计算流体力学讲义

计算流体力学讲义

哈尔滨工程大学

航天与建筑工程学院

王 革 教授

2009.10

前言

计算流体力学的兴起推动了研究工作的发展。自从1687年牛顿定律公布以来，直到上世纪50年代初，研究流体运动规律的主要方法有两种：一是试验研究，它以地面试验为研究手段；另一种是理论分析方法，它利用简单流动模型假设，给出所研究问题的解析解。理论工作者在研究流体流动规律的基础上建立了各类型主控方程，提出了各种简化流动模型，给出了一系列解析解和计算方法。这些研究成果推动了流体力学的发展，奠定了今天计算流体力学的基础，很多方法仍是目前解决实际问题时常采用的方法。然而，仅采用这些方法研究较复杂的非线性流动现象是不够的，特别是不能满足50年代已开始高速发展起来的宇航飞行器绕流流场特性研究的需要。

计算流体力学的发展与展望

20世纪30年代，由于飞机工业的需要、要求用流体力学理论来了解和指导飞机设计，当时由于飞行速度很低，可以忽略粘性和旋涡，因此流动的模型为拉普拉斯方程，研究工作的重点是椭圆型方程的数值解。利用复变函数理论和解的迭加方法来求解析解。随着飞机外形设计越来越复杂，出现了求解奇异边界积分方程的方法。以后为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方法，并发展成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合，通过迭代求解粘性干扰流场

的计算方法。同一时期许多数学家研究了偏微分方程的数学理论，Courant，Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲型偏微分方程理论。以后，Courant，Fredrichs，Lewy等人发表了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的存在性和唯一性定理，并针对线性方程的初值问题，首先将偏微分方程离散化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用代数方法确定了差分解的存在性；他们还给出了著名的稳定性判别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。20世纪40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf，Lax和其他一些学者建立了非线性双曲型方程守恒定律的数值方法理论，为含有激波的气体流动数值模拟打下了理论基础。

在20世纪50年代，仅采用当时流体力学的方法，研究比较复杂的非线性流动现象是不够的，特别是不能满足高速发展起来的宇航飞行器绕流流场特性研究的需要。针对这种情况，一些学者开始将基于双曲型方程数学理论基础的时问相关方法用于求解宇航飞行器的气体的定常绕流场问题，这种方法虽然要求花费更多的计算机时，但因数学提法适定，又有较好的理论基础，且能模拟流体运动的非定常过程，所以在60年代这是应用范围较广的一般方法。以后由Lax、Kais和其他著者给出的非定常偏微分方程差分逼近的稳定性理论，进一步促进了时间相关方法。当时还出现了一些针对具体问题发展起来的特殊算法。

进人20世纪80年代以后，计算机硬件技术有了突飞猛进的发

展，计算机逐渐进人人们的实践活动范围。随着计算方法的不断改进和数值分析理论的发展高精度模拟已不再是天方夜谭。同时随着人类生产实践活动的不断发展，科学技术的日新月异，一大批高新技术产业对计算流体力学提出了新的要求，同时也为计算流体力学的发展提供了新的机遇。实践与理论的不断互动，形成计算流体力学的新热点、新动力，从而推动计算流体力学不断向前发展。首先，在计算模型方面，又提出了一些新的模型，如新的大涡模拟模型、考虑壁面曲率等效应的新的湍流模式、新的多相流模式、新的飞行器气动分析与热结构的一体化模型等这就使得计算流体力学的计算模型由最初的Euler和N-S方程，扩展到包括湍流、两相流、化学非平衡、太阳风等问题研究模型在内的多个模型。其中以考虑更多流动机制，如各向异性的非线性(应力／应变关系)湍流研究为重点。研究结果再次证明，万能的湍流模型还不存在，重要的是如何在模型精度和计算量上较好地取得折中；也有学者从更高层次研究湍流模型问题，由湍流流动中速度不可微，怀疑N-S方程的有效性，进而提出以积分方程为基础的数学模型。

目前，计算流体力学研究的热点是：

研究计算方法，包括并行算法和各种新型算法；研究涡流运动和湍流，包括可压和不可压湍流的直接数值模拟、大涡模拟和湍流机理；研究网格生成技术及计算机优化设计；研究计算流体力学用于解决实际流动问题，包括计算生物力学、计算声学、微型机械流动、多相流及涡轮机械流动的数值模拟等。

计算流体力学的应用：

计算流体力学的应用已经从最初的航空航天领域不断地扩展到船舶，海洋、化学、工业设计、城市规划设计、建筑消防设计、汽车多个领域。近几年来计算流体力学在全机流场计算、旋翼计算、航空发动机内流计算、导弹投放、飞机外挂物、水下流体力学、汽车等方面获得广泛应用。这表明计算流体力学在解决工程实际问题方面具有重要的应用价值。下面仅以在汽车领域的应用为例，介绍计算流体力学应用于工程实际中的速度。20世纪80年代初期才开始有计算流体力学应用于汽车领域的论文发经过短短的二十余年，其应用已涉及到汽车车身设计、汽车内部空间的空调与通风、发动机内部的气体流动以及冷却系、汽车液力变矩器、废气涡轮增压器中的压气机和涡轮的叶轮与蜗壳等中的流动现象的研究与计算，同时进一步发展到研究汽车与发动机中传热、燃烧以及预测噪声强度与模具设计等相关的问题。

当着手研究一项计算流体力学课题时，首先需要建立模型，即根据相关专业知识将问题用数学方法表达出来；然后就是如何利用计算流体力学软件，对问题进行求解、分析。整个计算流体力学处理过程大致包括三个部分：前处理，包括几何模型的选取和网格划分；求解器，包括确定计算流体力学方法的控制方程，选择离散方法进行离散，选用数值计算方法，输人相关参数；后处理，包括速度场、压力场、温度场及其它参数的计算机可视化及动画处理等。

由此和计算流体力学在工程实际中的应用可以将计算流体力学

应用的优点大致归纳如下：

可以更细致地分析、研究流体的流动、物质和能量的传递等过程；可以容易地改变实验条件、参数，以获取大量在传统实验中很难得到的信息资料；整个研究、设计所花的时间大大减少；可以方便地用于那些无法实现具体测量的场合，如高温、危险的环境；根据模拟数据，可以全方位的控制过程和优化设计。

计算流体力学应用研究中的关键问题包括：

对应用于各种具体情况的数学模型、对复杂外形的描述以及对计算网格的划分做进一步研究；探索更有效的算法来提高计算精度，并降低计算费用；进一步开展计算流体力学在各方面的应用等。

计算流体力学的应用现状与现代超级计算机相结合的计算流体力学流体流动模拟工具，使计算流体力学所具有的创立新概念、降低设计成本和缩短生产时间的潜力开始发挥作用。当前，计算流体力学工作者的重要任务是发展准确、高效的粘性流计算方法，把计算流体力学应用推向一个更新的应用阶段。 展望及结论:

计算流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将计算流体力学直接用于模拟各种实际流动，解决工业生产中提出来的各种问题。

第一章 流体力学方程及模型方程

1.1流体力学方程

一 可压缩粘性N-S方程

U E F

0 t x y

二维

u v

2

u p uv uxxxy ,F U ,E 2 uv xy v p yy v

E p u u v q E p v u v q Exxxyx xyyyy t t t 1

式中Et e u2 v2 ，单位体积总能量。e cvT，单位体积的内能。

2

xx 2

qx k

u v u v u v u v

， yy 2 ， yx xy x y x y x y y x T T

,qy k

x y

2

上式中 为动力粘性系数（单位Pa/s）， 为体积粘性系数， ' 为第二

32T3/2

粘性系数。一般认为 ' 0。故 。由Sutherland公式 C1可求

T C23出 ，此公式将动力粘性系数 和热传导系数K（单位

W

）与热力学状态参m k

数联系起来，对于给定的气体来说C1，C2为常数，例如对于在中等温度下的空气

而言，C1 1.458 10 6kg/,C2 110.4K。而热传导系数K和动力粘性系数 之间则常用如下普朗特数联系起来Pr

cp K

，式中cp为等压比热，对于大多

数气体来说，比值

cpPr

近似为常值，例如标准状况下空气的Pr 0.72。

状态方程：p RgT其中Rg 或者p 1 e,(e cvT

R

,R 8.3145J/ mol K M

1

RgT) 1

上式均为守恒型方程，将其展开可写成如下原变量形式：

u v u v 0 t x y x y

u u u1 p 2 2u 2u 2v u v 0 t x y x x2 y2 x y v v v1 p 2 v v u v u 0 t y x y y2 x2 x y

u v p 2 2 2p 2p R p p p

v u p 2 2 2 2 2 t y x y Pr x y Cv x y Pr x

22

u 2 v u 2 v u v

式中， 2 2 称为耗散函数。

y x y x x y

2

2

2

二 无粘Euler方程

当Re ，粘性不计，即 0的无粘流动时方程可以简化为： 二维

U E F 0 t x y

v u

2

uv u p uxy ,F U ,E 2

v p yy v uv

E pv qE pu q y x Et t t

三 不可压粘性方程

u v

0 x y

1 原变量 连续方程：divV 0或者

动量方程

u u2 uv p 2u

y x t x

式中 2Laplace算子

v uv v p2

v

y y t x

2

不可压流场中，能量方程可以独立求解。将上述方程分别对y,x求导，可得

2u 2 uv 2v u v

p 2 2 （注：因为是不可压流场所以 0，且

x y y t x y x

2

忽略了二阶以上微分项）

2 涡量－流函数

记入流函数 x,y,z ，并且u

。 ,v

y x

ij

将动量方程分别对y,x求导，相减，消去p。且考虑涡量 V

x y uv

i j v u

x y。可得涡量方程 （ z ），其中

x y V ui vj

2 2 u v V 2 2 2 或

t t x y y x

由涡量定义式可得：

2 2

2 或者 2 这两个表达式就是涡－流函数型二维不可压N-S2 x y方程。

四 一阶拟线性偏微分方程的分类

一阶拟线性偏微分方程组

U U

Ai f式中U u1u2u3 t xi

un Ai为n阶方阵

T

f f1f2f3

i

fn fi为t,xi,ui的函数

i

T

jA j 1,2,3n 为矩阵Ai的特征值即方程组Ai jA I 0的根，则

（1） 若这n个特征值全为复数，方程为纯椭圆型方程。

（2） 若这n个特征值为互不相等且不等于零的实数，则方程为纯双曲型方程。 （3） 若这n个特征值全为零，方程为纯抛物型方程。 （4） 若这n个特征值部分为实数，部分为复数，方程为双曲－椭圆方程或简称

为椭圆型。

（5） 若这n个特征值全为实数，部分为零，方程为双曲－抛物型。由零根数量

的比例来确定方程为双曲型还是抛物型。

1.2 模型方程及数学性质

一． 线性模型方程

1 单向波方程

u u

0 x 定解域： x c 0边界条件为u x，

t x解：u x,t x

ct

t 0

2 热传导方程

u 2u

2 0 其中 为大于零的实数 t x

0 x 定解域： x 边界条件为u x，解：

t 0

为u

x,t

x 2 exp d

4 t

3 线性Burgers方程

u u 2u c 2 其中 为大于零的实数 t x x

0 x 定解域： x 边界条件为u x，

t 0

2

x ct

解为u

x,t d exp 4 t 4 Laplace方程的边值问题

2u 2u u u

0其一般形式为 f x2 y2 x x y y

,y (x,y) 0 f x 为给定函数。 三类边界条件：

（1） 第一类边界条件即Dirichlet问题，u f x,y 。给定了边界 上的函数

值。

（2） 第二类边界条件即Neumann问题，

法向导数值。

u

f x,y 。给定了边界 上的外 n

u

hu f x,y 。混合边界问题。 （3） 第三类边界条件即Robin问题， n

二 非线性Burgers方程

u f 2u

2其中f f u “混合型特征” t x x（1）N-S方程的典型模型方程。 （2）空间一阶导数

f

模拟N-S方程中的非线性对流项。 x

2u

（3）2（二阶导数）模拟N-S方程中的粘性项。

x

x Lt 0

u

设f 定解条件 u 0，t u0其中u0为常数

2 u L，t 0

2

则可以得到定常问题的准确解：

x 1 exp 1 eL L u x u0

x 1 exp 1 eL L

uL 1ReL 0 exp eL

1

准确解有助于验证数值解的合理性及精度。

第二章 偏微分方程数学特性对CFD的影响

2.1偏微分方程的分类（classification）

方法一：Cramer准则（Cramer’s rule） 方法二：特征值法（Eigenvalue method）

双曲型 hyperbolic 抛物型parabolic 椭圆型elliptic 混合型mixed types

2.2偏微分方程的分类

u v v u

a b c d 1 x1 y1 x1 y f1

a u b u c v d v f22222 y x y x

1

abcdf是xyuv的函数。

u

x

v x

u y

v

是确定的。是否存在 y

问题提出：平面上有一已知点P，uv

这样一条线，u,v的导数是不确定的，而且跨越这条线存在间断。为了找到这样的一条线，姑且认为u,v是x,y的连续函数，则其全微分形式为：

u udx dy du x y

vdx vdy dv y x

2

（1）（2）合成下列形式：

u x

a1b1c1d1 u f1 abcd y f

222 2 2 dxdy00 v du 00dxdy x dv

v y

a1b1c1d1

abcd

222 A 2

dxdy00 00dxdy

f1b1c1d1 fbcd

222 B 2

dudy00 dv0dxdy 讨论：

A 0

2

uB

xA

a1c1 a2c2 dy a1d2 a2d1 b1c2 b2c1 dydx b2d2 b2d1 dx

2

2

0

两边同除 dx ，则有：

dy dy

ad ad bc bc b2d2 b2d1 0 a1c1 a2c2 12211221 dxdx dy dy

简化后可以得到：a b c 0

dx dx

2

2

dy b 方程的根为。其判别式：D b2 4ac dx2a当D>0时，方程有两个实根，两条特征线，双曲型。

当D＝0时，方程有一个实根，一条特征线，抛物型。 当D<0时，方程根为复数，无特征线，椭圆型。 和分析几何对应：ax2 bxy cy2 dx ey f 0

b2 4ac 0双曲型。b2 4ac 0抛物型。b2 4ac 0椭圆型。

u uB0

沿特征线不确定，但有界，故

xA0 x则B 0这是一个关于du

dv的常微分方程，称为相容性方程。

2.3特征值法

u

在上节方程组（1）中引入w ，令f1 f2 0。则方程可以写为：

v

a1 a 2c1 w b1

c2 x b2d1 w w w

也可以写为 0K M 0其中K,M为2×2的矩

d2 y x y

w w

N 0 x y

N K 1M分析N的特征值

阵。进一步写的简单些可以写为

确定系统的分类。

例：无旋，二维，无粘，稳定小扰动可压缩气体的方程，

2

1 M

u' v'

0 x y

，判断方程的类型，两种方法都可以。

u' v'

0 y x

2

1 M u'

解：特征值法 令w 则有

v' 00 w 01 w

0 1 x 10 y

1

2

于是可得N K 1M 1 M

01

0 01 02 1 M 10 1 0 1

1

0

2

1 M

那么就有N I 0 （其中I为单位矩阵）即是 2

解得 M 1双曲型，当M 1椭圆型。

2.4不同偏微分方程的一般性质

1双曲型

2抛物型

3椭圆型

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