河南省中原名校2013届高三第三次联考数学

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河南省中原名校 2013届高三第三次联考

数学（理）试题

（时间120分钟，满分1 50分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上，

第I卷（客观题共60分）

一、选择题：本大题共1 2小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上． 1．复数

10i= 1?2iB．4- 2i

C．2- 4i

D．2+4i

A．-4+ 2i

2．己知集合A?{x||x|?2,x?R},B?{x|x?2,x?Z}，则A?B=

A．（0,2） B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2} 3．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。可得这个几何体的体积是

13323B．cm

343C．cm

383D．cm

3A．cm

4．执行右面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 A．120 B．720 C．1440 D．5040

5．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，

奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A．36 B．32 C．24 D．20

1

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6．若tan??110????,??(,),则sin(2??)的值为 tan?3424B．

A．?2 102 10C．32 10D．72 10?7．若第一象限内的点A（x，y），落在经过点（6，-2）且具有方向向量a?(3,?2)的直线l上，则

log3y?log2x有

23 A．最大值

3 2B．最大值l C．最小值

3 2D．最小值l

?y?1?8．己知实数x，y满足?y?2x?1,如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m=

?x?y?m? A．2

B．5

C．6

D．7

9．如图所示为函数f(x)?2sin(?x??)(??0,0????)的部分图像，其中A，B两点之间的距

离为5，那么f（-1）=

A． 2

B．3

C．—3

D．—2

????????10．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OB?OC的

最大值是

A．2

B．1?2

C．π

D．4

11．已知点M（-3，0），N（3，0），B（l，0），动圆C 与直线MN切于点B，过M、N与圆C相

切的两直线相交于P，则P点的轨迹方程为

y2?1(x?1) A．x?82y2?1(x??1) B．x?82

y2?1(x?0) C．x?82y2?1(x?1) D．x?102 2

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12．函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[,]?D，使得f(x)在[,]上的值域为[a,b]，那么就称函数y?f(x)为“优美函数”，若函数，则t的取值范围为 f(x)?logc(cx?t)(c?0,c?1)是“优美函数” A．（0，1）

B．(0,)

ab22ab2212C．(??,)

14D．（0，

1） 4第Ⅱ卷（主观题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第1 3题～第2 1题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13．在（x -1）（x +1）8的展开式中，含x5项的系数是 。 14．函数f(x)?x3?x2?x?1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于 。

x2y2x2y215．已知a?b?0,e1,e2分别是圆锥曲线2?2?1和2?2?1的离心率，设m?lge1?lge2，

abab则m的取值范围是 。

16．定义一个对应法则f:P(m,n)?P?(m,n),(m?0,n?0).现有点A（2，6）与点B（6，2）， 点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M ′．当点M在线段AB上从点A开始

运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分1 2分）已知数列{an}的前n项和Sn?2an?3?2n?4,n?1,2,3,?. （1）求数列{an }的通项公式；

（2）设Tn为数列{Sn?4}的前n项和，求Tn，

18．（本小题满分1 2分）甲乙两位篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率

为

12，乙投篮命中的概率为． 23 （1）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

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19．（本小题满分1 2分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，

CD=2，把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于成以下各小题：

（1）求A，C两点间的距离； （2）证明：AC⊥平面BCD． （3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

3，对于图二，完3

20．（本小题满分1 2分）一条直线经过抛物线y2=2 px（p>0）的焦点F，且交抛物线于A、B两点，

点C为抛物线的准线上一点．

（1）求证：∠ACB不可能是钝角；

（2）是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出点C的坐标；否则，说明理

由．

21．（本小题满分1 2分）已知函数f(x)?(x?3x?3)e,x?[?2,t](t??2)

（1）当t

（2）比较f（-2）与f （t）的大小，并加以证明；

（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区

间，设g(x)?f(x)?(x?2)e，试问函数g(x)在(1,??)上是否存在保值区间？ 若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由。

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【选考题】

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题计分。做答时请写清题号，并把答题卷上相应的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O

交于点F，延长CF交AB 于E． （1）求证：E是AB的中点： （2）求线段BF的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

?3?x?3cos?(?为参数）和定点A(0,),F1，F2是圆锥曲线的左右焦点。 已知圆锥曲线?3??y?22sin? （1）求经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的参数方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程。 24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设f(x)?|x|?2|x?a|(a?0). （1）当a=l时，解不等式f(x)?8；

（2）若f(x)?6恒成立，求正实数a的取值范围。

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以函数g(x)在(1,??)上不存在保值区间。 —— 12分 22.解：（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以∠BCE=∠CDF， 即∠CDO=∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以EB=OC=AB．所以E是AB的中点． ——5分 （2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得∵ABCD是边长为a的正方形，所以BF=

BFCB? BECE12125a ——10分 5?x?3cos?x2y2(?为参数)化为普通方程??1 23.解：（1）圆锥曲线?98?y?22sin?所以F1(?1,0),F2(1,0)则直线AF1的斜率k?3 3于是经过点F2且垂直于直线AF1的直线l的斜率k'??3， 直线l的倾斜角为120?，

1?x?1?t???x?1?tcos1202?(t为参数)所以直线l的参数方程是?即(t为参数) —5??0??y?tsin120?y?3t??2分

（2）直线AF2的斜率k1??3，倾斜角为150?， 3设P(?,?)是直线AF2上任一点，则

??sin(150???)?sin30?

?sin30??1 ?sin(150??)所以直线AF2的极坐标方程为3?sin???cos??1。 ——10分

11

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?2?3x,x?0.24．解：（1）f(x)?x?2x?1???2?x,0?x?1.

??3x?2,x?1.当x?0时，由 2?3x?8,得?2?x?0； 当0?x?1时，由2?x?8,得0?x?1； 当x?1时，由3x?2?8,得1?x?103； 综上，不等式f(x)?8的解集为??10???2,3??。 ?2a?3x,x?0.（2）因为f(x)?x?2x?a???2a?x,0?x?a.

??3x?2a,x?a.可见f(x)在(??,a)上单调递减，在(a,??)上单调递增，

所以当x?a时，f(x)取最小值a，所以a的取值范围是?6,???分

12

——5分 ——10

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