历年考研数学真题及答案(2003-2013)

历年考研数学一真题2003-2013

（经典珍藏版）

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x2)x?0 = . (2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 . (3)设?x2??ancosnx(???x??),则a2= .

n?0(4)从R2的基α?1??0??,α?1??1??1?1??2????1??到基β1???1??,β2???2??的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量

(X,Y)的概率密度为

f(x,y?)

6x0

0?x?y?1其它,则

P{X?Y?1}? .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如

图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有

(A)an?bn对任意n成立

(B)bn?cn对任意n成立

(C)极限limn??ancn不存在

(D)极限limn??bncn不存在 (3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,则 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点

(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关

(B)当r?s时,向量组II必线性相

关

(C)当r?s时,向量组I必线性相关 (D)当r?s时,向量组I必线性相

关 (5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题: ① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B) ② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B)

1

④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (C)②④

(D)③④

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则 (A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1)

(C)Y~F(n,1)

(D)Y~F(1,n)

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.

(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分) 将函数f(x)?arctan1?2x1?2x展开成?x的幂级数,并求级数?(?1)n的和.

n?02n?1

五 、(本题满分10分)

2

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证:

(1)??Lxesinydy?ye?sinxdx????sinysinxLxedy?yedx. (2)??Lxesinydy?ye?sinxdx?2?2.

六 、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)

设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.

(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdy2?(y?sinx)(dxdy)3?0变换为y?y(x)满足的

微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.

3

八 、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零,

???f(x2?y2?z2)dv??f(x2?y2)d?F(t)??(t)(t)??f(x2?y2)d?,G(t)?D2,

D(t)?t?1f(x)dx其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.

(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).

九 、(本题满分10分)

?322?设矩阵A???232??010?,P??101?,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中??????223???001??A*为A的伴随矩阵,E为

3阶单位矩阵.

4

箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:

ax?2by?3c?0,l2:

bx?2cy?3a?0,l3:

cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

a?b?c?0.

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙

十二 、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为f(x)?

2e?2(x??0x??x?0

5

)

其中??0是未知参数. 从总体

X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记

??min(X,X,?,X). ?12n(1)求总体X的分布函数F(x).(2)求统计量??的分布函数F??(x).(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.

6

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分?Lxdy?2ydx的值

为__________.

(4)欧拉方程x2d2ydx?4xdy2dx?2y?0(x?0)的通解为__________ .

?210?(5)设矩阵A???120?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是?001????单位矩阵,则B=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x?0?时的无穷小量???x0cost2dt,???x2x0tantdt,???30sintdt,使排在后面的是

前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)?,?,? (B)?,?,? (C)?,?,?

(D)?,?,?

(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得

(A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少

(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)

(9)设??an为正项级数,下列结论中正确的是

n?1

(A)若?limn??nan=0,则级数?an收敛 n?1(B)若存在非零常数?,使得?limn??nan??,则级数?an发散 n?1(C)若级数??an收敛,则limn2an?0

n?1n??(D)若级数??an发散, 则存在非零常数?,使得limnan?? n?1n??(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?yf(x)dx,则F?(2)等于 (A)2f(2)

(B)f(2) (C)?f(2)

(D) 0

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?(A)??100?

(B)????101?

?101?????001???010??011?(C)??100?

(D)??011??100??? ????001??(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量

X服从正态分布

N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足

P{X?u?}??,若P{X?x}??,则x等于

(A)u?

(B)u21??

2(C)u1??

(D) u1??

27

(14)设随机变量X,X2?0. 令Y?1n1,X2,?n(n?1)独立同分布,且其方差为?n?Xi,

i?1则

(A)Cov(X1,Y)??2n

(B)Cov(X1,Y)??2

(C)D(Xn?21?Y)?n?2

(D)D(Xn?11?Y)?n?2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分12分) 设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

8

(18)(本题满分11分)

设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明

当??1时,级数??x?n收敛.

n?1(17)(本题满分12分)

计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0) ?.

9

的上侧

(19)(本题满分12分)

设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和

(20)(本题满分9分)

?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,12n设有齐次线性方程组???????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,(n?2),

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. 极值.

10

(21)(本题满分9分)

?12?3?设矩阵A?? ??14?3?的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似???1a5?? 对角化.

11

(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为

?F(x,?)???1?1?,x?1,?x?0,x?1,

其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

12

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A)?1,P(B|A)?1,P(A|B)?1,令

432?1,A发生, X???0,A不发生; Y??

?0,B不发生.?1,B发生,求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.

求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.

13

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线y?x22x?1的斜渐近线方程为

_____________.

(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为____________. (3)设函数,y,z)?1?x2?y212?z2u(x18,单位向量n??13{1,1,1},则?u6?n(1,2,3)=.________.

(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的

整个边界的外侧,则??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________. ?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵

A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),

如果A?1,那么B? .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则

P{Y?2}=____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)?limn1?x3nn??,则f(x)在(??,??)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点

(D)至少有三个不可导点

(8)设F(x)是连续函数

f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是

N\则必有

(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数

(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数

(C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数

(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调

函数

(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则必有

(A)?2u?2u?x2???y2

(B)?2u?2u?x2??y2

(C)?2u?2?x?y?u?y2

(D)?2u?2?x?y?u?x2

(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则

α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是

(A)?1?0 (B)?2?0

(C)?1?0

(D)?2?0

(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为

A,B的伴随矩阵,则

(A)交换A*的第1列与第2列得B*

(B)交换A*的第1行与第2行得B*

(C)交换A*的第1列与第2列得?B*

(D)交换A*的第1行与第2

行得?B*

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

X Y 0 1 14

0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则

(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2

(D)a?0.1,b?0.4

(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则

(A)nX~N(0,1)

(B)nS2~?2(n)

(C)(n?1)XS~t(n?1)

(D)

(n?1)X21n~F(1,n?1)

?X2ii?2

三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分11分) 设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数.

计算二重积分??xy[1?x2?y2]dxdy.D

(16)(本题满分12分) 求幂级数??(?1)n?1(1?1n?1(2n?1))x2nn的收敛区间与和函数f(x).

(17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐

点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数

f(x)具有三阶连续导数,计算定积分

?30(x2?x)f???(x)dx.

15

(18)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明: (1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.

(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.

(19)(本题满分12分)

设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线

C,有

???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.

(2)求函数?(y)的表达式.

16

(20)(本题满分9分)

已知二次型f(x221,x2,x3)?(1?a)x21?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.

(1)求a的值；

(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

(21)(本题满分9分) ?1已知3

阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B???2??3且AB?O,求线性方程组Ax?0的通解.

23?46?(k为常数),6k???17

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

10?x?1,0?y?2x

求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

(23)(本题满分9分)

0其它18

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)limxln(1?x)x?01?cosx?.

(2)微分方程y??y(1?x)x的通解是 . (3)

设

?是锥面

z?x2?y2(

0?z?1)的

下

侧

,则

??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? .

?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= . (5)设矩阵A???21???12??,

E为2阶单位矩阵,矩阵B满足

BA?B?2E,则

B= . (6)设随机变量

X与Y相互独立,且均服从区间[0,3上]的均匀分布,则

P?max{X,Y}?1?= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增

量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则

(A)0?dx??y (B)0??y?dy (C)?y?dy?0

(D)dy??y?0

(8)设?f(x,y)为连续函数,则?4d??100f(rcos?,rsin?)rdr等于

(A)2?20dx?1?x2xf(x,y)dy (B)2?2x20dx?1?0f(x,y)dy

(C)2?21?y20dy?yf(x,y)dx

(C)2?21?y20dy?0f(x,y)dx

(9)若级数??an收敛,则级数

n?1(A)???an收敛

(B)n收敛

n?1?(?1)nan?1(C)??anan?1收敛

(D)?n?an?1收敛

n?1?an?12(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条

件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是

(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关

(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.

(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加?110?到第2

列得C,记P???010???,则 ?001??(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1

(C)C?PTAP

(D)C?PAPT

(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有

(A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)

(C)P(A?B)?P(A)

(D)P(A?B)?P(B)

(14)设随机变量X服从正态分布N(?1,?21),Y服从正态分布N(?22,?2), 且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则

(A)?1??2

(B)?1??2

19

(C)?1??2

(D)?1??2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分10分)

设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xyD1?x2?y2dxdy.

(16)(本题满分12分)

设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?.

1求:(1)证明limx(2)计算lim?xn?1?xn2x??n存在,并求之. x????x?.

n?

(17)(本题满分12分) 将函数f?x??x2?x?x2展开成x的幂级数.

20

(18)(本题满分12分)

设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2?满足等式?2z?2z?x2??y2?0.

(1)验证

f???u??f??u?u?0. (2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.

(19)(本题满分12分) 设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都

有

f?tx,ty??t2f?x,y?.

证明: 对

L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L,都有

??yf(,xy)?dx(x,f?x). ydyL

21

(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组

??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1??ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1???1,2,?1?T,α2??0,?1,1?T是线性方程组Ax?0的两个解.

(1)求A的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.

22

的个数,求?的最大似然估计.

(22)(本题满分9分)

??12,?1?x?0?随机变量x的概率密度为f?1x?x???4,0?x?2令y?x2,F?x,y?为二维随机变量

??0,其它??(X,Y)的分布函数.

(1)求Y的概率密度fY?y?.

(2)F????12,4???.

(23)(本题满分9分)

?0?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)? 1?? 1?x?2,其中?是未知参数

0其它(0???1),X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1

23

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex (B)ln1?x1?x

(C)1?x?1

(D)1?cosx (2)曲线y?1x?ln(1?ex),渐近线的条数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x

0f(t)dt.则下列结论正确的是 (A)F(3)??3F(?2) (B)F(3)?54 4F(2)

(C)F(3)?34F(2)

(D)F(3)??54F(?2) (4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是

(A)若limf(x)若limf(x)?f(?x)x?0x存在,则f(0)?0 (B)x?0x 存在,则f(0)?0 (C)若limf(x)x?0x 存在,则f?(0)?0

(D)若

limf(x)?f(?x)x?0x 存在,则f?(0)?0

(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是

(A)若u1?u2,则{un}必收敛 (B)若u1?u2,则{un}必发散 (C)若u1?u2,则{un}必收敛

(D)若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是 (A)??(x,y)dx

(B)??f(x,y)dy

(C)??f(x,y)ds

(D)??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1

(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1

(C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 (D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

?2?1?1??100?(8)设矩阵A????12?1???,B???010??,则A与B ??1?12????000??(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似

(D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2

(C)3p2(1?p)2

(D)6p2(1?p)2

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示

X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x)

(B)fY(y)

(C)fX(x)fY(y)

(D)

fX(x)f

Y(y)

二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)?2111x3exdx=_______. 24

(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则?z?x=______.

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________. (14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则???(x?|y|)ds=_____________.

??100?(15)设矩阵?0A??0010????0001?,则A3的秩为________. ?0000??(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为

________.

三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分)

求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.

(18)(本题满分10分)

计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中?上侧.

?为曲面z?1?x2?y24(0?z?1)的

25

(19)(本题满分11分) 设函数

f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).

(20)(本题满分10分) 设幂级数 ??anxn 在

n?0y???2xy??4y?0,y(0?)0?y,?( 0(1)证明:an?2?2n?1an,n?1,2,?. (2)求y(x)的表达式.

(??,??)收敛,其和数

y(x)满足 26

内函

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特

(21)(本题满分11分)

??x1?x2?x3?0设线性方程组?x1?2x2?ax3?0,与方程 x1?2x2?x3?a?1,有公共解,求a?的值及所

?x?4x?a212x3?0有公共解.

征值?31的一个特征向量,记B?A5?4A?E,其中E为3阶单位矩阵.

(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.

27

X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

(1)求参数?的矩估计量??.

(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???2?x?y,0?x?1,0?y?1?0,其他

(1)求P{X?2Y}. (2)求Z?X?Y的概率密度. (24)(本题满分11分)

??12?,0?x???设总体X的概率密度为

f(x;?)???1?2(1??),??x?1

??0,其他?28

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数

(A)0 (B)1

(C)2

(D)3

(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i

(C)j

(D)?j

(3)在下列微分方程中,以y?Cx1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是

(A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0

(D)y????y???4y??4y?0

(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛

(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则 (A)E?A不可逆,E?A不可逆

(B)E?A不可逆,E?A可逆

(C)E?A可逆,E?A可逆

(D)E?A可逆,E?A不可逆

(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

?(x,y,z)A?x??y???1?在正交变换下的标准方程的图形如图,

?z??则A的正特征值个数为

(A)0

(B)1 (C)2 (D)3

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数

为

(A)F2?x?

(B) F?x?F?y? (C) 1??2?1?F?x???

(D)

??1?F?x?????1?F?y???

(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1

(D)P?Y?2X?1??1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

(11)已知幂级数??ann?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数??an?x?3?nn?0n?0的收敛域为?????????????????. (12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.

?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.

29

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求极限lim??sinx?sin?sinx???sinxx?0x4.

(16)(本题满分10分)

计算曲线积分?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.

(17)(本题满分10分)

已知曲线C:??x2?y2?2z2?0?y?3z?5,求曲线C距离XOY?x面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数,

(1)利用定义证明函数F?x???x0f?t?dt可导,且F??x??f?x?.

(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?x20f(t)dt?x?0f(t)dt也是以2为周期的周期函数.

30

(19)(本题满分10分)

?f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求???1?n?12的和.

n?1n

(20)(本题满分11分)

A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:

(1)r(A)?2. (2)若α,β线性相关,则r(A)?2.

31

(21)(本题满分11分) ??2a1设矩阵

A??a22a??????a2X??x1,?,xn?T,B??1,0,?,0?,

(1)求证A??n?1?an.

??1??,现矩阵

2a??n?nA

满足方程

AX?B,其(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.

32

中

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??13?i??1,0,1?,Y的概率密

度为

f?y????10?y?1Y?0其它,记Z?X?Y, (1)求P??1??Z?2X?0??.

(2)求Z的概率密度.

(23)(本题满分11分)

设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.

记X?1n?nX,S2?1n2212iT?X?S i?1n?1?(Xi?X),i?1n (1)证明T是?2的无偏估计量. (2)当??0,??1时 ,求DT.

33

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?等价无穷小,则

2f(x) 1 0 -1 f(x) 1 -2 1 2 3 x

-2 0 -1 1 2 3 x

(A) (B)

(A)a?1,b??16

(B)a?1,b?16

(C)a??1,b??16

(D)a??1,b?16

(2)如图,正方形??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为

四个区域Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则maxD1?k?4?Ik?? k

(A)I1

(B)I2 (C)I3

(D)I4

(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) O -2 0 -1 1 2 3 xF?x???x0f?t?dt的图形为

f(x) f(x) 1 1 -1 0 1 2 3 x

-2 0 1 2 3 x

(C)

(D)-1

(4)设有两个数列?an?,?bn?,若limn??an?0,则 (A)当?????bn收敛时,?anbn收敛.

(B)当anbn发散.

n?1n?1?bn发散时,n?1?n?1

(C)当???22??bn收敛时,?anbn收敛.

(D)当发散.

n?1n?1?bn发散时,n?1?a2nb2nn?1(5)设α1,α2,α3是3维向量空间

R3的一组基,则由基

α111,2α2,3α3到基

α1?α2,α?2α,α3?α3的过渡矩阵为 ?101?

?120?(A)??220?

??

(B)??023??033??

?

?103?? ???11?11??24?1?6??1?22?(C)?111?1????2?246?

(D)?1?4?1??4? ??4?11??11??2?146??????1666???(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩??OA??BO?的伴随矩阵为 ?34

则函数阵(A)??O3B*??2A*O?? (B)??O2B*??3A*O??

(C)??O3A*??2B*O??

(D)??O2A*??3B*O?? (7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??2??,其中??x?为标准正态分布函数,则EX? (A)0

(B)0.3

(C)0.7

(D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为

P?Y?0??P?Y?1??12,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点

个数为 (A)0 (B)1

(C)2

(D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,2z?f?x,xy?,则

?z?x?y? . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??C1?C2x?ex,则非齐次方程y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? . (11)已知曲线L:y?x2?0?x?2?,则?Lxds? .

(12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1?,则???z2dxdydz? . ?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 .

(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.

(16)(本题满分9分)

设ann?1??n为曲线y?x与y?x?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,

n?1n?1求S1与S2的值.

35

(17)(本题满分11分) 椭球面Sx21是椭圆

4?y23?1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆

x224?y3?1相切的直线绕x轴旋转而成. (1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在

???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?.

(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且xlim?0?f??x??A,则f???0?存在,且f???0??A

36

(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I????xdydz?ydzdx?zdxdy是曲面??x2?y2??3,其中?2x2?2y2?z2?4的外侧.

z22

(20)(本题满分11分)

?1?1?1???1?设A????111???,ξ1???1??0?4?2?????2? ??(1)求满足Aξ22?ξ1的ξ2.Aξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型f?x2?x21,x2,x3??ax21?ax2??a?13?2x1x3?2x2x3.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为y21?y22,求a的值.

37

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1) 求p?X?1Z?0?.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布

(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率密度为

f(x)????2xe??x,x?0?0,其他,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn

是来自总体X的简单随机样本.

(1)求参数?的矩估计量. (2)求参数?的最大似然估计量.

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x(1)极限lim?x2?x????(x?a)(x?b)??= (A)1 (B)e (C)ea?b

(D)eb?a

(2)设函数

z?z(x,y)由方程F(yx,zx)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则

x?z?z?x?y?y= (A)x (B)z (C)?x

(D)?z

(3)设m,n为正整数,则反常积分?1mln2(1?x)0nxdx的收敛性

(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关

(C)与m,n取值都有关

(D)与m,n取值都无关

(4)nnlimnx????

i?1j?1(n?i)(n2?j2)= 38

(A)?1x10dx?0(1?x)(1?y2)dy

(B)?1x10dx?0(1?x)(1?y)dy

(C)?111

110dx?0(1?x)(1?ydy

(D)?1)0dx?0(1?x)(1?y2)dy (5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n

(C)秩(A)?n,秩(B)?m

(D)秩(A)?n,秩(B)?n

(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于

?1??1?(A)??1???

(B)??1?

?1??? ?0????1??0?????1(C)?1???1???

(D)????1?

??1??? ?0????1??0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?

12 0?x?1,则P{X?1}= 1?e?x x?2(A)0 (B)1

(C)

1??12?e1

(D)1?e

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)?

af1(x)bf

x?0(a?0,b?0)

2(x)x?0 为概率密度,则a,b应满足 (A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4

(C)a?b?1

(D)a?b?2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设x?e?t,y??t2,求d2y0ln(1?u)dudx2= .

t?0(10)??20xcosxdy= .

(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0),

则曲线积分?Lxydx?x2dy= . (12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (13)设α1?(1,2,?1,0)T,α2?(1,1,0,2)T,α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则?= .

(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?Ck!(k?0,1,2,?),则EX2= .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.

(16)(本题满分10分)

39

求函数f(x)??x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较?110lnt[ln(1?t)]ndt与?n0tlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由

记u1n(2) n??0lnt[ln(1?t)]dt(n?1,2,?),求极限limx??un.

(18)(本题满分10分)

求幂级数??(?1)n?12n?1x2n的收敛域及和函数.

n?1

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求

40

P点的轨迹C,并计算曲面积分I???(x?3)y?2z??11?设A???0??10???,b??a??4?y2?z2?4yzdS,其中?是椭球面S位于曲线C?1??,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?上方的部分. ?11?????1?? (1)求?,a.

(2)求方程组Ax?b的通解.

(20)(本题满分11分)

41

(21)(本题满分11分) 设二次型f(x,x)?xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y2212,x31?y2,且Q的第三

列为(22,0,22)T. (1)求A.

(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求

常数及A条件概率密度fY|X(y|x).

42

(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率分布为

X 1 2 3 P 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数3(i?1,2,3),试求常数a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.

i?1

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 1、

曲线y?x(x?1)(x?2)2(x?3)3(x?4)4的拐点是（ ）

A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0）

2、设数列??an?单调减少，且limn??an?0。Sn??nai无界，则幂级数)n的收敛

i?1?an(x?1n?1域为（ ） A （?11]

B [?11) C [02) D (02]

3、

设函数f(x)具有二阶连续的导数，且f(x)?0.f?(0)?0。则函数z?lnf(x)f(y)在

点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） A f(0)?1f??(0)?0 B f(0)?1f??(0)?0 C

f(0)?1f??(0)?0

D

f(0)?1f??(0)?0

4、设???I??40lnsinxdx

J??40lncoxdxt

K??40lncosxdx，则

IJK的大小关系是

（ ） A

I?J?K B I?K?J C J?I?K D K?J?I

5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二

43

?100??1行与第3行得到单位阵E，记P???00??1??110?，P2??001??，则

A=（ ）

?001????010??A P1P2 B

P?1 C P?11P2

2P1 D P2P1

6、设A?(?1?2?3?4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是Ax?0的一个基础解系，则A*x?0的基础解系可为（ ）

A ?1?3 B ?1?2 C ?1?2?3 D ?2?3?4 7、设F1(x)F2(x)为两个分布函数，且连续函数f1(x)f2(x)为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ）

A f1(x)f2(x) B 2f2(x)F1(x) C f1(x)F2(x) D f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 8、设随机变量X,Y相互独立，且EX,EY都存在，记U?max?X,Y?V?min?X,Y?，则

EUV?（

） A

EU?EV B

EX?EY C

EU?EY D

EX?EV

二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线y??x0tantdt(0?x??4)的弧长为_____________

10、微分方程y??y?excosx满足条件y(0)?0的解为________________ 11、设函数F(x,y)??xysint01?t2dt，则?2F?x2|x?0?______________ y?212、设L是柱面方程x2?y2?1与平面z?x?y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分?Lxzdx?xdy?y22dz?_________

13、若二次曲面的方程x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y21?y22?4，则a?_______

14、设二维随机变量(X,Y)~N(?,?,?2,?2,0)，则E(XY2)?____________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

115、（本题满分10分） 求极限limln(1?x)ex?1x?0(x)

16、（本题满分9分） 设函数z?f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取

得极值g(1)?1.求?2z?x?y|xy??11

17、（本题满分10分） 求方程karctanx?x?0的不同实根的个数，其中k为参数。

44

19、（本题满分11分）

已知函数f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且f(1,y)?f(x,1)?0,??f(x,y)dxdy?a，其中

18、（本题满分10分）

①证明：对任意的正整数n，都有1n?1?ln(1?11n)?n成立； ②设a1n?1?2?............?1n?lnn(n?1,2......)，证明数列?an?收敛.

DD??(x,y)|0?x?1,0?y?1?计算二重积分??xyfxy??(x,y)dxdyD

20、（本题满分11分）

设向量组?T1?(1,0,1)，?2?(0,1,1)T，?3?(1,3,5)T不能由向量组?1?(1,1,1)T，?T3?(3,4,a)线性表示；

（1） 求a的值；

（2） 将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示；

?2?(1,2,3)T，

45

?11???1A为3阶实对称矩阵，A的秩为

2，且A??00?????1??00??

?-11????11??求（1）A的特征值与特征向量 （2） 矩阵A

21、（本题满分11分）

46

22、（本题满分11分）

设随机变量X与Y的概率分布分别为

X 0 1 P 13 23

Y -1 0 1 P 13 13 13 且P?X2?Y2??1

求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2）Z?XY的概率分布

（3）X与Y的相关系数?XY

23、（本题满分11分）

设X1,X2?Xn是来自正态总体N(?0,?2)的简单随机样本，其中知.X,S2为样本均值和样本方差. 求（1）求参数??2的最大似然估计?2

(2) 计算E??2和D??2

?0已知，2?0未

47

?

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线y?x2?xx2?1渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数，则f'(0)?

（A）(?1)n?1(n?1)! （B）(?1)n(n?1)! （C）(?1)n?1n! （D）(?1)nn! （3）如果f(x,y)在?0,0?处连续，那么下列命题正确的是（ ）

（A）若极限limf(x,y)存在，则f(x,y)x在(0,0)处可微 y??00x?y（B）若极限limf(x,y)2存在，则f(x,y)xy??02在(0,0)处可微 0x?y（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limf(x,y)x存在 y??00x?y（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limf(x,y)x?022存在 y?0x?y（4）设Ikx2

k??eesinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I1< I2

(D) I1< I2< I3.

?0??（5）设??????0??1??0,?2??1?,???1?其中c,c?3??1????,???1??4??11,c2,c34为任意常数，则下列向量组

?c1????c2???c3?????c4??线性相关的是（ ）

（A）?1,?2,?3 （B）?1,?2,?4 （C）?1,?3,?4 （D）?2,?3,?4 ?1?（6）设A为3阶矩阵，P为3

阶可逆矩阵，且P?1AP???1??，P???1,?2,?3?，??2??Q????11??2,?2,?3?则QAQ?（ ）

?1??1??2?（A）??2?（B）??1??2?（C）?

（D）???1?? ?2??1???

???2??

??2????1???

（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p?x?y??（）

(A)15 (B)13 (C)25 (D)45

48

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）

(A)1(B)112(C)?2(D)?1

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f'(x)?f(x)?2ex，则f(x)=________。 （10）?20x2x?x2dx ________。 （11）grad???xy?z?y?? ________。

(2,1,1)（12）设????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?,则???y2ds?________。

（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?xxT的秩为________。

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，

P(AB)?12,P(C)?13,则P(ABC?)?________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 证明：2xln1?x1?x?cosx?1?x2,?1?x?1

（16）（本题满分10分） 求f?x,y??xe?x2?y22的极值。

49

（17）（本题满分10分） 求幂级数??轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。 4n2?4n?32n

x的收敛域及和函数

n?02n?1

（18）（本题满分10分）

已知曲线

，其中函数f(t)具有连续导数，且

f(0)?0，f(t)?0???0?t???2??。若曲线L的切线与x

（19）（本题满分10分）

50

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