数学史复习一

数学史复习一

1 源自河谷的古老文明——数学的萌芽

数学也和其他人类文明一样，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度．但就国外数学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与古巴比伦． 1.1 古埃及的数学

从公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字，其中最具代表性的是僧侣们所使用的僧侣文（又称祭祀文）.流传至今的古埃及文献，大部分是以这种僧侣文书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书.

保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集.兰德纸草书长544cm,宽33cm,共载有85个问题，莫斯科纸草书长544cm,宽8cm，共载有25个问题.人们对古埃及数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献. 1.1.1 古埃及的记数制与算术

古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号.在当一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则，这说明，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位置制.古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有

2是一个例外. 3古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的． 1.1.2 古埃及的代数

古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法． “试位法”对于解决属于一元一次方程的问题，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程，这种方法一般情况下只能给出近似解．

在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载．等比数列也已在古埃及纸草书中出现．

1.1.3 古埃及的几何学

在上述两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关．例如，古埃及人知道，任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；圆的面积等于直径的

8的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为93.16；直圆柱的体积为底面积与高的乘积． 1.2古巴比伦的数学

古巴比伦，又称美索波达米亚，位于亚洲西部的幼发拉底与底格里斯两河流域，大体上相当于今天的伊拉克(如图l—6)．大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立起了自己的奴隶制王国．

1.2.1 古巴比伦的记数制与算术

古巴比伦人很早就有了数的写法，古巴比伦人的记数系统是60进制.古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，古巴比伦人的分数系统是不成熟的.与古埃及人相仿，

古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的.在已发现的泥板书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表.倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的. 1.2.2 古巴比伦的代数 在公元前2000年前后，古巴比伦数学己出现了用文字叙述的代数问题．古巴比伦人那时可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式．由于他们没有负数的概念，二次方程的负根不予考虑．至于他们是如何得到上述这些解法的，泥板书上没有具体说明．他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法．在一块泥板上，他们给出这样的数表，它不仅包含了从1到30的整数的平方和立方，还包含这个范围内的整数组合n?n，专家经研究认为，这个数表是用来解决形如x?x?b的三次方程的．古巴比伦人还对非完全平方数的平方根给出了一些有趣的近似值，在耶鲁第7289号泥板上还发现了2的非常值得注意的近似值1.4142155。

1.2.3 古巴比伦的几何

在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题．他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的．例如古巴比伦人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算．他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱柱体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的

32321为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的12体积．在泥板中有足够的证据表明，古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领.但他们错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积．这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明． 1.2.4 古巴比伦的天文学

在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12个月，第一个月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月．一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天，如太阳神主管星期日．因此，所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的，这种表示方法在今天的英语单词中还能找到一些痕迹．此外，圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦．

以上我们介绍了古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关．古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先．而古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出．这些表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了．需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和重要的公式，但他们的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察，更谈不上掌握了．在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉及到“为什么要这样做”，这标志着他们的数学还远没

有进入理性思维的阶段.因此，从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来，正如美国著名数学史家M．克莱因在《古今数学思想》一书中所说的那样，“按这个标准说，埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师.”真正科学意义下的理性数学，是由希腊人为我们提供的．

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