二次型论文

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数理论知识已被广泛利用，而二次型内容属于线性代数重要的综合性知识部分，也被广泛重视。

线性代数二次型理论在当今社会的多个领域中都有广泛的实际应用，比如微分学研究很多函数线性近似问题。同时，关于二次型的相关问题也是多数院校学生学习和研究生考试的重点和难点部分，它的内容体现了线性代数教材的综合性知识应用。例如，在解析几何中，为了能让学生更清楚地分析理解曲线和二次曲线的几何性质，常常会把二次曲线和二次型曲面的一般形式转化为标准形，这就运用到二次型化标准形的方法。从整体来看，二次型理论在物理学、力学、数理统、等领域都有重要的实际应用。所以，理解并学会应用二次型知识是非常有必要的。

2 二次型的简介

2.1 二次型的发展

自1748年瑞士数学家欧拉讨论了三元二次型的化简问题后，各地掀起了研究二次型理论的浪潮。当然，中国也不甘示弱。

可以说，柯召是中国二次型研究的开拓者，30年前，柯召在表二次型为线性型平方和的问题方面，在二次型表为不可分解型之和以及二次型的等价分类等问题上，作了一系列重要工作。

１．表平方和问题。 设

是一个整系数正定二次型，Rｎ表示最小的i，j＝１正整数r n，使得对一个任给的n元二次型f，存在r n个线性型

这里Ｑ表示有理数域。寻求Rｎ的工作始于E.G.H兰道（Landau）和莫德尔。1937年，莫德尔证明了Rｎ≤n+3。1937年，柯召对Rｎ≤n+3给出了一个简洁的证明，并于1938年证明了Rｎ＝n+3，从而彻底解决了这一问题。这是他在二次型方面的第一个重要工作。

1940年，他还证明了对于任给的非定n元么模二次型f，存在εｉ＝±1和线性型Li，使得

2．不可分问题。

设f是一个整系数正定二次型，如果f不能表成二个整系数非负二次型的和，我们称f是n元不可分解型。1937年，莫德尔证明了对于n≤5，不存在不可分解型，而在n＝8时有这样的型存在。柯召和爱尔特希证明了n≥12时，除开n＝13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使这一问题得以基本解决。1958年，柯召证明了不存在

13元不可分解型。

这些结果，至今仍具有重要的学术价值。1988年，在日本召开的国际信息论会议上，两位获奖人中的一位――美国数学家N.J.A斯托勒（Stoane），对一位中国代表谈到柯召30年代有关二次型的论文时说：“我很惊异中国人那么早就已作出了巨大的成就。”斯托勒还请这位代表带信向柯召致意：“我拜读了您1938年关于二次型的论文，棒极了。”

2.2 二次型的特点

二次型内容是线性代数的重要内容之一。通过学习二次型章节内容，使学生掌握必要的基础理论和常用的思维方法等，使学生初步受到用代数方法解决几何和物理等实际问题的能力训练，逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、 逻辑推理能力、 空间想象能力和自学能力。

二次型的特点就是内容抽象，理论知识偏多，需要理解的知识及应用相结合的。因此，在学习二次型知识的过程中，对所涉及的概念、性质及定理要充分理解，同时很多东西也需要记忆，尤其要注意一些基本定义、基本定理之间的相互联系、相互渗透的，并且其知识需要反复揣摩的。比如二次型的标准形、正定二次型等知识与前面章节的联系，只有弄清这些关系，才能对所涉及的概念通过不断重复而达到加深印象的目的，也能对所给问题作进一步深入的理解。

作为线性代数的中心内容，二次型包括二次型及矩阵表示、二次型的标准型、化二次型为标准形、正定二次型四方面内容。二次型与正定二次型是其教学重点及难点。需要掌握二次型、正定二次型的概念，了解实二次型的标准形以及二次型化为标准形的方法。通过分析教材可知学习二次型需要充分利用行列式、矩阵、向量组、线性方程组等知识。

3 二次型及其矩阵表示

3.1.1 二次型基本内容

,x,,x12n的二次齐定义1.1 设p是一个数域，一个系数在数域p中的n个变量x次多项式的方式如下

f?x1,x2,,xn?=a11x12?2a12x1x2?2a13x1x3??2a1nx1xn

2ax?2axx??2axx22223232n2n +

则称该形式为数域p上的n元二次型，或简称二次型[7]. 注意 (1) 为了计算与讨论方便，上式 (2) 上式也可以这样写

??x1,x2,,xn?=?aiixi2?2i=1nxij(i?j)的系数写成

2aij.

1?i?j?n?aijxixj

,x,,x;y,y,,y12n12n定义1.2 设x是两组数，则系数在数域p上的关系式为

?x1?c11y1?c12y2??x?cy?cy??2211222???x?cn1y1?cn2y2? ?n?c1nyn?c2nyn?cnnyn

称为由 式

x,x,,x12ncij?0到

y,y,,y12n的一组线性变换，简称线性替换[8].

，则称为非退化线性替换.

3.1.2 二次型矩阵表示

(1) 设

aai?j,xx?xjxij?ji,i从ij，可以有

f?x1x2xn?=a11x12?a12x1x2?a13x1x3??a1nx1xn

2?axx??axaxx??axx212122223232n2n

?

2?axx?axx?axx??axn11nn2n2n33nnnn

此中，

aij???aijxixji?1j?1nn (1)

,n?为实数,且

aij?aji,?i,j?1,2,.

把上式的系数写成一个n?n的矩阵

?a11?a21?A????an1a12a22an2a1n??a2n???ann?

则它称为(1)的二次型矩阵.

?x1???xX??2??????xn?，会有 (2) 让

?a11a12?aa22TXAX??x1,x2,,xn??21???an1an2?n?ax??1jj??j=1?n??ax??2jj???x1,x2,,xn??j=1????n???ax?njj???j=1??x1?a1jxj?x2?a2jxj?j?1j?1nnna1n??x1????a2n??x2???????an2??xn??xn?anjxjj?1nnn?n????xi?aijxj????aijxixji?1?j?1?i?1j?1 因而就有

.

??x1,x2,,xn??XTAX.xx?则称作?12Tx?XAX?n为二次型矩阵表达式，并且矩阵A称为实对称矩阵，而

A称为二次型的系数矩阵, 简称为二次型的矩阵[9]

二次型矩阵A的秩称为二次型的秩.

xx?显然，二次型?12Tx?XAX?n 与实对称矩阵A是相对应的.

T 注意 (1) 二次型矩阵一般都是对称矩阵，则有A?A.

(2) 二次型与其矩阵是互相唯一确定的，即

TT 当XAX=XBX同时A?A,B?B,则A=B.

TTT?x,x,,x?XTX??x,x,,x12n12n (3) 在中，二次型 完全是由A决定

对称矩

阵的.

3.1.3 合同矩阵

定义1.3 矩阵A,B在数域p上n?n范围内是合同的，假设矩阵C在数域p上n?n内是可逆的，让B?C?AC.

T特别注意 (1) 合同具有反身性：A?EAE

TTA?CAC和A=C21211AC11 ，则有 传递性：2

TA2??C2C2?A?C1C2?

' 对称性：

B?CTAC,C?0?A??C?1?B?C?1?

(2) 合同矩阵有一样的秩

B?CTAC,C可逆?秩?B??秩?A?

(3) 与对称矩阵合同的矩阵也是对称的

AT?A,B?CTAC,C可逆?BT??CTAC??CTATC?CTAC?BT

3.2 正定二次型

定义3.1 如果在二次型

??x1,x2,,xn?

中，对不都为零的任意实数

c,c,c12,n都

有

?cc,2,,c?0??1n，称作为正定二次型，并将正定二次型矩阵叫做正定矩阵；若是对

?cc,,,c?0?,c,cn12,n都有?12不都为零的任意实数c，则f称作为负定二次型，同时

对称矩阵A是负定的。

4 结 语

随着人类社会和科学技术的快速发展,二次型已被普遍应用于自然科学、环境保护、工程技术等多个领域。尤其是在市场经济快速发展的社会,人们在二次型实际应用中更是获得了较大的进步,使人可以将主观决策经过客观规律加以改进,使之获得更大的经济效益。因此，二次型知识是非常重要的。

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