巧解圆中最值问题
更新时间:2024-05-18 13:33:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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巧解圆中的最值问题
求最值是常见的数学问题,几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉,圆中的最值问题也走进了我们的视野. 基本模型
如图1、2,平面内有一定点A和一动点P,点P的运动轨迹是圆O,连结AO并延长,分别交圆于B、C两点,则AB为AP的最小值,AC为AP的最大值,即最小值为
AO?半径,最大值为AO+半径.
类型1 定点定长定圆
例1 如图3,在?ABC中,?ACB?90?,?ABC?30?,将?ABC绕顶点C顺时针旋转,得到?MNC,P、Q分别是AC、MN的中点,AC?2,连结PQ,则旋转时PQ长度的最大值是( ).
(A) 26 (B) 23 (C)
6 (D) 3
分析连结CQ,点P是定点,点Q是动点,欲求PQ长度的最大值,就得知道Q的运 动轨迹.在这里,可以利用点Q是Rt?MNC斜边的中点,得出CQ是定值,到定点的距离等 于定值,由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型,可以得出PQ长度的最大值为PC?CQ'?3,所以选D.
例2 (2015年宁波考纲)如图4,二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象交x轴于点
A(?1,0),B(4,0),交y轴于点C(0,2),过B,C画直线,并连结AC.
(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式.
(2)点F是线段BC上的一点,过点F作?ABC内接正方形DEFG,使得边DE落在x轴上,点G在AG上,GF交y轴于点M. ①求该正方形的边长;
②将线段EF延长,交抛物线于点H,那么点F是EH的中点吗?请说明理由. (3)在(2)的条件下,将线段BF绕点B旋转,在旋转的过程中,点P始终为CF的中 点,请直接写出线段OP的最大值.
分析 (1)二次函数解析式为
13y??x2?x?2
22直线解析式为y??1x?2 2(2)①
10,②不是; 7(3)本题中,O是定点,P是动点,取BC的中点K,连结BF,PK,由题意,得
PK?15BF?5,K(2,1) 2755为半径的圆,所以OP的最大值为 7所以P的运动轨迹是一个以K为圆心,OK?5125?5 77类型2 定线定角定圆
例3 (2016年宁波考纲)如图5,在等腰Rt?ABC中,AB?BC?2,点P为等腰
Rt?ABC所在平面内一点,且满足PA?PB,则PC的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段AB是定值,且AB所对的张角?APB是定值,根据同弧所对的圆周角相等可知,动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上(不与A、B重合). 又因为?APB?90?,所以AB恰好是直径。连结CO并延长交圆O分别为P故 1、P2,
PC的取值范围为 CP1最小,CP2最大,所以
5?1?PC?5?1
例4 (2013年武汉中考题)如图6,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE?DF,连结CF交BD于点G,连结BE交AG于点H。若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 。
分析在确定动点H的轨迹时,需要我们先去证明?AHB?90?。因为AE?DF,易 证?ABE??DCF,得到?DCF??ABE,由正方形对称性可知?DAG??DCG,得到?DCF??DAG,所以?AHB?90?.
再考虑到E、F是边AD上两个动点,所以动点H的轨迹是以AB中点为圆心,AB12为半径的
1圆,连接OD,故可求得DH长度的最小值是5?1. 4 例5 (2016年宁波考纲)如图7,⊙O半径为3 , Rt?ABC的顶点A,B在⊙O上,
?B?90?,点G在⊙O内,且tanA?3,当点A在圆上运动时,OC的最小值为( ) 4(A)
2 (B)
3 (C) 23 (D)
5 3
分析 O是定点,C是动点,确定点C的运动轨迹是本题的难点.延长AC交圆于点E, 连结EO并延长,交圆于点F,连结FB. 因为tanA?3,所以?ACB为定值,即?BCE为定值. 418,符合定线定角定圆这种类型,故点C5 因为⊙O半径为3,?F??A,所以EB?的运动轨迹是过B,C,E三点的圆弧且在⊙O内部. 不妨设圆心为O1,连结O1E,O1O
因为?BCE??D?180?,?O1??D 所以?BCE??O1?180? 易得?O1=?ACB??FEB 所以?EOO为直角三角形, 1且tanO1?4 3因为OE?3 所以O1E?915,O1O? 44所以最小值为O1O?O1E?3 2例6 (2016年宁波考纲)边长为3的等边?ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动,顶 点B在射线OD上移动,?AOD?30?,则顶点C到原点O的最大距离为 . 分析 此题定点是点O,动点是点C,尽管AB?3是确定的,但由于点A,B都是在动的,故确定点C的运动轨迹时难度仍较大.
不妨换个角度来看问题,正难则反,把正?ABC看成是不动的,此时平面直角坐标系在动,原点O在运动时满足?AOB?30?,而?AOD所对的边AB是不变的,符合定线定角定圆这种类型,所以点O的运动轨迹是过点A,B,O三点的圆弧(优弧BA上),取圆心
E,连结EA,EB
因为?AOB?30?,所以?AEB?60? , 即?ABE是边长为2的正三角形,CE?23. 连结CE并延长,交圆于点O',此时CO'最大,最大值为
CE?半径?23?2
从上面的几个例子中可以发现,模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型,但在实际的解题过程中,会遇到各种困难,这时就需要我们利用题目的已知条件,挖掘潜在的结论,把隐藏在里面的圆还原出来.
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