巧解圆中最值问题

巧解圆中的最值问题

求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型

如图1、2，平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O，连结AO并延长，分别交圆于B、C两点，则AB为AP的最小值，AC为AP的最大值，即最小值为

AO?半径，最大值为AO+半径.

类型1 定点定长定圆

例1 如图3，在?ABC中，?ACB?90?，?ABC?30?，将?ABC绕顶点C顺时针旋转，得到?MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC?2，连结PQ，则旋转时PQ长度的最大值是( ).

(A) 26 (B) 23 (C)

6 (D) 3

分析连结CQ，点P是定点，点Q是动点，欲求PQ长度的最大值，就得知道Q的运 动轨迹.在这里，可以利用点Q是Rt?MNC斜边的中点，得出CQ是定值，到定点的距离等 于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ长度的最大值为PC?CQ'?3，所以选D.

例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象交x轴于点

A(?1,0)，B(4,0)，交y轴于点C(0,2)，过B，C画直线，并连结AC.

(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式.

(2)点F是线段BC上的一点，过点F作?ABC内接正方形DEFG，使得边DE落在x轴上，点G在AG上，GF交y轴于点M. ①求该正方形的边长;

②将线段EF延长，交抛物线于点H，那么点F是EH的中点吗?请说明理由. (3)在(2)的条件下，将线段BF绕点B旋转，在旋转的过程中，点P始终为CF的中 点，请直接写出线段OP的最大值.

分析 (1)二次函数解析式为

13y??x2?x?2

22直线解析式为y??1x?2 2(2)①

10，②不是； 7(3)本题中，O是定点，P是动点，取BC的中点K，连结BF，PK，由题意，得

PK?15BF?5，K(2,1) 2755为半径的圆，所以OP的最大值为 7所以P的运动轨迹是一个以K为圆心，OK?5125?5 77类型2 定线定角定圆

例3 (2016年宁波考纲)如图5，在等腰Rt?ABC中，AB?BC?2，点P为等腰

Rt?ABC所在平面内一点，且满足PA?PB，则PC的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段AB是定值，且AB所对的张角?APB是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上(不与A、B重合). 又因为?APB?90?，所以AB恰好是直径。连结CO并延长交圆O分别为P故 1、P2，

PC的取值范围为 CP1最小，CP2最大，所以

5?1?PC?5?1

例4 (2013年武汉中考题)如图6，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE?DF，连结CF交BD于点G，连结BE交AG于点H。若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 。

分析在确定动点H的轨迹时，需要我们先去证明?AHB?90?。因为AE?DF，易 证?ABE??DCF，得到?DCF??ABE，由正方形对称性可知?DAG??DCG，得到?DCF??DAG，所以?AHB?90?.

再考虑到E、F是边AD上两个动点，所以动点H的轨迹是以AB中点为圆心，AB12为半径的

1圆，连接OD，故可求得DH长度的最小值是5?1. 4 例5 (2016年宁波考纲)如图7，⊙O半径为3 , Rt?ABC的顶点A，B在⊙O上，

?B?90?，点G在⊙O内，且tanA?3，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（ ） 4(A)

2 (B)

3 (C) 23 (D)

5 3

分析 O是定点，C是动点，确定点C的运动轨迹是本题的难点.延长AC交圆于点E, 连结EO并延长，交圆于点F，连结FB. 因为tanA?3，所以?ACB为定值，即?BCE为定值. 418，符合定线定角定圆这种类型，故点C5 因为⊙O半径为3，?F??A，所以EB?的运动轨迹是过B，C，E三点的圆弧且在⊙O内部. 不妨设圆心为O1，连结O1E，O1O

因为?BCE??D?180?，?O1??D 所以?BCE??O1?180? 易得?O1=?ACB??FEB 所以?EOO为直角三角形， 1且tanO1?4 3因为OE?3 所以O1E?915，O1O? 44所以最小值为O1O?O1E?3 2例6 (2016年宁波考纲)边长为3的等边?ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶 点B在射线OD上移动，?AOD?30?，则顶点C到原点O的最大距离为 . 分析 此题定点是点O，动点是点C，尽管AB?3是确定的，但由于点A，B都是在动的，故确定点C的运动轨迹时难度仍较大.

不妨换个角度来看问题，正难则反，把正?ABC看成是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点O在运动时满足?AOB?30?，而?AOD所对的边AB是不变的，符合定线定角定圆这种类型，所以点O的运动轨迹是过点A，B，O三点的圆弧(优弧BA上)，取圆心

E，连结EA，EB

因为?AOB?30?，所以?AEB?60? , 即?ABE是边长为2的正三角形，CE?23. 连结CE并延长，交圆于点O'，此时CO'最大，最大值为

CE?半径?23?2

从上面的几个例子中可以发现，模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的已知条件，挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.

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