2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

1．函数的定义域

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤

①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R.

④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π??

⑤y＝tan x的定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.

??⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 2．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.

4ac－b

②y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?，＋∞?；当a<0时，值域为

?4a?

2

?－∞，4ac－b?.

4a??

2

2

k③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．

x④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R. ⑥y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． ⑦y＝tan x的值域是R. 3．函数解析式的求法

(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．

(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，

再求系数．

1?

(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f??x?或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．

(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [难点正本 疑点清源]

1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．

2．(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围． (2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域． (3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．

1．(课本改编题)函数y＝x＋1＋

1

的定义域为____________． 2－x

答案 [－1,2)∪(2，＋∞)

??x＋1≥0解析 ?，∴x≥－1且x≠2.

?2－x≠0?

1

2．(2011·安徽，文13)函数y＝的定义域是________．

6－x－x2

答案 {x|－3

解析 要使函数有意义，只需6－x－x2>0，∴x2＋x－6<0， ∴－3

3．(课本改编题)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为__________． 答案 (0，＋∞)

解析 由3x>0知3x＋1>1.

又f(x)在(0，＋∞)为增函数且f(1)＝0，

∴f(x)＝log2(3x＋1)>0.

2

11＋x?4．(课本改编题)已知f??x?＝1－x2，则f(x)＝__________.

x2＋1

答案 2 (x≠0)

x－111

解析 令＝t，则x＝且t≠0，

xt1?21＋??t?t2＋1

∴f(t)＝＝，

1?2t2－1?1－?t?x2＋1

即f(x)＝2(x≠0)．

x－1

题型一 求函数的定义域

3x2

例1 (1)(2011·徐州模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域为__________．

1－xln?x＋1?

(2)(2011·聊城模拟)函数y＝的定义域为__________．

－x2－3x＋4

思维启迪：定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合．注意对数、根式和分式．

1

－，1? (2)(－1,1) 答案 (1)??3???1－x>01

解析 (1)由?，得－

3?3x＋1>0?

??x＋1>0

(2)由?2，得－1

?－x－3x＋4>0?

探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0；

④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．

(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．

1

(1)(2011·江西，理3)若f(x)＝，则f(x)的定义域为 ( )

1

log?2x＋1?2

1?－1，0? ?－1，＋∞? －，0? A.? B. C.D．(0，＋∞) ?2??2??2?答案 A

11解析 要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝log1，

22

1

∴0<2x＋1<1，∴－

2x－4

(2)若函数f(x)＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．

mx＋4mx＋330，? 答案 ??4?解析 f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立． ①当m＝0时，符合条件．

②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×3<0，

3

即m(4m－3)<0，∴0

30，?. 综上所述，m的取值范围是??4?

题型二 抽象函数的定义域

例2 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域． 思维启迪：先求f(x)的定义域，再求f(log2x)的定义域． 解 ∵f(2x)的定义域是[－1,1]，

1?1

∴≤2x≤2，即y＝f(x)的定义域是??2，2?， 21

由≤log2x≤2?2≤x≤4. 2

∴f(log2x)的定义域是[2，4]．

探究提高 已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]． 已知f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x2)的定义域；

(2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域． 解 ∵f(x)的定义域为[0,4]， (1)有0≤x2≤4，∴－2≤x≤2. 故f(x2)的定义域为[－2,2]．

?0≤x＋1≤4，?(2)有?∴1≤x≤3.

?0≤x－1≤4，?

故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．

点评 如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合． 题型三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x (x∈[0,3])； x－3(2)y＝；

x＋1(3)y＝x－1－2x； (4)y＝log3x＋logx3－1.

思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)可用配方法；(2)用分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)用基本不等式求解． 解 (1)(配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15， 即函数y＝x2＋2x (x∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法) x－3x＋1－44y＝＝＝1－. x＋1x＋1x＋144因为≠0，所以1－≠1，

x＋1x＋1即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．

(3)方法一 (换元法)

1－t2

令1－2x＝t，则t≥0且x＝，

2

1－t21

于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，

22

1?1?

由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是?y|y≤2?.

2??方法二 (单调性法)

1?11

容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以y≤f??2?＝2，2

1??

即函数的值域是?y|y≤2?.

??(4)(基本不等式法)

函数定义域为{x|x∈R，x>0，且x≠1}． 当x>1时，log3x>0， 1

于是y＝log3x＋－1≥2log3x

1log3x·－1＝1；

log3x

当0

11

y＝log3x＋－1＝－??－log3x?＋?－logx??－1≤－2－1＝－3.

log3x??3??故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．

探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解． 求下列函数的值域： x2－x

(1)y＝2； (2)y＝2x－1－13－4x.

x－x＋1解 (1)方法一 (配方法)

1

∵y＝1－2，

x－x＋1

133x－?2＋≥， 又x2－x＋1＝??2?44141

∴0<2≤，∴－≤y<1.

3x－x＋131

－，1?. ∴函数的值域为??3?方法二 (判别式法)

x2－x

由y＝2，x∈R，

x－x＋1得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1时，x∈?，∴y≠1.

又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，

1

解得－≤y≤1.

3

11

－，1?. 综上得－≤y<1.∴函数的值域为??3?3(2)方法一 (换元法)：设13－4x＝t，

13－t2

则t≥0，x＝，

4

13－t2

于是f(x)＝g(t)＝2·－1－t

4

1111

＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，

222显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，

11

所以g(t)≤g(0)＝，

2

11－∞，?. 因此原函数的值域是?2??

13??

方法二 (单调性法)：函数定义域是?x|x≤4?，

??当自变量x增大时，2x－1增大，13－4x减小， 所以2x－1－13－4x增大，

因此函数f(x)＝2x－1－13－4x在其定义域上是一个单调递增函数， 13?1113

所以当x＝时，函数取得最大值f??4?＝2， 4

11－∞，?. 故原函数的值域是?2??题型四 求函数的解析式 11

x＋?＝x2＋2，求f(x)的解析式； 例4 (1)已知f??x?x2?

(2)已知f??x＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

1?(4)已知f(x)满足2f(x)＋f??x?＝3x，求f(x)的解析式．

11

解 (1)令x＋＝t，则t2＝x2＋2＋2≥4.

xx

1

∴t≥2或t≤－2且x2＋2＝t2－2，

x∴f(t)＝t2－2，

即f(x)＝x2－2 (x≥2或x≤－2)．

22(2)令＋1＝t，由于x>0，∴t>1且x＝，

xt－1

2

∴f(t)＝lg ，

t－12

即f(x)＝lg (x>1)．

x－1(3)设f(x)＝kx＋b，

∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b] ＝kx＋5k＋b＝2x＋17. ?k＝2?k＝2??∴?，即?. ??5k＋b＝17b＝7??

∴f(x)＝2x＋7.

1??1?＋f(x)＝3. (4)∵2f(x)＋f?＝3x，∴2f?x??x?x1

∴f(x)＝2x－ (x≠0)．

x探究提高 函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1?(4)方程思想：已知关于f(x)与f??x?或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

(2011·武汉模拟)给出下列两个条件：

(1)f(x＋1)＝x＋2x；

(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式． 解 (1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2. 则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1 (x≥1)．

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，

∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ???4a＝4?a＝1∴?，∴?，∴f(x)＝x2－x＋3. ?4a＋2b＝2?b＝－1??

1．函数问题首先要考虑定义域

试题：(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域． 学生解答展示

审题视角 (1)f(x)的定义域；(2)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域． 规范解答

解 ∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，

要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9， ∴1≤x≤3，[3分]

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．[4分] 又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[6分] ∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，[8分]

∴ymax＝(1＋3)2－3＝13，ymin＝(0＋3)2－3＝6.[10分] ∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[12分]

批阅笔记 (1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识． (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大． (3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.

方法与技巧

1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．

求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．

3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件． 失误与防范

1．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用． 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．

2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．

课时规范训练

A组 专项基础训练题组

一、选择题

1．(2011·烟台模拟)函数y＝

1

＋lg(2x－1)的定义域是 ( ) 3x－2

2

，＋∞? A.??3?

1

，＋∞? B.??2?

2

，＋∞? C.??3?

12?

D.??2，3?

答案 C

??3x－2>02解析 ?，得x>. 3?2x－1>0?

2．(2011·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝等于

1

的定义域为N，则M∩N2－x

( )

A．{x|x>－3} B．{x|－3

D．{x|－3

答案 B

解析 M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}． ∴M∩N＝{x|－3

2

3．(2011·北京丰台模拟)已知f??1－x?1＋x??

?＝1－x1＋x2，则f(x)的解析式为

A.x1＋x2 B．－2x

1＋x2 C.2x1＋x2

D．－x

1＋x2 答案 C

解析 方法一 (特殊值法)：

对于f??1－x?1＋x??1－x2?＝

1＋x2，令x＝0， 代入其中有f(1)＝1，经检验只有选项C才满足f(1)＝1. 方法二 (换元法)：

令t＝1－x1－1＋x，由此得x＝t1＋t

，

1－??1－t所以f(t)＝?＋t??21?＝2t

，

1＋??1－t?1＋t???

21＋t2从而f(x)的解析式为f(x)＝2x

1＋x2. 4．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是 A．f(x)＝x2＋a

B．f(x)＝ax2＋1 C．f(x)＝ax2＋x＋1

D．f(x)＝x2＋ax＋1

答案 C

解析 当a＝0时，f(x)＝x＋1为一次函数． 二、填空题

5．(2011·浙江五校联考)函数y＝log2?4－x?的定义域是__________． 答案 (－∞，3]

( )

( )

???4－x>0?4－x>0?解析 由，即?，得x≤3. ?log2?4－x?≥0???4－x≥1

1?1

，3，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________． 6．若函数y＝f(x)的值域是??2?f?x?

102，? 答案 ?3??

11

解析 F(x)＝f(x)＋≥2，当且仅当f(x)＝，

f?x?f?x?即f(x)＝1时取等号．

115

又当f(x)＝时，F(x)＝＋2＝. 222

110

当f(x)＝3时，F(x)＝3＋＝. 33102，?. ∴F(x)的值域为?3??

7．(2011·上海，文14)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在[0,3]上的值域为________． 答案 [－2,7]

解析 设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]． ∵函数g(x)是以1为周期的函数，

∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]， 当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]． 综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．

8．若函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域是__________．

1?

答案 ??2，2?

1

解析 由－1≤log2x≤1得log2≤log2x≤log22，

2

1

由y＝log2x在(0，＋∞)上递增，得≤x≤2.

2三、解答题

9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数y＝f(x2－2)的值域．

解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又f(0)＝0， ∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx. 又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1. ∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，

1a＝?2a＋b＝b＋12?

∴?，解得.

1?a＋b＝1?

b＝2

11

∴f(x)＝x2＋x.

22

?

??

11

(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)

22

1123?21

x－－， ＝(x4－3x2＋2)＝?2?822?31

当x2＝时，y取最小值－. 28

1

－，＋∞?. ∴函数y＝f(x2－2)的值域为??8?

B组 专项能力提升题组

一、选择题 1．设f(x)＝lg

2＋xx??2?，则f??2?＋f?x?的定义域为 2－x

( )

A．(－4,0)∪(0,4) 答案 B

B．(－4，－1)∪(1,4) D．(－4，－2)∪(2,4)

C．(－2，－1)∪(1,2)

2＋x

解析 ∵>0，∴－2

2－xx2

∴－2<<2且－2<<2，

2x

2

取x＝1，则＝2不合题意(舍去)，

x

故排除A，取x＝2，满足题意，排除C、D，故选B.

2??x，|x|≥1，

2．设f(x)＝?g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )

?x，|x|<1，?

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．[0，＋∞) 答案 C

解析 f(x)的图象如图．

B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[1，＋∞)

g(x)是二次函数，且f(g(x))的值域是[0，＋∞)，∴g(x)的值域是[0，＋∞)．

?a，?a≤b??1

3．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝?，则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x

2??b，?a>b?

的值域为

( )

A．(－∞，0] 2

log2，＋∞? C.??3?答案 A

2

log2，0? B.??3?D．R

1

解析 f(x)＝log2*log2x

3x－2

?＝?2

logx ?

log2

2

1

?x≥1?3x－2

.

1

∴当x≥1时，≤1，∴f(x)≤0.

3x－2

22

当

f?x2?4．已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么g(x)＝的定义域是__________________．

1＋lg?x＋1?

99

答案 (－1，－)∪(－，2] 10100≤x≤2??

解析 由?x＋1>0

??1＋lg?x＋1?≠0

2

9

，得－1

10

99

即定义域为(－1，－)∪(－，2]．

1010

m

5．已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则的值为________．

M

2答案 2??1－x≥0，

解析 由?得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，

?x＋3≥0，?

y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2?1－x??x＋3?

＝4＋2－?x＋1?2＋4，所以当x＝－1时，y取最大值M＝22；当x＝－3或1时，y取最

m22

小值m＝2，所以＝.故填. M22

?x＋5??x＋2?

6．设x≥2，则函数y＝的最小值是________．

x＋1

28答案

3

[?x＋1?＋4][?x＋1?＋1]t2＋5t＋44

解析 y＝，设x＋1＝t，则t≥3，那么y＝＝t＋＋5，在区

ttx＋1

28

间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t＝3时，函数取得最小值即ymin＝.

3三、解答题

1

7．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a、b的值．

211

解 ∵f(x)＝(x－1)2＋a－. 22∴其对称轴为x＝1，即[1，b]为f(x)的单调递增区间．

1

∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1①

21

f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b②

2

3??a＝2，

又b>1，由①②解得?

??b＝3.3

∴a、b的值分别为、3.

2

8．已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6 (a∈R)． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域． 解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0， 3

∴2a2－a－3＝0，∴a＝－1或a＝. 2

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝8(2a2－a－3)≤0.

3

∴－1≤a≤.∴a＋3>0，

2∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2

3317

a＋?2＋ ?a∈?－1，??. ＝－?2???2?4??

3

－1，?上单调递减， ∵二次函数g(a)在?2??

3?19∴g?≤g(a)≤g(－1)．即－≤g(a)≤4. ?2?4

19

－，4?. ∴g(a)的值域为??4?

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