数字信号处理 刘顺兰第二章完整版习题解答

第二章习题解答

~

（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）2.1图T2-1中所示序列~x1(n)是周期为4的序列，确定傅里叶级数的系数X1(k)

~x1(n)

2

…

-1

112

3

4

5

图T2-1

3

~nkk3k

x(n)WN 2 WN WN解：X(k) ~

n 0

…n

4, 2, 0, 2,

2.2求下列序列的DFT

(1){1,1, 1, 1}

k rN 1

k rN 2k rN 3

k rN

r N 4

(2){1,j, 1, j}

(4)x(n) sin(2 n/N)RN(n)

(3)x(n) c,0 n N 1解：(1)X(k)

3

n

nkk2k3k

x(n)W 1 W W W 4444,k 0,1,2,3n 0

可求得X(0) 0,X(1) 2 2j

nk

N

X(2) 0,X(3) 2 2j

N 4

(2)X(k)

x(n)W

n 0

N 1

k2k3k

1 jWN WN jWN,

可求得X(0) 0,X(1) 4,X(2) 0, N (k)c 1 N 1 c

c 1k cWN

X(3) 0

(3)X(k)

cW

nn 0

N 1

nk

N

(4)X(k)

sin(

n 0N 1n 0

N 1

2 nnk

WNN

e2j

j2 nN

e

j

2 nN

j

2 nkN

1N 1 jNn(k 1)N 1 jNn(k 1) [ e e]2jn 0n 0

根据正弦序列的正交特性：

2 2

N 2j N

X(k)

2j 0

k 1k N 1k 0及2 k N 2

2.3用封闭形式表达以下有限长序列的DFT[x(n)]

(1)x(n) e

j 0n

RN(n)(2)x(n) cos 0nRN(n)(4)x(n) nRN(n)

(3)x(n) sin 0nRN(n)解：(1)X(k) DFT[x(n)]

x(n)WN

n 0

N 1

nk

ej 0ne

n 0

a当○

N 1

j

2

nkN

0

2 k'N

j( 0

(0 k' N 1)

2 )NN2 k)N

即 0不在采样点上时，

X(k)

1 e

1 e

b当○

j( 0

1 ej 0N1 e

j( 0

2

k)N

sin[(

0

k)N]

e)N

j(

0

2 N

k)(N 1)

sin(

2

k

0

2 k'N

N 1n 0

(0 k N 1)即 0处在采样点上时

j2 k'nN

X(k) e

e

j

2 nkN

e

n 0

N 1

j

2

n(k' k)N

N,

2 j(k' k)N 1 eN

0, 2

jk' k)

1 eN N (k k')

(2)

k k'k k'

X(k) cos 0nW

n 0

N 1

nk

N

ej 0n e j 0n jNnk

e

2n 0

N 1

2

1N 1j( 0 Nk)nN 1 j( 0 Nk)n [ e e]2n 0n 0

a当 ○0

2 2

2

k'(0 k' N 1)即 0不在采样点上时N

k

(1 WNcos 0)(1 e j 0N)11 ej 0N1 e j 0N

X(k) [ ] 2 2 k2k

j 0 k j( 0 k)21 W2cos WN0NNN

1 e1 e2

b当 ○k'(0 k' N 1)即 0处在采样点k'时0

N

1N 1jNk' k)nN 1 jN(k k')n

X(k) [ e e]

2n 0n 0

N , 2 0,

(3)X(k)

2 2

k k'及k N k'其它

nk

N

nk

sin 0nWNn 0N 1

x(n)W

n 0

N 1

ej 0n ej 0n jNnk

2jn 0

N 1

2

1N 1j( Nk)nN 1 j(w0 Nk)n

[ e e]2jn 0n 0

a当 ○0

2 2

2

k'N

(0 k' N 1)，即 0不在采样点上时

kWNsin 011 ej 0N1 e j 0N

X(k) j[ 2 2 k2k

j( 0 k) j( 0 k)21 WN 2cos 0 WN

NN

1 e1 e2

b当 ○k'(0 k' N 1)即w0处在采样点k'时0

N

1N 1jN(k' k)nN 1 jNk' k)n

X(k) [ e e]

2jn 0n 0

N 1n 0

2

(k' k)nN

2 2

e

j

N,

2 jk' k)N 1 eN

0, 2

j(k' k)

1 eN N (k k')

k k'k k'

e

n 0

N 1

j

2

(k' k)nN

N, 0,

k N k'其它

N (k (N k'))

N j, 2 N

X(k) j,

2 0

N 1n 0

k k'k N k'其它

（4）

X(k) x(n)W

N 1n 0

nkN

nkk2k(N 1)k

nWN WN 2WN (N 1)WNn 0

N 1

①

当k 0时，X(0)

k

n

N(N 1)2

3k

(N 1)k

当k 0时，WNX(k) WN 2WN (N 2)WN①式-②式得

kk2k(N 1)k

X(k)[1 WN] WN WN WN (N 1)

kk(N 1)

WN(1 WN) (N 1)k

1 WN

2k

(N 1)WNNk

②

N

X(k)

N

,k

WN 1

k 0

1 k N 1

即

N(N 1)

, 2

X(k)

N k, WN 1

1 k N 1

解法二：Z[RN(n)]

z

n 0

N 1

n

1 z N

1 z 1

d1 z N (N 1)z N 1 z N z 1 1

Z[n(RN(n)] z[]

dz1 z 1(1 z 1)z 1

X(k) DFT[nRN(n)] Z[nRN(n)]z W k

N

k(N 1)kNk

(N 1)WN WN WN 1 kk

(1 WN)WNkk

(N 1)WN WN N ,kkk

(1 WN)WN1 WN

k 0

N(N 1) N 1n 0

nW ,N 2 n 0

X(k)

N ,k

W 1N

2.4已知序列

k 01 k N 1

an,6 n 9x(n)

其它n 0,

求其10点和20点离散傅里叶变换。解：X(k)

N 1n 0

9

6k4k

a6WN[1 a4WN] k

1 aWN

x(n)W

nkN

aW

nn 6

nkN

6k10k

a6WN a10WN k

1 aWN

6k

a6(W10 a4)

X(k) ,k

1 aW10

当N 10，a 1;

当N 20，

6k

a6(W20 a4( 1)k)

X(k) ,a 1k

1 W20

2.5若已知DFT[x(n)]=X(k)，求

DFT[x(n)cos(

2

mn)]，N

DFT[x(n)sin(

2

2

mn)]，N

2

0 m N

2

N 1 jnm jnk2 1jmn)] x(n)[eN eN]eN解（1）DFT[x(n)cos(N2n 0

N 1 j(k m)n jk m)n1N 1

N

[ x(n)e x(n)eN]2n 0n 0

2

2

1

[X((k m)N) X((k m)N)]2

N 1 jnm j2 1jNnm

N

mn)] x(n)[e e]eN（2）DFT[x(n)sin(N2jn 0

N 1 jn(k m) jn(k m)1N 1

N

[ x(n)e x(n)eN]2jn 0n 0

2

2 2

2

2

1

[X((k m)N) X((k m)N)]2j

4k

2.6已知序列x(n) 4 (n) 3 (n 1) 2 (n 2) (n 3),X(k)是x(n)的6点DFT。

(1)若有限长序列y(n)的6点DFT是Y(k) W6X(k)，求y(n)。

(2)若有限长序列y(n)的6点DFT等于X(k)的实部，求w(n)。W(k) Re{X(k)}(3)若有限长序列q(n)的3点DFT满足，Q(k) X(2k),k 0,1,2。求q(n)解：（1）X(k)乘以一个WN形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。根据式（2-29），本题中m 4，即x(n)向右圆周移位了4点，则有

km

y(n) x((n 4))6R6(n) 2 (n) (n 1) 4 (n 4) 3 (n 5)

（2）W(k) Re{X(k)}，根据式（2-25），有

w(n) IDFT[W(k)] IDFT{Re[X(k)]} xep(n)

11

[x(n) x*(N n)] [x(n) x*(6 n)]22

4 (n) 1.5 (n 1) (n 2) (n 3) (n 4) 1.5 (n 5)

（3）x(n)的6点DFTX(k)可看成是序列x(n)的傅里叶变换在0到2 上的6点的等间隔采样，即X(k) X(e)

j

2 2 k kN6

，则

Q(k) X(2k) X(ej )

2 2 2

2k 2k kN63

相当于序列x(n)的傅里叶变换在0到2 上的3点的等间隔采样，根据频域采样理论有

q(n) [ x(n 3r)]R3(n) 5 (n) 3 (n 1) 2 (n 2)

r

2.7序列x(n)为

x(n) 2 (n) (n 1) (n 3)

计算x(n)的5点DFT，然后对得到的序列求平方：

Y(k) X2(k)

求Y(k)的5点DFT反变换y(n)。解：Y(k) X(k)，根据圆周卷积定理有

2

y(n) x(n) x(n) x(m)x((n m))NRN(n)

m 0

N 1

x(m)x((n m))5R5(n) 4 (n) 5 (n 1) (n 2) 4 (n 3) 2 (n 4)

m 0

4

2.8解：

求x(n)的N点DFT：

x(n) ( 1)n,X(k) x(n)W

n 0N 1

nkN

n 0,1,...N 1，其中N为偶数。 ( 1)nWNnk

n 0N 1

故

1 ( WNk)N N,k N/2

其他1 WNk 0,

N

X(k) N (k 2

2 2 3k) 3jsin(5k)1616

2.9求X(k)的16点DFT反变换，X(k) cos(解：

116 1116 12 2 nk nk

x(n) x(n)W16 [cos(3k) 3jsin(5k)]W16

16k 016k 01616

2 2 2 2

3k) j(3k)j(k) j(k)j(nk)1151j(23

[(e16 e16) (e16 e16)]e1616k 022

2 2 2 (n 3)kj(n 3)kj(n 5)kj(n 5)k1151j23

[(e16 e16) (e16 e16)]16k 022

根据复正弦信号的正交特性，有

13

x(n) [ (n 3) (n 13)] [ (n 5) (n 11)]

22

2.10已知以下X(k)，求IDFT[X(k)](其中m为某一正整数，0 m N/2)。

（1）

（2）

Nj

，k m 2e

N

X(k) e j ，k N m

2

其它k 0，

Nj

，k m 2je

N j

X(k) je，k N m

2

其它k 0，

1

解（1）IDFT[X(k)]

N

X(k)e

k 02

N 1

j

2 nkN

1Nj jNnmN j jNN m)N [ee ee]N22

2

j(nm )1j(nm )

[eN eN]2

2 2

cos(

（2）

2

nm )N

1

IDFT[X(k)]

N

X(k)e

k 0

N 1

j

2 nkN

1Nj jNnmN j jNn(N m) [ jee jee]N22 sin(

2

nm )N

2 2

2.11已知复有限长序列f(n)是有两个实有限长序列x(n)、y(n)组成

f(n) x(n) jy(n)，且DFT[f(n)]=F(k),求X(k)、Y(k)以及x(n)、y(n)。

1 aN1 bN

（1）F(k) jkk

1 aWN1 bWN

（2）F(k) 1 jN解（1）f(n) x(n) jy(n)

1

x(n) [f(n) f*(n)],

2

y(n)

1

[f(n) f*(n)]2j

111 aN1 bN1 aN1 bN*

X(k) [F(k) F(N k)] [ j jkk*N k*N k

221 aWN1 bWN1 aWN1 bWN

kNN 1

1 aN(WN)1 aNnk

anWN

kk

1 aWN1 aWNn 0

x(n) anRN(n)

11 aN1 bN1 aN1 bN

同理：Y(k) [ j ( jkkkk

2j1 aWN1 bWN1 aWN1 bWN

N 11 bNnk bnWN,k

1 bWNn 0

y(n) bnRN(n)

2.12已知X(k)，求其10点DFT反变换：

3

X(k)

1

k 01 k 9

解：X(k)可以表示为

X(k) 1 2 (k)0 k 9

写成这种形式后，就可以很容易确定DFT反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT变换为常数：

x1(n) (n)，X1(k) DFT[x1(n)] 1

同样，一个常数的DFT变换是一个单位脉冲序列：

x2(n) 1，

所以

X2(k) DFT[x2(n)] N (k)

x(n)

1

(n)5

2.13若X(k)是序列x(n)的10点DFT，x(n) (n 1) 2 (n 4) (n 7)，若y(n)的10点DFT为Y(k) 2X(k)cos(

6 k

)，求y(n)。N

6 k6 kj j6 k3k

解Y(k) 2X(k)cos( X(k)[eN eN] X(k)[WN 3k WN]

N

根据DFT的移位特性，有y(n) x((n 2))NRN(n) x((n 2))NRN(n)，其中N 10则得：y(n) (n) 2 (n 1) 2 (n 7) (n 8)

2.14求Y(k) X(k)的DFT反变换，其中X(k)是序列x(n) u(n) u(n 6)的10点

DFT。

解Y(k) X(k) X(k)X(k)，

2

*

2

IDFT[X*(k)] x*(N n)，其中x(N) x(0)，N 10x(n) {1,1,1,1,1,1,0,0,0,0}，x*(N n) {1,0,0,0,0,1,1,1,1,1}

则由DFT的圆周卷积特性，y(n) x(n)⑩x(N n)

*

y(n) 6,5,4,3,2,2,2,3,4,5

2.15若x1(n)和x2(n)都是长度为N点的序列，X1(k)和X2(k)分别是两个序列的N点

1N 1*

DFT。证明： x1(n)x(n) X1(k)X2(k)

Nn 0n 0

*

2

N 1

证：

1

x1(n)x2(n)= x1(n)[ Nn 0n 0

*

N 1N 1

X

k 0

N 1

kn*

(k)W]N2

1

=N

X

k 0

N 1

*2

(k) x1(n)W

n 0

N 1

knN=

1N

X(k)X

1

n 0

N 1

*2

(k)

2.16图T2-2所示为5点序列x(n)，（1）画出x(n)与x(n)的线性卷积；（2）画出x(n)与x(n)的5点圆周卷积；（3）画出x(n)和x(n)的10点圆周卷积；（4）为了使N点的x(n)与x(n)圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N值为多少？解：（1）x(n)

利用

11

(n 1) (n 2) (n 3) (n 4)22

(n m)* (n l) (n m l)

1

(n 2) (n 3) 2 (n 4) 2.5 (n 5)4

1

2 (n 6) (n 7) (n 8)

4

11

{0,0,,1,2,2.5,2,1,（图略）

44

5

可求得x(n)*x(n)

（2）x(n)⑤x(n)

m 0

x(m) x((n m)

N 1

)

{2.5,2,1.25,1.25,2}

即若令y(n) x(n)⑤x(n)

y(0) 2.5,y(1) 2，y(2) 1.25,y(3) 1.25，y(4) 2（图略）

（3）10 5 5 1故

x(n)⑩x(n) x(n)*x(n)

11

,1,2,2.5,2,1,,0}（图略）44

（4）N 5 5 1 9

{0,0,

2.17计算x1(n)、x2(n)的N点圆周卷积，其中

10 n N 1

x1(n)=x2(n)

其它 0

解：y(n)

m 0

x(m) x((n m)

1

2

N 1

N

)RN(n) (1 1)RN(n) N RN(n)

m 0

N 1

N,0 n N 1

其他 0,

注：x2(n)以N为周期进行延拓后的序列为全1的序列，则x((n m))N也是一个全1的序列。

2.18计算序列x(n)和h(n)的4点圆周卷积。

x(n) (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 3 (n 3)

h(n) (n) (n 1) (n 2)

解：y(n) x(n)④x(n)

x(m)h((n m))

n 0

3

4

R4(n)

x(m) (m) 2 (m 1) 3 (m 2) 3 (m 3)

h(( m))4R4(m) (m) (m 2) (m 3)，计算得y(0) 1h((1 m))4R4(m) (m) (m 1) (m 2)，计算得y(1) 1 ( 1) 2 1 3 1 4

h((2 m))4R4(m) (m) (m 1) (m 2)，计算得y(2) 1 1 2 ( 1) 3 1 2

h((3 m))4R4(m) (m 1) (m 2) (m 3)，计算得y(3) 2 1 3 ( 1) 3 1 2

故y(n) (n) 4 (n 1) 2 (n 2) 2 (n 3)

2.19

x1(n)是长度为N点的序列，X1(k)是其序列的N点DFT。证明：N 1

1N 122

x(n) X(k) 11

Nn 0n 0

证：

x(n)

1n 0

N 1

2

x1(n)x1*(n)

n 0N 1

N 1

1= x1(n)[

Nn 01

=N

2.20序列

N 1

X(k)W

1

k 0*1

N 1

knN

1]=

N

*

X

k 02

N 1

*1

kn

(k) x1(n)WN

n 0

N 1

1

X(k)X(k) 1

Nn 0

X(k)

1

n 0

N 1

x(n) (n) 2 (n 2) (n 3)

(1)求x(n)的4点DFT。

(2)若y(n)是x(n)与它本身的4点圆周卷积，求y(n)及其4点DFTY(k)。(3)h(n) (n) (n 1) 2 (n 3)，求x(n)与h(n)的4点圆周卷积。

解(1)X(k)

x(n)W

n 0

3

nk4

[ (n) 2 (n 2) (n 3)]W4nk 1 2W42k W43k

n 0

3

(2)y(n) x(n)④x(n)

由DFT的卷积特性，有Y(k) X(k)X(k)，根据X(k)计算可得：

Y(k) 5 4W4k 5W42k 2W43k

因Y(k)

nkk2k3k

y(n)W y(0) y(1)W y(2)W y(3)W，故可得： 4444n 03

y(n) 5 (n) 4 (n 1) 5 (n 2) 2 (n 3)

(3)

x(n)与h(n)的线形卷积为y(n) x(n)*h(n) [1,1,2,5,1,4,2]

4h(n)=2 (n) 5 (n 1) 4 (n 2) 5 (n 3)则z(n) x(n)○

2.21长度为N的序列x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)。

（1）证明：若x(n)为奇对称，即x(n) x(N 1 n)，则X(0) 0；（2）证明：若x(n)为偶对称，且N为偶数，即：x(n) x(N 1 n)，则X(证明：（1）X(k)

N

) 0。2

x(n)W

n 0

N 1

nkN

当N为偶数时：X(k)

x(n)W

n 0

N 12n 0

N 12

nkN

x(n)W

n N2

N 1

nkN

X(k)

x(n)W

n 0N 12n 0

N 12

nkN

(N 1 n)k

x(N 1 n)WN

[x(n)W

nkN (n 1)k

x(N 1 n)WN]

当N为奇数时：若x(n) x(N 1 n)，则x(

N 1

2n 0

N 1

N 1N 1

x( 022

故

X(k)

x(n)W

x(n)W

n 0N 1

2

nkN

x(n)W

n N 12N 32n 0

nkN

nkN

(N 1 n)k

x(N 1 n)WN

[x(n)W

n 0

N 12n 0

N 32

nkN(N 1 n)k

x(N 1 n)WN]

∴当x(n) x(N 1 n)时，若N为偶数

X(0)

若N为奇数，

[x(n) x(N 1 n)] 0

X(0)

[x(n) x(N 1 n)] 0

n 0

N 3

2

即当x(n) x(N 1 n)时有X(0) 0（2）N为偶数，x(n) x(N 1 n)

NX() 2

[x(n)W

n 0N 12n 0

N 12

Nn2N

x(N 1 n)WN

(n 1)

N2

]

x(n)[( 1)

n

n

( 1) (n 1)] 0

2.22序列x(n) (1/2)u(n)的傅里叶变换为X(e

j

)，已知一有限长序列y(n)除了

0 n 9外均有y(n) 0，其10点离散傅里叶变换等于X(ej )在其主周期内等间隔的10点取样值，求y(n)。

解：y(n)

r

x(n rN)R

N

(n),N 10

1()n

1

()n rNRN(n) RN(n)

2r 0

1 (N

2

10241n ()RN(n)10232

2.23已知序列x(n) au(n),0 a 1，今对其z变换为X(z)在单位圆上N等分采样，

采样值为

n

X(k) X(z)

求有限长序列IDFT[X(k)]。解法一：X(z)

kz WN

n

x(n)z

n

anu(n)z n

n 0

X(k) X(z)

kz WN

N 1k 0

n

a

n

nk

u(n)WN

1

IDFT[X(k)]

N

1 N

X(k)W

N 1

nkN

mmk nk

[au(m)W]W NNk 0m

amu(m)N 1(m n)k

WN]

Nm 0k 0

W

k 0

N 1

(m n)kN

N,m n rN,r为整数

0,其它

0 n N 1

IDFT[X(k)]

r

an rNu(n rN),

a

n

a

r 0

rN

RN(n),

0 a 1

an RN(n)1 aN

解法二：

xN(n) IDFT[X(k)]

r

x(n rN)R

N

(n) a

r 0

n rN

an

RN(n) RN(n)

1 aN

2.24令x(n)表示z变换为X(z)的无限时宽序列，而x1(n)表示长度为N的有限时宽序列，

其N点离散傅里叶变换用X1(k)表示。如果X(z)和X1(k)有如下关系：

X1(k) X(z)

式中WN e

j2

N

kz WN

,k 0,1,2, ,N 1

，试求x(n)和x1(n)之间的关系。

解：X(z) Z[x(n)]

n

x(n)z

n

nk

X1(k) DFT[x1(n)] x1(n)WN

n 0

N 1

X1(k) X(z)

kz WN

nk

x(n)WN,0 k N 1n

~

将X1(k)作周期延拓得，X1(k)

l

X

1

(k lN)

则

1~~x1(n) IDFS[X1(k)] N

1 N1 N

X

k 0

N 1

~

nk

(k)W1N

X

k 0N 1

N 1

1

nk

(k)WN

mk nk

[x(m)W]W NNk 0m

1

x(m)[

Nm

k

W

N 1

(m n)k

N

]

1因

N

故

W

k 0

N 1

(m n)kN

1, 0,

m n rNm n rN

r为任意整数

~x1(n)

r

x(n rN)

x(n rN)R

N

则

x1(n) ~x1(n)RN(n)

(n)

r

2.25已知x(n)是一个6点的离散时间序列

x(n) (n) 2 (n 2) 2 (n 3) b (n 4) (n 5)

其中x(4)的值b未知，令x(n)的傅里叶变换为X(e

j

)，X1(k)表示X(ej )在每隔

/2处的样本，即

X1(k) X(ej ) 2 k/4，0 k 3

由X1(k)的4点离散傅里叶反变换（IDFT）得到4点序列x1(n)，且

x1(n) 4 (n) (n 1) 2 (n 2) 2 (n 3)

根据x1(n)的值，能否惟一的确定b的值，如果可以，请求出b的值。解：X1(k) X(e

j

) 2 k/4，0 k 3。根据频域采样理论，有

x1(n)

r

长度为4的序列。 x(n 4r)R(n) 4 (n) (n 1) 2 (n 2) 2 (n 3)，

4

x(n) (n) 2 (n 2) 2 (n 3) b (n 4) (n 5)是一个6点的序列，根据x1(n)与x(n)的关系，可知x1(n)可表示为：

x1(n) [x(n) x(n 4)]R4(n)x1(0) [x(0) x(4)]R4(0) 1 b 4

故可得：b=3

2.26已知

x(n)

是一个5点的离散时间序列，

x(n) 2 (n) (n 1) c (n 3) (n 4)，其中x(3)的值c未知，设X1(k) X(k)ej2 3k/5，式中X(k)是x(n)的5点DFT。x1(n)是X1(k)的DFT反变

换。且x1(n) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) (n 3)。求c值是多少？解：X1(k) X(k)e

j2 3k/5

，根据DFT的移位性质，有

x1(n) x((n 3))5R5(n)

x(n) 2 (n) (n 1) c (n 3) (n 4)

根据x1(n)与x(n)的关系，有：

x1(0) x(3) c

而x1(n) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) (n 3)，故

c 2

2.27若x(n)是长度为4点的有限长序列，其4点的DFT是X(k)。用X(k)表示以下序列

的4点DFT。（1）x(n) (n)

（2）x((3 n))4

（3）

1

x(n) x*(( n))42

解(1)DFT[x(n) (n)] DFT[x(n)] DFT[ (n)] X(k) 1，0 k 3

(2)DFT[x((3 n))4]

x((3 n))W

4

n 03k4

3

nk4

x(m)W4(3 m)k

m 033k4

3

W

12

x(n)W

n 0

3

nk4

W

x(n)W

n 0

n(4 k)4 W43kX((4 k))4

*

(3)DFT{ x(n) x(( n))4 }

11

DFT[x(n)] DFT[x*(( n))4]2211

X(k) X*(k) Re[X(k)]22

2.28已知x(n)是长为N的有限长序列，X(k) DFT[x(n)]，现将长度扩大r倍，得长度

为rN的有限长序列y(n)。

x(n),0 n N 1y(n)

N n rN 1 0,

求DFT[y(n)]与X(k)的关系。

j

解：X(e)

n

x(n)e

j n

x(n)e

n 0

N 1

j n

，

X(z)

n

x(n)z

n

x(n)z n

n 0

N 1

X(k) DFT[x(n)] X(ej )

2

kN

，

或X(k) DFT[x(n)] X(z)

z e

j

2 krN的有限长序列y(n)是有x(n)补零后得到的，所以Y(k) DFT[y(n)]相当于是对

X(z)在单位圆上等间隔采样rN点后得到的结果：

Y(k) DFT[y(n)] X(z)

z e

j

2 krN

X(e

j

2 krN

)，0 k rN 1

2.29已知x(n)是长度为N的有限长序列，X(k) DFT[x(n)]，现将x(n)的每二点补进

r-1个零值，得到一个长为rN的有限长序列y(n)。

x(n/r),n ir,i 0,1, ,N 1y(n)

其它n 0,

求DFT[y(n)]与X(k)的关系。

解：rN的有限长序列y(n)是对x(n)上采样因子r得到的（即在时间上将x(n)的每二点补

进r-1个零值）。

Y(z)

n

y(n)z

n

x(n/r)z

n 0

n ir

rN 1

n

x(n)z rn X(zr)

n 0

2 kN

N 1

所以：Y(k) DFT[y(n)] Y(z)

z e

j

2 rN

X(e

j

)，0 k rN 1

2.30频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512个采样的DFT，试确定频谱采样之

间的频率间隔，并予以证明。解：

fs 8KHz s 2 fsT 2

2

2 fT,N

即 f

2.31有一调幅信号

f

f1

s,NTN

N 512

8KHz

15.62Hz512

x (t) [1 cos(2 100t)]cos(2 600t)

用DFT做频谱分析，要求能分辨x (t)的所有频率分量，问（1）抽样频率应为多少赫兹（Hz）？（2）抽样时间间隔应为多少秒（sec）？（3）抽样点数应为多少点？

（4）若用fs 3kHz频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求

X(k) DFT[x(n)]，512点，并粗略画出X(k)的幅频特性X(k)，标出主要点

的坐标值。

解(1)

x (t) [1 cos(2 100t)]cos(2 600t)

cos(2 600t) 0.5cos(2 700t) 0.5cos(2 500t)fh 700Hz

(2)

故可得：fs 1400Hz

T 1/fs 1/1400s

(3)F 100Hz，N fs/F 14（4）

X(k)

n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/noz4.html