假定和裘布依微分方程

条件： 条件： 均质各向同性潜水含水层， 均质各向同性潜水含水层， W=0,稳定流动，隔水底板水 ，稳定流动， 平。 流场特征： 流场特征： 水头线形状？ 水头线形状？ 平面上流线平行； 平面上流线平行； 剖面上流线为曲线； 剖面上流线为曲线； 同一铅直面上水头相等吗？ 同一铅直面上水头相等吗？ 水力坡度？ 水力坡度？5

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3.2.1

裘布依假定和裘布依微分方程( 裘布依假定和裘布依微分方程(续1) ) H J2 = S 2Q S1 < S 2 H 即： ≠0 z ∴ J1 > J 2 存在垂直分流速。

H J1 = S1

同一铅直面上不同点的 水力坡度不等， 水力坡度不等，存在垂 直分流速， 直分流速，不能直接使 用达西公式。 用达西公式。 怎么办？ 怎么办？

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3.2.1

裘布依假定和裘布依微分方程( 裘布依假定和裘布依微分方程(续2) )

Dupuit assumption (Dupuit,1863) 据天然水力坡度一般为千分之几的事实，提出： 据天然水力坡度一般为千分之几的事实，提出： 对于潜水面上无垂直补给、排泄的剖面二维稳定流， 对于潜水面上无垂直补给、排泄的剖面二维稳定流， 潜水面是流面， 潜水面是流面，因此潜水面上任

意点的渗流速度 H H vs = K ≈ K s x H H 用 代替 x s

实质：垂直分流速Vz远远小于水平分流速 远远小于水平分流速Vx或 ， 实质：垂直分流速 远远小于水平分流速 或Vy,可 忽略Vz,即假定等水头面是铅垂面，称为裘布依假定。 忽略 ， 即假定等水头面是铅垂面， 称为裘布依假定。 这样： 这样： H ≈ 0,则A = B h 铅直面可近似为等水头面或过水断面 z 同一过水断面上不同点的水力坡度近似相等 H H ≈ s x

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3.2.1

裘布依假定和裘布依微分方程( 裘布依假定和裘布依微分方程(续3) )dQ = K Q = 用 dH dA ds

Dupuit 微分方程 微分方程: 元流流量dQ 元流流量

∫

A

dQ =

∫

A

K

dH dA ds

dH dH ; A ≈ A ⊥ 代入得 ≈ ds dx dH dH dQ = ∫ K dA = ∫A⊥ A⊥ dx dx dH Q = K B h dx

∫ KdAA⊥

基准面选在底板上 , H = h , 有： dh Q = KBh dx dh 单宽流量： q = Kh dx dh 也可写成： v x = K dx8

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3.2.2

水平隔水底板的无压二维流动

微分方程的应用举例) (Dupuit微分方程的应用举例) 微分方程的应用举例 已知：K, h1, h2, L, H=h 已知： 求：q和水头线方程 和水头线方程

dh q = Kh dx h x = 0 = h1 h x = l = h2

左边界 右边界

qdx = Khdh

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3.2.2

水平隔水底板的无压二维流动( 水平隔水底板的无压二维流动(续1) )

∫

l 0

qdx

=

∫

h h1

2

Khdh2 2

解得流量方程：可理解为：

h 12 h q = K 2l

(1 )

h1 + h 2 h1 h 2 q = K 2 l=

∫

x 0

qdx

∫

h h1

Khdh h 12 h 2 x2

解得：

q = K

(2 )2 2

Q q1 = q 2 = K = q x ,∴ K 化简得水头线方程： h2

h

2 1

h 2l2 1

= K

h 12 h 2 2x10

= h

x ( h 12 h 22 ) l

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3.2.2h2

水平隔水底板的无压二维流动( 水平隔水底板的无压二维流动(续2) )x = h ( h 12 h 22 ) l2 1

什么曲线？ 什么曲线？

抛物线方程，说明水头或潜水面呈抛物线分布， 抛物线方程，说明水头或潜水面呈抛物线分布，水力坡 度沿水流方向不是常数： 度沿水流方向不是常数： dh ≠ const ; dx dJ ≠0 dx

水头线方程中无K,说明：无入渗条件下，均质介质 水头线方程中无 ，说明：无入渗条件下， 中地下水水头分布只取决于边界条件和几何尺寸，而与K 中地下水水头分布只取决于边界条件和几何尺寸，而与 无关。 无关。 以上流量和水头线方程的应用条件： 以上流量和水头线方程的应用条件：渗流符合达西定 且满足Dupuit假定；均质各向同性介质；稳定流动； 假定； 律，且满足 假定 均质各向同性介质；稳定流动； 无入渗无蒸发；隔水底板水平且平面上流线平行。 无入渗无蒸发；隔水底板水平且平面上

流线平行。 实际计算中， 较大， 实际计算中，如Vz较大，就会造成较大计算误差。 较大 就会造成较大计算误差。11

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3.2.2

水平隔水底板的无压二维流动( 水平隔水底板的无压二维流动(续3 )

如分水岭、排泄区出渗面、抽水井、 如分水岭、排泄区出渗面、抽水井、垂直隔水边界等处附 较大,不易使用 近Vz较大 不易使用，计算断面应尽可能避开这些地方。 较大 不易使用，计算断面应尽可能避开这些地方。 出渗面(seepage):地下水向河流、井泄流处存在的地下水面 ：地下水向河流、 出渗面 与地表水面不一致，水位呈阶梯式下落现象。 与地表水面不一致，水位呈阶梯式下落现象。

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3.33.3.1

入渗条件下潜水的二维流动水文地质概念模型

入渗强度(W):单位水平 ： 入渗强度 面积、 面积、单位时间内入渗 补给地下水的水量， 补给地下水的水量，量 纲为[ 纲为[L3/L2/T]=[L/T] 。W>0表示入渗，W<0 表示入渗， 表示入渗 表示蒸发。 表示蒸发。 流网特征： 流网特征：回忆潜水模 拟演示所见到的流场特 征？

分水岭位置？潜水面是流线吗？ 分水岭位置？潜水面是流线吗？ 流线、等水头线特征？ 流线、等水头线特征？13

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3.3.2

流量方程

入渗补给条件下，通过各铅垂断面的流量不再相等， 入渗补给条件下，通过各铅垂断面的流量不再相等， q(x)≠C,用水均衡方法建立流量方程。规定q向右为正。 C,用水均衡方法建立流量方程。规定 向右为正 向右为正。 C,用水均衡方法建立流量方程

q1 = q + Wx Q q1 < 0; 且q < 0; q1 = q1 ; q = q 故： q = q1 + Wx

Wx q1 q

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3.3.2

流量方程( 流量方程(续1) )

入渗补给条件下，通过各铅垂断面的流量不再相等， 入渗补给条件下，通过各铅垂断面的流量不再相等， q(x)≠C,用水均衡方法建立流量方程。规定q向右为正。 C,用水均衡方法建立流量方程。规定 向右为正 向右为正。 C,用水均衡方法建立流量方程

q 1 = q + Wx Q q1 < 0; 且 q < 0; q1 = q1 ; q = q 故： q = q 1 + Wxq 1 + q = Wx Q q1 < 0 ; 且 q > 0 ; q1 = q1 ; q = q 故： q = q 1 + Wx (1)

Wx

q1

q

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3.3.2

流量方程( 流量方程(续2) )dh Kh = q 1 + Wx dx 左边界 h x =0 = h1 h x=l = h2 右边界

dh 引如Dupuit假设：q = Kh dx 代入以上1)式得： ( dh Kh = q 1 + Wx dx2 (h12 h2 ) W l (2) q1 = K 2l 2 (2)代入(1)得任意x处断面： 2 (h12 h2 ) W q=K l + Wx (3) 2l 2 当x = 0时，q = q1 当x = l时，q = q2 2 (h12 h2 ) W ∴ q2 = K + l (4) 2l 2

( q1 + Wx ) dx = Khdh

∫ (q0

l

1

+ Wx ) dx =

∫

h2

h1

Khdh

W 2 K 2 q1 l + l = ( h1 h 22 ) 2 2q = q1 + Wx (1)16

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3.3.2

流量方程( 流量方程(续3)

)

应用：在左河修水库， 的正负判断水库是否渗漏。 应用：在左河修水库，用q1的正负判断水库是否渗漏。 的正负判断水库是否渗漏 q1> 0,说明地下水向右流动，渗漏； ,说明地下水向右流动，渗漏； q1< 0,说明地下水向左流动，不渗漏。 ,说明地下水向左流动，不渗漏。 什么条件下水库q1<0 ? 什么条件下水库2 ( h12 h2 ) W 欲：q1 = K l < 0; 2l 2 2 ( h12 h2 ) W 必须：K < l 2l 2

W 当W = 0时， l = 0; 2 如h1 > h2,有q1 > 0,水库渗漏。

2 ( h12 h2 ) W 当W > 0时，只有K l ≥ 条件下, 2 2l 才有：q1 ≤ 0,不渗漏。 所以，h1 > h2,W > 0时，是否渗漏要据各物理量大小判定。

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3.3.3

水头线方程

∫

x

0

( q1 + Wx )dx = ∫ Khdhh1

h

W 2 K 2 q1 x + x = ( h1 h 2 ) 2 2

将 q 1 = L 代入并化简得： x W 2 2 2 2 h = h1 ( h1 h 2 ) + (l x ) x l K水头线方程特点： 水头线方程特点：? 椭圆曲线； 椭圆曲线；当W=0时，为抛物线； 时 为抛物线； 有关； 与K有关； 有关 比无入渗条件的水头线方程多了最后一项。 比无入渗条件的水头线方程多了最后一项。

(5)

W (l x ) x. K18

W 令y = (l x ) x K

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3.3.3

水头线方程( 水头线方程(续)

W 在 x = 0 , 或 x = l 处， y = (l x ) x = 0 KW y = ( l x ) x ,对 x 求导数得 K W 2W y' = ( l 2 x ); y" = < 0 K K

y”<0说明 有极大值。令y’=0,得x=l/2; 说明y有极大值 说明 有极大值。 ,l W l l Wl 2 即 x = 处， y = (l ) = ,为极大值。 2 2 2 4K K

说明分水岭处水位抬升值(变幅) 说明分水岭处水位抬升值(变幅)大，排泄区水位抬 升值(变幅 变幅)小 两侧河流处变幅为0。 升值 变幅 小，两侧河流处变幅为 。19

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3.3.4

分水岭位置讨论

流量为零的断面称为分水岭，其左边水向左流， 流量为零的断面称为分水岭，其左边水向左流，右边 水向右流。分水岭处水平方向的水力坡度为零。 水向右流。分水岭处水平方向的水力坡度为零。 为分水岭到x坐标轴的距离 设a为分水岭到 坐标轴的距离， 为分水岭到 坐标轴的距离，2 l K ( h12 h2 ) ∴a = 2 W 2l

J =

dh dx

= 0

l≥ a≥ 0,分水岭存在，处于河间地块 分水岭存在，处于河间地块x=a处； 处 a<0,或a>l,分水岭不存在。 分水岭不存在。 可用a计算分水岭位置，判断水库渗漏问题： 计算分水岭位置 可用 计算分水岭位置，判断水库渗漏问题： l>a>0,分水岭存在，水库不渗漏(q1<=0); 分水岭存在，水库不渗漏( ; a<0,或a>l,分水岭不存在，水库渗漏( q1>=0 )。 分水岭不存在，水库渗漏( 决定a的因素有哪些？(W,K,l, h1 , h2)。 决定 的因素有哪些？( 的因素有哪些？(

( h 12 h 22 ) W q = K l + Wx ,

2l 2 当 x = a 时， q = 0 有 ( h 12 h 22 ) W 0 = K + l + Wa , 2l 2

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3.3.4

分水岭位置讨论( 分水岭位置讨论(续)

习题六： 习题六：6-1b,6-2a, 6-2b, 6-2d, 6-2c。 , 。 习题七： , , 。 习题七：7-1,7-4,7-5。21

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