我的论文最新 变式欧拉积分的求解技巧

摘 要..............................................................................................................II Abstract...........................................................................................................II 1引言...............................................................................................................1 2基本知识.......................................................................................................1

2.1基本概念..................................................................................................1 2.2主要性质..................................................................................................1

目 录

3一般形式欧拉积分的求解方法与技巧........................................................1

3.1求解方法..................................................................................................1 3.2求解技巧...................................................................................................2

4变式欧拉积分的求解方法与技巧................................................................3

4.1求解方法..................................................................................................3 4.2求解技巧..................................................................................................4

5结束语...........................................................................................................7 致谢语..............................................................................................................7 参考文献..........................................................................................................7 指导教师评语.................................................................................................. 评阅人评语......................................................................................................

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变式欧拉积分的求解技巧

数学学院2009级1班 肖振华

摘 要:欧拉积分是一类重要积分,而变式欧拉积分则应用更为广泛,在高等数学中有着举足轻重的地位,应用变式欧拉积分可以简化某些形式复杂的定积分或不定积分的计算.本文从欧拉积分在各个领域的应用入手,通过举例欧拉积分的求解问题,总结其解法的技巧性.

关键词:欧拉积分；?函数；?函数；求解技巧

The Solving Skills of Euler Integration Variant

Class1,2009.College of Mathematics Xiao Zhenhua

Abstract: Euler integral function is an important integration in the higher mathematics, if euler integral can be used to calculate some forms more complex or indefinite integral, definite integral results also are particularly simple. In this paper, from the application of euler integration in all fields, through the introduction of the solution of euler integral problem, summing up its technical solution.

Key words: Euler integration; Gamma function; Beta function; solving skills

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1引言

众所周知,欧拉积分在数学领域中应用非常广泛,而我们平时用欧拉积分解决问题时,经常用到的总是一般形式的积分,可是,如果积分的形式有了相应的变化,我们又该如何求解呢?本文就来系统地介绍一下变式欧拉积分的求解方法与技巧.从而使欧拉积分能更充分地应用到实际问题中去.

2基本知识

2.1 基本概念

定义1含参变量积分??s?????0xs?1e?xdx?s?0?,称为Gamma函数,简称为?函数.

定义2 含参变量积分??p,q??函数.

?10xp?1?1?x?q?1dx?p?0,q?0?,称为Beta函数,简称为?2.2主要性质

性质1??s?在定义域s?0内连续且可导.

性质2(函数递推公式)??s?1??s??s?,特别地 n?Z?时,??n?1??n!. 性质3(函数的对称性)??p,q????q,p?. 性质4(欧拉积分两函数间的联系)?(p,q)?性质5(余元公式)??s???1?s???(p)?(q)(p?0,q?0).

?(p?q)?,s?0,1,2. sin?s1?2? 性质6(余元公式的相关推论)??n??????2n?1?!!?.

n2n

1???1?2n??. ???n???22n?1!!????3一般形式欧拉积分的求解方法与技巧

3.1求解方法

对于微积分学中定积分计算问题来说,通常的做法是先求出原函数,再利用牛顿—莱布尼茨公式代入上下限进行计算.但对于一些特征较为明显的题目,有时也采用变量替换，递推等方法转化为欧拉积分来求解.

例1 求积分

?10x?x2dx.

1233?()?()?133解 原式=?x(1?x)dx??(,)?22?.

022?(3)812 - 1 -

通过上面的例子可以看出,将有些定积分转化成欧拉积分,再利用其性质进而求解,可以极大地简化运算过程.

例2 求积分

?10x2dx. 21?x1?14?344(1?x)2d(x4)(x)解 原式=?

04x3111?14?3424=?(x)(x)(1?x)2d(x4) 041=?(,)=?.

由上例可知,应用欧拉积分求解定积分的计算问题蕴涵许多技巧,尤其是一些难度较大的定积分计算问题,如果只局限于上述方法,通常是不易计算出结果来的,有时若技巧使用不当,还可导致计算过程繁杂,事倍功半.

143142383.2求解技巧

技巧1 换元法 例3 求积分

???0xdx.

(1?x)24解 令

xt1?t,则有 x?,从而有 dx?dt 1?x1?t(1?t)2

4111?53x44dt=?(,) =t(1?t)dx?044(1?x)2代入原式,有

???053?()?()=44

?(2)113444?1?==.

?4sin224=?()?()

通过换元,使这一类的积分求解起来更加方便.所以,哪些式子可以转换成其它的等价形式?怎么转化?化成什么形式?都是求解欧拉积分需要掌握的问题.

技巧2 三角形恒等代换

在遇到有sinnx,cosnx的式子时,我们还可以用三角形恒等代换的方法,举例说明如下.

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例4 求积分

??20sinpxcosqxdx.

解 令u?sin2x, 得0?u?1

原式=

??20(sinx)(1?sinx)dx

2p22q2p?1q?11?2(sin2x)2(1?sin2x)2d(sin2x)=?. 20?1q?111p2=?u(1?u)2du 20=?(12p?1q?1?,)=. 222通过上例不难看出,三角形恒等代换是我们很容易掌握的知识点,能用熟知的知识解决

难题,是数学解题中的重要思想.

技巧3 余元公式及其推论 例5 求积分

???0x2ne?xdx.

2解 令t?x2,则x?t(x?0),由欧拉积分的性质5及其推论知

原式=

???0x2n?1?x2x2ed()

21??2n2?1?t1??n?1x22=?xed(x)=?tedt 2020=?(122n?1(2n?1)!!)??. 22n一般形式的欧拉积分的求解有很多的技巧性,可是,并不是每一类欧拉积分都是以一般形式出现的,我们把这类积分叫做“变式欧拉积分”,那么,对于变式欧拉积分,我们又有什么样的求解方法与技巧呢?

4变式欧拉积分的求解方法与技巧

4.1求解方法

变式欧拉积分,顾名思义,就是经一般形式的欧拉积分变形得到的形式更加复杂的欧拉积分,前面已经深入了解了一般形式欧拉积分的求解技巧,那么,我们就通过下面这个例子看一下变式欧拉积分的解法.

例6 求积分

??0dx.

3?cosx解 令u?sin2x,有 2- 3 -

原式=

??0dx1xdx. ??0x21?cosx21?sin2?2()221111?1???11122(1?u)2(1?u)2du?(1?u)u2du. =??2020令u2?t,有

22?011(1?t)tdt??13?2422?011t3?14(1?t)dt?1?1211?. ?(,)=422221可以看到,解决变式欧拉积分的办法就是不断地换元,将其形式化成一般形式下的欧拉积分来解,这样,就把未知的问题转化成一个我们熟知的问题了.

4.2求解技巧

有些题目的被积函数形式复杂,如变换技巧使用不当,则会导致计算过程极为复杂,甚至无从下手.这里不妨利用三角恒等式来计算.

例7 求积分

??01?cosxdx?0?K?1?.

sinx1?kcosx解 令tant1?kxx1?kt?tan,则有tan?tan. 21?k221?k2利用三角形恒等式可得

1?k21?k2cost?kcosx?dt. ，1?kcosx?，dx?1?kcost1?kcost1?kcost将其代入原式得

2?1?k1?cosxdxt1?kcost1?k??4cotdt

sinx1?kcosx01?k21?k21?kcost14??01?k????sin3?0?1?k?4由欧拉积分的性质知

1?22?1?k?ttcosdt?322?1?k?41214??20sintcostdt.

?1212?1???1?1???11?4?1???1?13?1??4?????2sin2tcos2tdt???,， ??2?0?132?44??22??sin????4?44?从而

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??0?1?k??. 1?cosxdx?3sinx1?kcosx2?1?k?414接下来再通过一个证明类题目来看欧拉积分的巧妙应用. 例8 证明

??20cos2xdx?dx?. ?2?03?cosx221?cosx证明 首先,对第一个积分

??20cos2xdxdx作形式变换 21?cosx11?1?2令t?cosx,则dx??t?1?t?2dt,故 22?2?201111cos2x2?22dx??t?1?t?dt.

2021?cosx1?1再令y?t,则dt?y2dy,代入上式得

2??201111111?1cos2x?2?224dx??0t?1?t?dt??0y?1?y?2dy 2241?cosx3??1??3???1??????2??4??2?1?31?1?4??????????. ???,???1?4?42?4??3?1???42??4?????再对第二个积分

??0dx dx作形式变换

3?cosx141???1?1?cosx令t?,则x?2arcsint,dx?t?1?t?dt,3?cosx?2?1?t2?.

2?2???3?412?12于是

??01dx11?3?4?t?1?t?2dt ?03?cosx22??11???,? 22?42?11??1????????1?4??2??. 22??3??4???

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从而

??20cos2xdx?dx12?1?? . ?????2?0222??223?cosx1?cosx通过本题易知,解决此题的技巧就在于综合运用解一般形式欧拉积分的各种方法,如运算恰当,解题一定事半功倍.关于定积分或不定积分的求解技巧就介绍到这里,接下来看一道关于曲线积分的计算问题.

例9 求曲线x?y?an(n?0,a?0)所围的面积. 解 所求曲线的面积为

22S?4??a?xan01nn?21?14a2114a?11?nndt?dx?t1?t?,?1? ????0nn?nn??1???1?1???n?2a24a2?n??????? ?2?nn???n?1?????1????2???n????. 2????n???除了上述的线性积分需要用到变式欧拉积分外,重积分也是巧用变式欧拉积分的一类主要题型,重积分计算历来都是“数学分析”教学中的重点内容,也是研究生入学考试重点内容之一,有些题目形式古怪,技巧性较强,初学者较难掌握．这里我们仅通过一个典型例题来具体说明欧拉积分在重积分计算中的巧妙应用.

例10 设区域????x,y,z?x?0,y?0,z?0?.已知正实数?,?,?,满足

1??1??1??1,试计

算重积分I?dxdydz. ???????1?x?x?x2222解 作变换x?u?,y?v?,z?w?,则有I?uvwdudvdw, 222??????1?u?v?w??8?12??12??1?co?s?u?rsin??s?in则有, 其中 ????u,v,w?u?0,v?0,w?0?,取球面坐标 ?v?rsin?z?rcos?cos0?I??????28?220sin?cos??12??1?d??sin20???22??12??cos?d??0?22??12?1??r???222???121?rdr.

对于上式中前两个积分,由余元公式可知

?

20sin?cos??12??11?11??d????,?2????- 6 -

??20sin???cos?d?

??11?111?????,?, 2?????对第三个积分,有

???01r?????r???r???dr??dr??dr.

01?r211?r21?r21???222???1222???1222???1222???1因为

??2????2r2??1??1,所以积分?01?r2dr收敛，

而积分

?1r???222111dr???1?1,???1. 收敛当且仅当即2??????1?r1222???1所以当满足

??1??1??1时,

222???1???0?111??1?111r???1??t???????,1?????. dr?dt??2?02????1?r21?t???????111?111???11??111?,????,? ?????,1??????.

????????????????????1??1??1???111?????????????1??????. ????????????????222???1所以，I???再由性质5可得

1dxdydz?I??????????1?x?x?x?5结束语

综上可知,很多积分问题若采取通常求原函数的方法计算,其难度是可想而知的,因为有些函数的原函数无法用初等函数表达(如概率积分),有些则必须采取特殊的变换技巧,才能使问题得到解决.而欧拉积分在解决此类问题时,则显得简单明了,直观易懂.由此看来,在处理以上几类定积分计算问题时,不妨采用变式欧拉积分的求解的方法试一试,也许会使您惊喜万分．总之,熟悉欧拉积分及其多种变式积分并掌握相应的求解技巧,对于我们研究解决数学或其他学科的问题都有重要的意义.

致谢语

感谢程亚焕老师在论文写作过程中对我的悉心帮助和指导,没有老师的帮助,我也不会完成这篇文章,也感谢曾帮助我的同学们,让我明白了团结协作,互利共赢的道理!

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M](上册).北京:高等教育出版社,2001.

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[2] 陈纪修,於祟华,金路等.数学分析[M](下册).北京:高等教育出版社,2000. [3]中国科技大学,高等数学导论[M].合肥:中国科技大学出版社,1989.

[4]赵纬经,王贵君等. 欧拉积分在定积分计算中的应用[J].青海师范大学学报,2008,6(4):6-17. [5]李文华.利用Euler积分计算一些特殊函数的定积分[J].高等数学研究,1998,5(8):08-09. [6]刘玉琏,刘伟,刘宁等.数学分析讲义练习题选解[M].北京:高等教育出版社,2002. [7]朱夜明,乔宗敏等.一道数学建模问题的Matlab求解方法[J].安庆师范学院学报(自然科学报),2006,(3):21-23.

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