第二单元 两个重要极限与函数连续性

经济数学基础 第2章 导数与微分

第二单元 两个重要极限与函数连续性

第一节 两个重要极限 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.

二、内容讲解

limsinxx?1第一个重要极限公式：

x?0

sinx几何说明：如图，设x为单位圆的圆心角，则x对应的小三角形的面积为2xtanx2，

x对应的扇形的面积为2，x对应的大三角形的面积为当x?0时，它们的面

积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.

lim(1?x??1x1第二个重要极限公式：

limsinxx??)x?e；x?0lim(1?x)x?e

问题思考：x?? 0.这不是第一个重要极限公式，当x??时，此式为无穷小量乘以有界变量，其结果仍为无穷小量. 三、例题讲解

limsin3xx例1 x?0

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经济数学基础 第2章 导数与微分

解：

limsin3xxx?0=

lim3sin3x3x13xx?0?3limsin3x3xx?0?3

例2 求极限x??lim(1?x??lim(1?)x

13x)3x?1313x解:

)?lim(1?x??x?[lim(1?x??13x11)3x]3?e3

1例3 求极限x?01lim(1?2x)x

?12x(?2)解

lim(1?2x)x?lim(1?(?2x))x?0x?0?[lim(1?(?2x))x?0?12x]?2?e?2

四、课后练习

练习1 求极限x?0sin3x

lim(x?2xx?1limsin2x练习2 求极限x??)3

五、课后作业

limtan2xxx?3sin(x?3)；2.x?0sin5x；3.；4.x?01.x?0xsinlim2limsin4xlimx?x?62lim1?2x?1sinx；5.x??limxsin1x；

1xlim(1?2x)2x6.x?0sinx；7.x??4；8.x??lim(1?1x)x?11；9.x?0lim(1?x2)?3x；10.x??x?3?32lim(x?1)x

1.2; 2.5 3.5 4.1 5.1 6.0 7.e 8.e4?1 9.e 10.e 4

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第二节 函数的连续性 一、学习目标

通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算.

二、内容讲解

生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义

定义2.4——函数的间断与连续

设函数在点

x0limf(x)?f(x0)f(x)在点x0的邻域内有定义，x?x0若满足

x0，则称函数f(x)处连续.点

是f(x)的连续点.

函数间断、间断点的概念： 例如 函数连续的.

问题思考：设

f(x)在点x0y?x,y?x23

y?sinx,y?cosx

y?lnx,y?ex在定义域内都是

处连续，则

?y?f(x0??x)?f(x0)??????x?0

x答案 ：0. 因为f(x)在点0处连续

?x?0lim?y?lim(f(x0??x)?f(x0))?limf(x0??x)?limf(x0)?f(x)?f(x)?000?x?0?x?0?x?0，

所以，极限为0.

三、例题讲解

?x?1f(x)???2x?3x?1x?1例1

,问f(x)在x?1处是否连续？

注意：此函数是分段函数，x?1是函数的分段点.

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解: x?1lim?f(x)?lim?(2x?3)??1x?1 x?1lim?f(x)?lim?(x?1)?2x?1 x?1limf(x)不存在，

f(x)在x?1处是间断的.

1??xsiny??x??0x?0x?0例2

,问f(x)在x?0处是否连续？

1x?0?f(0)解:

?limf(x)?limxsinx?0x?0（无穷小量×有界变量=无穷小量）

?f(x)在x?0处是连续的.

结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；

（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的.

lime?cose?cosxxx1?x22例3x?0limx2

?e?01?x21?022解:

x?0x2cos0?1?11?2

e?1?x2注意：数值.

cosx是初等函数，在x?0处有定义，利用结论有极限值等于函

四、课堂练习

f(x)?x?2x?x?22练习1 求函数

f(x)?的连续区间.

x?2x?x?2是初等函数，所以其连续区间是定义域 2解:因为

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?3x2?b,f(x)??4,?练习2 设函数

2x?1x?12，求b为何值时，函数f(x)在x?1处连续.

x?1 解:

limf(x)?lim(3x?b)?lim3x?limb?3?bx?1x?1x?1

五、课后练习

1.设函数

1?xsin?b,?x?f(x)??asinx??x?x?0x?0x?0

问（1）当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在； (2) 当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续. 2.讨论函数

?x?1,f(x)??2?xx?0x?0在x?0处的连续性.

3.求下列函数的间断点和连续区间：

y?x?2x?1x?12（1）；（2）

y?xx；（3）

x?3y?sinxx；

0?x?11?x?2y?arcsinxx(x?1)；（5）

（4）

?x2?9?y??x?3??2?2xy??x?3?3?x；（6）

4.说明下列函数在定义域内连续 （1）

y?2x?12；（2）y?sin(x?1)

（3）y?ln(x?1)；（4）y?cosx 5.求下列函数极限

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经济数学基础 第2章 导数与微分

（1）x?2limx?3x?13；（2）

x??2lime?1xxlimln(1?x)sin(1?x)；

2；（3）

x?0（4）

x???limcos1?x1?x；（5）

lim1xlimln(1?x)arcsinsin(lnxx?e?x2ex?0；（6）

)

答案1.（1）当b?1,a任意时，f(x)在x?0处有极限存在； （2）当a?b?1时，f(x)在x?0处连续. 2. 因为不连续. 3.（1）x?1;(??,1)?(1,??)；（2）x?0;(??,0)?(0,??)； （3）x?0;(??,0)?(0,??)；（4）x?0,x?1;(??,0)?(0,1)?(1,??)； （5）x?3,(??,3)?(3,??)；（6）(0,2] 4.（1）定义区间；（2）定义区间；（3）x?1；（4）定义区间； e?2x?0lim?f(x)?lim?(x?1)??1,lim?f?x??lim?xx?0x?0x?02?0，所以函数f(x)在x?0处?1?5.（1）3；（2）

?2；（3）0；（4）cos(?1)；（5）1；（6）2.

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经济数学基础 第2章 导数与微分

（1）x?2limx?3x?13；（2）

x??2lime?1xxlimln(1?x)sin(1?x)；

2；（3）

x?0（4）

x???limcos1?x1?x；（5）

lim1xlimln(1?x)arcsinsin(lnxx?e?x2ex?0；（6）

)

答案1.（1）当b?1,a任意时，f(x)在x?0处有极限存在； （2）当a?b?1时，f(x)在x?0处连续. 2. 因为不连续. 3.（1）x?1;(??,1)?(1,??)；（2）x?0;(??,0)?(0,??)； （3）x?0;(??,0)?(0,??)；（4）x?0,x?1;(??,0)?(0,1)?(1,??)； （5）x?3,(??,3)?(3,??)；（6）(0,2] 4.（1）定义区间；（2）定义区间；（3）x?1；（4）定义区间； e?2x?0lim?f(x)?lim?(x?1)??1,lim?f?x??lim?xx?0x?0x?02?0，所以函数f(x)在x?0处?1?5.（1）3；（2）

?2；（3）0；（4）cos(?1)；（5）1；（6）2.

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