数学归纳法在竞赛中的应用

言

在现在数学中，竞赛已经是必不可少的一部分。竞赛问题源于课本，却远远高于课本。数学竞赛是才智的角逐，因而数学竞赛试题应该有最大的灵活性，让学生的才智充分发挥出来。学生应该自己去体会数学认知的过程，既自己去探索，尝试，通过管擦，发现，归纳，猜想，最后给出逻辑证明。因此，归纳法是贯穿竞赛中的核心思想，发现规律，归纳规律，猜想结论，证明结论。而在竞赛中，同学们在处理一些竞赛题中，题目很简单，看起来就是普通的数学题，但是就往往不知道从何入题。当我们深刻分析某些题目时候，它们之间好像存在某些规律。这时我们就可以采用归纳法来验证我们的猜想。归纳是一种推理，推理过程是～个思维过程。归纳作为一个思维的特殊形式或过程有其特点，与同样作为一种思维过程的演绎相对。数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在利用数学归

纳法时, 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值, 再用数学归纳法给出猜想的证明. 因此, 数学归纳法一般是用来证明行列式等式. 除此以外, 如果对于比较复杂的行列式, 且与自然数有关, 我们可以先求几个特殊的, 然后通过特殊寻找一般的规律, 找出通式。在用数学归纳法证明。

在前人的研究中，只给出了归纳法的概念，证明过程，但是在竞赛中的应用并没有过多的涉及。这方面应该是一个欠缺。因此，本人的研究有十分重要的价值。

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正文

在竞赛中，常用归纳法有，第一归纳法，第二归纳法，和连续归纳法。下面我们就针对这三种归纳法在竞赛中的应用进行讨论。 (一) 第一数学归纳法

设有一个与自然数n 有关的命题P (n) , 如果满足: (1) 当n = (∈N ,≥1) 时, P ( n)成立;

(2) 假设n = k (k∈N , k≥) 时, P (n)成立, 则n = k + 1 时 P(n)也成立;

那么命题P (n) 对于n ≥n0 的所有自然数n都成立。 为了证明这个定理, 首先引进自然数序数理 论中匹阿诺公理第四条:

设自然数集合N 的一个子集M, 满足条件: 1 1 ∈M; ○

2 若a ∈M, 则a 的直接后继a′∈M; ○

那么, M就含有所有自然数, 即M= N 下面我们对数学归纳法原理进行证明。 证明: 设P (n) 是依赖于自然数n 的一个命

题, M是使命题P (n) 成立的那些自然数的集

合。于是由数学归纳法条件(1) , n = 时, P ( n) 成立, 故∈M, ( ≥1)

由数学归纳法条件(2) ,假设n=K时P(n) 成立, 推得n = k + 1 时, P(n)成立, 故知一旦K∈M, K的直接后经为k′∈M。

由此可知, 使命题P (n) 成立的自然数集合M满足匹诺公理四的两个条件, 所以 例：

1999年全国初中数学竞赛最后一道题：有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法也可以是乘法)．每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次酶运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：1481030 (1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到÷证明：(1)易证． (2) 1

一2；

32-23-43-23-43-2??(不断乘以

2

2，再如2)3-43-1+-3+-1+

+-2.

观察结论+学归纳法证明：

(1) 当n=1时，

-2式，不妨猜想：也可以得到-2(nN).以下用数

+-2=16.168631（逆推法)所以得到16．

+

-2. 即(逆推)

-43+-1-2

++

-2-2?? -33

-13

-+

-

(2) 假设n=k时，可以得到

1+-33

+

-23

-13-2-43

那么，43

由假设知，可以得3-2，，故当n=+1时，亦可得到+-2

由(1)，(2)知，对予自然数n任意取值，都可以从l开始交错地做加法或乘法得到：+-2 ，从而猜想得到证明． 结论：

第一归纳法，是最常用的归纳法。由本题可得，在竞赛中，适合处理有明确规律的问题。先求出特殊的几项，然后由特殊总结出规律。在进行证明。如数列问题，不等式问题，一些有明显规律的问题，有结论的问题。

运用第一归纳法的常用技巧

证:若P(k)成立，则P(k+I)成立”这一步骤时．必须用到P(k)成立这个归纳 假设，是完成数学归纳法的难点所在．也是关键的一步，同学们运用数学归纳法证题的困难往往也是出自这第二步。就这类题介绍以下一些常用的技巧和方法。

（-）加项法

如果命题为一串等式之和。设P(k)成立．赛证P(n1)成立时．往往采用在 等式两边加项的方法． （二)相减法

对于命艇为一串和式．即“=+ +……. ”。在第二步的证明中，除采用加项法外．有时可用两个相邻命题的方法。即证明-= (三)添因式式法

如果命题为一串因式之积的形式。可以在假设n=k时成立的等式两边都添 因式的方法来证明n=k+l时等式成立- （四）列项法

为了证明n=k+1时等式成立，可设法把n=k+1时命题形式分裂为若干项， 再利用归纳假设。

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(五)放缩法

有关不等式的证明间题，常用放缩法达到证明的目的．这也是竞赛中 常用的证题技巧。 (六)辅助公式法

对于有些数学命题的证明，有时要先证明一个辅助等式或辅助不等式。再 以辅助公式为工具，达到证题的目的。

(二) 第二数学归纳法

设p( n) 是一个含有自然数n 的命题, 如果： （1) P( 1) 成立;

（2) 设P(m) 对于所有适合m

设M是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。

这个原理即是说自然数集N 的任一非空子集M都有最小数。

这一命题的正确性, 似乎是十分明确的, 而且容易为人们所接受 而毫不怀疑, 以致可以把它看成公理, 称为最小数原理。 证明：

假设P( n) 不对所有自然数成立, 那么使得P( n) 不成立的

一切自然数的集合A 不是空集, 依最小数原理, A 中必含有最小数a, 依1) , P( 1) 成立, 所以, 1%A, 即a>1, 这样, 对于所有适合1≤m

分析:这个行列式如果直接计算很困难, 也很难发现什么规律. 但是如果先从特殊情况入手

就容易发现规律. 当n = 3 时,

=

4

=

==2

这里利用了范德蒙行列式的计算公式. 当n = 4 时:

==

==

下面用第二数学归纳法证明.

证明 当n = 3 时, 已证, 原等式成立.

假设3 n k( k3) 时, 原等式成立, 下证n = k+ 1 时也成立

=

将行列式的第k - 1 行加到第k+ 1 行, 再将第k 行的- 2cos加到第k + 1 行. 然后将第k - 2 行加到第k 行, 将第k- 1 行的-2cos 倍加到第k 行, 依此类推, 得到;

=

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由假设得：

)

从而有：

=

?()=

)

)

所以猜想成立。

第二数学归纳法，与第一数学归纳法有所不同，由第二归纳法的特殊行知。第二种归纳法更有利于证明不等式和题目中有明显范围成立的问题。又从本题可知，在处理问题中，并不是所有问题开始就可以使用归纳法，而是在中间的某个重要环节使用。 (三)连续归纳法

定理1.设P(x)是定义在（a,b）内的命题函数，如果： 1 有某个实数○（a,b）,使对一切满足a（

2 若对一切满足a

对一切满足a

>0,使P(x)

那么，对一切x(a,b)有P（x）成立。

定理2. 设P(x)是定义在（a,b）内的命题函数，如果：

1 有某个（,）（a,b）,使对一切x（,）有P(x)成立； ○

2 若对一切x○（a,b）,有P（x）成立，则有<,>, 使对一切x（,）（a,b）有P(x)成立；

那么，对一切x(a,b)有P（x）成立。

例：如果对任意x , y 有| f ( x ) - f ( y) | K , 其中K 是正的常数, 则函数f ( x ) 是常数

证明： 任取< , 只要证f () = f () . 为此作函数

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F(x)=

则任意x , y 有| F ( x ) - F( y ) | K 反证法, 设| f () - f () | = M> 0 构造命题P ( x ) : | F ( x ) - F () |

，

于是 ○1--- 取= , 则x < 时, P ( x ) 显然成立. ○2---- 假设对一切x < y 有P ( x ) 成立, 由于| F ( x ) - F ( y ) | K 时,

, 所以0

K | x- y | , 所以当

y

0,于是存在> 0, 使得对一切x( y-, y+ )

---------○3

有| F ( x ) - F () |

又由归纳假设, 对一切z < y , 有| F ( z ) - F () | --------------- ○4

此式两端令z 趋于y 得| F ( y ) - F () | -------------------○5

由○3 与○5可知, 当x [ y , y+] 时有| F ( x ) - F() |

=

亦即对一切x < y+有P( x ) 成立.

由连续归纳法, P( x )对一切x 成立。取x= 时得| f () - f () |与反证法假设矛盾。

例3

设f(x)在(a,b)上右倒数存在,求证;

,

1 若○+(x)>0,则f(x)在(a,b)上严格增加 2若○+(x)0, 则f(x)在(a,b)上一定是常数 证明:

1.只要证明f(x) f(x)在(a,b)上严格增,由连续性可得f(x)在(a,b)上严格增加，

反证法，若不存在,(a,b),<,使得f()f(),构造命题P（x）：

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f(x)> f(),

1,由于□

+()>0，既

(,

+

)时有

>0，所以存在

>0,于是f(x)> f()。

取=+,则P（x）对x(,)成立。

2．若P（x）对x(,)成立(如果y>b,则命题成立，因此设yb),我们断言f(y)必为f(x)在(,y)上的最大值。事实上，若存在(,) 使f()为f(x)在(,y)上的最大值，则由于x(,

)时，

+()>0，可得存在

>0，当

>0,所以f(x)> f(),这与f()最大矛盾，

于是f(y)>f(,又+()>0，故存在>0，当x(,)时，f(x)> f(y)> f(,所以P（x）对x(,)成立。由定理1，P（x）对一切 (,)成立，因为(,)，所以f(>f()与f()f(矛盾。 （2）只要正f(x)在(a,b)上为常数在由连续性可得f(x)在（a,b）上为常数，反证法，若不然，存在，(,),f(v 设=M>0.构造命题： P（x）：1 由于

+()=

.

=0，所以存在

,既P（x）对x(,

)成立.

+()=

-------○1 ，此式两端

=0,则

当x(,

)时，

2 若P（x）对一切满足0,使当x(,

)时，有

又由归纳假设，对一切

2两式可知当x(,由○1，○

2 ----------------○

)时，有=,

即对一切

)成立，取x=时得，

，与反

由定理1，P(x)对一切x(

正法假设相矛盾。

连续归纳法的理论基础是实数连续性定理。作为一种证明方法，实数的连续归

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纳法同自然数的数学归纳法一样是极为有用的。使用连续归纳法可以反复使用同一个模式证明多个命题。连续归纳法适合解决竞赛中极限，积分等连续区间问题

常见的错误分析；

1． 忽视对起始命题的验算

一般说来，学生应用递推根据由命题P(k)成立，推导命题P(k+1)是一个难点，往往比较重视，但对验算起始命题却易忽视． 2曲解归纳定义

在数学归纳法证明中，常见的曲解定义错误表现有两种，其一是认为归纳奠基步骤n=中的“”就是1；其二是对用和式表示的命题，认为当n=k+1时就是把n=k时的和式再加上一项． 3循环论证的错误

在同一证明过程中，把有待确定其真实性的命题结论作为证明的论据使用，就犯了循环论证的错误，这种错误在使用数学归纳法验证递推关系式时经常见到．

4对归纳步骤形式的套用

在数学归纳法证明中常见在形式上套用其格式和步骤，而实质上并没有使用数学归纳法的原理，最典型的表现是在证明n=k+1也成立时，不使用归纳假设的条件或假设条件不充分．

结束语

总之,数学归纳法的应用比较广泛,可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验。证归纳法，作为竞赛中的一种重要方法，我们必须熟练掌握其证明问题的核心思想及步骤，发现规律，归纳规律，猜想结论，证明结论，由特殊性来扩张到一般性。但是，要谨记，归纳法只是一种方法，在处理问题中，不可盲目使用

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