2019年高考数学预测试题
更新时间:2023-03-08 04:54:37 阅读量: 高中教育 文档下载
本资料来源于《七彩教育网》http://.7cai.cn 2019年高考数学预测试题
1-6题,容易题;7-12题,中等题;较08年略难一点.13-14题,较难题. 一、填空题:
1. 已知复数z1?2?ai,z2?2?i,若 | z1 |<| z2 |,则实数a的取值范围是 .
答案:(-1,1)
x2y2??1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线2. 以椭圆43方程为 .
y2?1 答案:x?32正视图左视图3. 一个三棱锥的三视图如图所示,其正视图、左视图、俯视
图的面积分别是1,2,4,则这个几何体的体积为 .
答案:
俯视图4 34. 已知函数f(x)?alog2x?blog3x?3,若f(为 . 答案:2
1)?4,则f(2009的值20095. 将圆x2??y?1??3绕直线kx?y?1?0旋转一周,所得几何体的体积为 .
2答案:43π
6. 某单位为了了解用电量y(度)与气温x(°C)之间的关系,随机统计了某4天的用电
量与当天气温,并制作了对照表: 气温x(°C) 用电量y(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64
??bx?a中b??2,预测当气温为?4?C时,用电量的度由表中数据得线性回归方程y数约为 .
答案:68
7. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,D在边AC上,已知BC=2,
CD=1,∠ABD=45°,则AD= . 答案:5 8. 经过抛物线y?A12x上一点A(-2,2)的直线与抛物线的另2一交点为B,若抛物线在A,B两处的切线互相垂直,则直线AB的斜率为 . 答案:-
DCB3 4aπx),则 3开始 I←1 x←2 y←5 z←2y-x x←y y←z I←I+1 I>100 Y 输出z N
9. 抛掷一颗骰子的点数为a,得到函数f(x)?sin(“y?f(x)在[0,4]上至少有5个零点”的概率是 .
2 310.按右图所示的流程图运算,则输出的z= .
答案:305
答案:
11.等边△ABC中,P在线段AB上,且AP??PB,
若CP?AB?PB?AC,则实数?的值是 . 答案:2
?x?y≥0,?12.在平面直角坐标系中,不等式组?x?y≥0,(a为常数)表示
?x≤a,?的平面区域的面积是4,则x?y的最小值为 .
21答案:?
4结束 (第8题)
13.从一个半径为1的圆形铁片中剪去圆心角为x弧度的一个扇
形,将余下的部分卷成一个圆锥(不考虑连接用料),当圆锥的容积达到最大时,x的值是 .
答案:6?26π 31114.若|x?a|?≥对一切x>0恒成立,则a的取值范围是 .
x2答案:a≤2
二、解答题:
第一题:立几,容易题,预期得分率0.75. 立体几何考什么?怎样出题? 1。平行(线线,线面,面面),重点仍是线面平面——两种方法(线线法,面面法) 2。垂直:条件与结论中都有垂直。重点是线线垂直与线面垂直(或面面垂直)的转化。
3。面积与体积。
4。题目的形成:长(正)方体一角,三棱柱一角。
要注意寻找三度(相当于长宽高)的垂直。 中点问题常与中位线、中线、重心相关。 求体积可结合变换法(如放缩法)更易。
15-1.如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCDD
是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC. (1)求三棱锥D-ABC的表面积; M (2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在
B 一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由. E
F
C 15-1解(证明)(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD.
∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=2a. 71a. 设G为CD的中点,则CG=a,AG=2232721a,S?ACD?a. ∴S?ABC?S?ABD?a2,S?BCD?4424?3?72a. 三棱锥D-ABC的表面积为S?ACD?4(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC. ∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF. (3)存在这样的点N, D
A
N
3当CN=CA时,MN∥平面DEF.
8连CM,设CM∩DE=O,连OF. 由条件知,O为△BCD的重心,CO=
G O E C M
2∴当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=
3313?CA?CA. 248B N
H
2CM. 3A
F
15-2.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点.
A 1 A (1)求证C1E∥平面A1BD;
(2)求证AB1⊥平面A1BD;
(3)求三棱锥A1-C1DE的体积. E C C 1
D
B B 1
15-2证明(解)(1)设AB1与A1B相交于F,连A 1 A //1AA.EF,DF.则EF为△AA1B1的中位线,∴EF? 1
2//1AA,∴EF//CD,则四边形EFDCF ∵C1D?11E ?1
2C C 1
为平行四边形,∴DF∥C1E. D
H ∵C1E?平面A1BD,DF?平面A1BD,∴C1E∥平面A1BD.
B B 1
(2)取BC的中点H,连结AH,B1H, 由正三棱柱ABC-A1B1C1,知AH⊥BC,
∵B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AH.∵B1B∩BC=B,∴AH⊥平面B1BCC1.∴AH⊥BD. 1,∴∠BB1H=∠CBD.则B1H ⊥BD. 2∵AH⊥∩B1H=H,∴BD⊥平面AHB1.∴BD⊥AB1.
在正方形A1ABB1中,∵A1B⊥AB1.而A1B∩BD=B,∴AB1⊥平面A1BD. 在正方形B1BCC1中,∵tan∠BB1H=tan∠CBD=
11133?22?1?(3)∵E为AB的中点,∴VA1?C1DE?VD?A1EC1?VD?A1B1C1???.
22346
第二题:三角与向量,容易题,预期得分率0.70左右. 三角考什么?怎样出题?
1。三角形问题:正弦定理,余弦定理。面积。
2。两角和与差的三角函数。
3。题目的形成:以平面向量为载体(向量平行,垂直,数量积)
16-1.在△ABC中,已知AB·AC=9,sinB=cosAsinC,面积S?ABC=6.
(1)求△ABC的三边的长;
(2)设P是△ABC(含边界)内一点,P到三边AC,BC,AB的距离分别为x,y和z,求x+y+z的取值范围. 16-1解:设AB?c,AC?b,BC?a.
?bccosA?9443?tanA?,sinA?,cosA?,bc?15, (1)?355?bcsinA?12?bc?15?b?3sinBb3?,用余弦定理得a?4 ?cosA??,由?b3??c?5sinCc5????c5(2)2S△ABC?3x?4y?5z?12?x?y?z?121?(2x?y) 55?3x?4y≤12,?x≥0,由线性规划得0≤t≤8. 设t?2x?y,??y≥0,?∴
12≤x?y?z≤4. 54??16-2.已知OM??cos?,sin??,ON??cosx,sinx?,PQ??cosx,?sinx??
5cos???4(1)当cos??时,求函数y?ON?PQ的最小正周期;
5sinx12(2)当OM?ON?,OM∥PQ,??x,??x都是锐角时,求cos2?的值.
134??16-2解:(1)ON??cosx,sinx?,PQ??cosx,?sinx??,
5cos???4sinx∴y?ON?PQ?cos2x?sin2x?.
5cos?44sinx又cos??,?y?cos2x?sin2x??cos2x?sin2x
5sinx5cos?1?cos2x11?cos2x??cos2x?
222∴该函数的最小正周期是?.
(2)∵OM??cos?,sin??,ON??cosx,sinx? ∴OM?ON?cos?cosx?sin?sinx?cos???x??12 13
??x是锐角 ?sin???x??OM∥PQ ??co?ssxin??14?5?1c2os?x????5 1345 sin???x?? ?sinx?co s,即0??x是锐角 ?co?s??x??3s2i??n?x??
5?cos2??cos?????x?????x????cos???x?cos???x??sin???x?sin???x? 312451616?????,即cos2α=. 5135136565
第三题:解析几何,中等题,预期得分率0.48左右. 解析几何考什么?怎样出题?
1。以椭圆(或双曲线、抛物线)为入口,求标准方程。 2。几何性质
x2y217-1.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?左右两焦点为F1,F2,P是右支上一点,
ab?11?PF2?F1F2,OH?PF1于H, OH??OF1,???,?.
?92?(1)当??1时,求双曲线的渐近线方程; 3(2)求双曲线的离心率e的取值范围;
(3)当e取最大值时,过F1,F2,P的圆的截y轴的线段长为8,求该圆的方程.
17-1解:由相似三角形知,
OHOF1,???PF2PF1b22a?ab2a,
b22? ∴2a??b??b,2a??b?1??? ,2?.
a1??222221b2
(1)当??时,2?1,∴a?b,y??x.
3a
2?1??1????c2b22??
(2)e?2?1?2?1??1??aa1??1??2 =∴??
22?11??1??1?,在?,?上单调递增函数. 1????1?92?11522时,e最大3,??时,e最小, 294∴
55?e2?3,∴?e?3. 42(3)当e?3时,c?3,∴c?3,∴b2?2a2. a∵PF2?F1F2,∴PF1是圆的直径,圆心是PF1的中点, ∴在y轴上截得的弦长就是直径,∴PF1=8.
b22a2?2a??4a,∴4a?8,a?2,c?23,b?22. 又PF1?2a?aab22?2a?4,圆心C?0,2?,半径为4,x2??y?2??16. ∴PF2?a
3x2y217-2.如图,已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的长轴AB长为4,离心率e?,O为
2ab坐标原点,过B的直线l与x轴垂直.P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH?x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP?PQ,连结AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明Q点在以AB为直径的圆O上; (3)试判断直线QN与圆O的位置关系. 17-2解:(1)由题设可得2a?4,解得a?2,c?3,∴b?1.
c3?, a2yQMNPAOx2∴椭圆C的方程为?y2?1.
4x02?y02?1. (2)设P?x0,y0?,则4HBxl∵HP?PQ,∴Q?x0,2y0?.∴OQ?x02??2y02??2.∴Q点在以O为圆心,2为半径的的圆上.即Q点在以AB为直径的圆O上.
x02?y02?1. (3)设P?x0,y0??x0??2?,则Q?x0,2y0?,且42y0又A??2,0?,∴直线AQ的方程为y??x?2?.
x0?2?8y0??4y0?N令x?2,得M?2,.又,为的中点,∴B2,0NMB????2,?.
x?2x?200?????2xy?∴OQ??x0,2y0?,NQ??x0?2,00?.
x0?2??x0?4?x02?2x0y04x0y02∴OQ?NQ?x0?x0?2??2y0? ?x0?x0?2???x0?x0?2??x0?2x0?2x0?2?x0?x0?2??x0?2?x0??0.
∴OQ?NQ.∴直线QN与圆O相切.
第四题:应用题,中等题,预期得分率0.58左右.
18-1.建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为63平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段.......BC与.两腰长的和)要最小. .....
(1)求外周长的最小值,此时防洪堤高h为多少米?
(2)如防洪堤的高限制在[3,23]的范围内,外周长最小为多少米? 18-1.解:(1)63??231?h, (AD?BC)h,AD=BC+2×hcot60=BC+
23
63?633123(2BC?h)h,解得BC??h. 23h3设外周长为l,则l?2AB?BC?当3h?米.
2h63363??h?3h??62; ?h3hsin6063,即h?6时等号成立.外周长的最小值为62米,此时堤高h为6h
636?3(h?),设3?h1?h2?23, hh666则h2??h1??(h2?h1)(1?)?0,l是h的增函数,
h2h1h1h2(2)3h?∴lmin?3?3?63(当h?3时取得最小值). ?53(米).
3
18-2.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这次测试数学成绩的平均分;
(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都在94分以上,现用简单随机抽样的方法,
从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数,求这两个数恰好是在[90,100]段的两个学生的数学成绩的概率. 解:(1)利用组中值估算抽样学生的平均分: 45f1?55f2?65f3?7f54?8f55?. 9f5 =45?0.05?55?0.15?65?0.2?75?0.3?85?0.25?95?0.05=72 . 所以,估计这次考试的平均分是72分.
(2)从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果有: (95,96),(95,97),(95,98),(95,99),(95,100) (96,97),(96,98),(96,99),(96,100) (97,98),(97,99),(97,100),(98,99),(98,100),(99,100)
共15种结果.
如果这两个数恰好是两个学生的成绩,则这两个学生的成绩在[90,100]段,而[90,100]段的人数是0.005?10?80=4(人).
不妨设这4个人的成绩是95,96,97,98,则事件A=“2个数恰好是两个学生的成绩”,包括的基本结果有:(95,96),(95,97),(95,98),(96,97),(96,98),(97,98)共6种基本结果. ∴P(A)=
62?. 155
第五题:函数,较难题,预期得分率0.35左右.
x
19-1.已知函数f(x)=2 .
x+1
(1)讨论f(x)的奇偶性和单调性,并求出f(x)的值域;
3
(2)求出y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线方程;当x∈(―,+∞)时,证明函数图象在
413
点(,)处切线的下方, 利用这一结论证明下列不等式: 310
3abc9
已知a,b,c∈(―,+∞),且a+b+c=1,证明:2+2+2≤.
4a+1b+1c+110(3)已知a1,a2,…,an是正数,且a1+a2+…+an=1,猜想(不要求证明)
x
19-1解:(1) f(x)=2的定义域是(―∞,+∞),
x+1
因为f(―x)=―f(x),所以f(x)是奇函数 .
1-x2
因为f'(x)=22,所以f(x)在(―∞,―1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,
(x+1)
在[1,+∞)上单调递减.
11
又当x≥0时, f(x)≥0,且f(1)=,∴x∈[0,+∞)时,f(x)的取值范围是[0,].
22
11
所以,f(x)的值域为[-,] .
22
1-x2x00
(2) y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线方程为y―2=22(x-x0) . 1+x0(1+x0)113318136x+3当x0=时,函数图象在点(,)处的切线方程是y-=(x-),即y= .
33101025350313x36x+3
要当-<x<+∞时, 证明函数图象在点(,)处切线的下方,只需证明2≤,成4310x+150立 . 这等价于证明(3x-1)2(4 x+3)≥0, 这是显然的 . a36a+3b36b+3c36c+3由此知2≤,2≤, 2≤ .
a+150b+150c+150abc9将三个不等式相加得2+2+2≤ .
a+1b+1c+110akn2
(3)猜想的最大值是2 . 2a+1n+1kk=1
∑aa+1的最大值.
2k=1k
kn
∑
n
2,(a>0,a≠1) ax(1)a>1,解关于x的方程f(x)=m (其中m?22);
(2)记函数g(x)=f(-x),x∈[?2,??),若g(x)的最值与a无关,求a的范围. 19-2.已知函数f(x)?a|x|?
解:(1)①当x≥0时,ax?1,方程即ax?2x2a?max?2?0, ,即?m??xam?m2?8∴a?.
2x∵a>1,x≥0,∴ax≥1.令ax=t,则当t∈[1,2]时,y?t?∈[2,+∞)时,y?t?2是单调递减函数,当tt2是单调递增函数. t
当t=2时,y?t?22取得最小值为22.当t=1或2时,y?t?=3. ttm?m2?8m?m2?8a)22?m?3时, x?loga,b)m?3时, x?loga;
2222xg(t)?t?mt?2??m?8?0,g(0)?2?0 a?t?1改为:令,,∵
m?m2?8m?m2?8a)当g(1)?3?m?0即m?3时,方程有一根t?,x?loga;
22m?m2?8mb)当g(1)?3?m?0即m?3时,∵对称轴t0??2,∴方程有两根x?loga.
22②当x<0时,0?ax?1,方程即a?x?23x,即, ?ma?xama)22?m?3时,无解,b)m?3时, x?loga3; mm?m2?8综上:22?m?3时, x?loga;
2m?m2?83 m?3时, x?loga或x?loga.
2m(2)g(x)?a|x|?2ax,x?[?2,??)
①当a?1时,a)x?0时,ax?1,g(x)?3ax,∴g(x)?[3,??) b)?2?x?0时,
1?ax?1g(x)?a?x?2ax, 2a2?ax??12∴g'(x)??a?xlna?2axlna?axlna
ⅰ当
11?即1?a?42时,对?x?(?2,0),g'(x)?0,∴g(x)在[?2,0)上递增, 2a2∴g(x)?[a2?222g(x),综合a) b)有最小值为与a有关,不符合 ,3)a?22aa ⅱ当
11114?g'(x)?0a?2即时,由得,且当x??log2?2?x??loga2时,aa222211g'(x)?0,当?loga2?x?0时,g'(x)?0,∴g(x)在[?2,?loga2]上递减,在
221?1?[?loga2,0]上递增,所以g(x)min?g??loga2??22,综合a) b) g(x)有最小值为2?2?
22与a无关,符合要求.
②当0?a?1时,a)x?0时,0?ax?1,g(x)?3ax,∴g(x)?(0,3] b)?2?x?0时,1?ax?1?xx,, g(x)?a?2aa22?ax??12∴g'(x)??a?xlna?2axlna?∴g(x)?(3,a2?axlna ?0,g(x)在[?2,0)上递减,
222g(x),综合a) b) 有最大值为与a有关,不符合 ]a?22aa综上实数a的取值范围是a?42.
第六题:数列,难题,预期得分率0.15左右.
x
20-1.对任意正整数n,设an是方程x3+=1的实数根,求证:
n
n11(1)<a1<1;(2)an+1>an;(3)∑2<an .
i=1(i+1)ai2(2018年中国东南地区数学奥林匹克试题)(陈永高供题)
an证明 由a3n+=1,得0<an<1 . n(1)0=a3n+1+
an+1anan+1an1322
-(a3-(a3n+)<an+1+n+)=(an+1-an)(an+1+an+1an+an+) . n+1nnnn
12
因为a2+aa+a+>0,所以an+1-an>0,即an+1>an . ++n1n1nn
n
111n11
(2) 因为an(a2+)=1,所以 a=>=,从而<, 2nn
n1n+1(n+1)ann(n+1)21an+1+
nn
nn1n1111n1
∑(i+1)2ai<∑i(i+1)=∑(i-i+1)=1-n+1=n+1<an .故 ∑(i+1)2ai<an . i=1i=1i=1i=1n
20-2.已知正项数列{an}的首项为1,且对任意n∈N*,都有
111++…+=a1a2a2a3anan+1
n
.数列{an}的前10项和为55 . a1an+1
(1)求数列{an}的通项公式,并加以证明;
111112
(2)设数列{an}满足xn=(1+)(1+)…(1+)(1+), 证明: <xn-2< .
a2na2n+2a4n4nna4n-2解 (1)因为
111n
1 ++…+=, ○
a1a2a2a3anan+1a1an+1
所以,
n+11111
2 ++…++=, ○
a1a2a2a3anan+1an+1an+2a1an+2
n+11n
=-,
an+1an+2a1an+2a1an+1
2-○1得, ○
3 因为数列的各项均不为0,所以a1=(n+1)an+1-nan+2, ○
4 将n换成n-1,得a1=nan-(n-1)an+1, ○
3,○4得, (n+1)an+1-nan+2=nan-(n-1)an+1,即2an+1=an+an+2 . 由○
所以, 数列{an}成等差数列 .
因为a1=1,S10=10a1+45d=55,所以d=1, 即数列{an}的通项公式为an=n .
(2n+1)(2n+3)…(4n-1)(4n+1)1111
(2)由(1)得xn=(1+)(1+)…(1+)(1+)= .
a2na2n+2a4na4n-2(2n)(2n+2)…(4n-2)(4n)
利用不等关系(x+1)( x-1)<x2得
(2n+1)(2n+3)<(2n +2)2,(2n+3)(2n+5)<(2n +4)2,…,(4n-3)(4n-1)<(4n-2)2,(4n-1)(4n+1)<(4n)2,
将这些不等式相乘得(2n+1)(2n+3)2…(4n-1)2(4n+1)<(2n+2)2(2n +4)2…(4n-2)2(4n)2, 于是
22
22(2n+1)(4n+1)8n+6n+18n+8nxn<=22=2=2+
(2n)(2n)(2n)n
. ①
又利用不等关系(x+1)( x-1)<x2得
(2n)(2n+2)<(2n +1)2,(2n+2)(2n+4)<(2n +3)2,…,
(4n-4)(4n-2)<(4n-3)2,(4n-2)(4n)<(4n-1)2,
将这些不等式相乘得(2n)(2n+2)2…(4n-2)2(4n)<(2n+1)2(2n +3)2…(4n-3)2(4n-1)2, 于是
(4n+1)216n2+8n+116n2+8n12xn>=>=2+ 22(2n)(4n)
8n
8n
n
x2n-2>0,所以,xn-x2n<2+2=4,
. ②
由②得由①得
x22n-2
2=<x2n-2< . nxn+2
x2x211n-2n-2
所以xn<2, 于是xn-2=>>> .
xn+22+2(2+2)n4n
综上,
12<xn-2< . 4nn
1.数列产生的几种方式:
通项公式型,递推关系型,(含n的)方程根型(即隐含型). 2.解决数列问题的常用方法:
关注递推关系问题,善于利用换元法构造新数列,化归成等差或等比数列,求通项公式、求和等,结合代数推理证有关等式(或简单的数论结论)与不等式.
关注不动点问题,注意对式的各种变形,产生各种形态的新式子,利用不等关系进行适当放缩证明有关不等式.
3.不动点的思想:不动点何意?何时不动点法?
递推(迭代):an?1?f(an)—— 收敛:y?f(x)与y=x有交点,即x?f(x)有解. (用不动点求数列的通项公式) 20-3.在数列{an}中,a1=1,an?1?设不动点为x,则x?1(1?4an?1?24an),求an. 1611(1?4x?1?24x).解得x=. 163
分析一:用不动点改写原式,
分析二:用换元法,令bn?1?24an,去掉根式,便于化简变形. 解:构建新数列?bn?,使bn?1?24an?0, 则 b1?25,bn222?bn?1bnbn?11??1?1.∴??1?4??bn?. ?1?24an ,即an??242416?24??化简得 ?2bn?1???bn?3?,∴2bn?1?bn?3,即 bn?1?3?数列 ?bn?3? 是以2为首项,?1?bn?3?2????2?n?12?n221?bn?3?. 21为公比的等比数列. 22?n2bn?122n?1?3?2n?1?1?. ?3.∴an?243?22n?1?2, 即 bn?2
(利用式的各种变形证题)
20-4.已知数列?an?,an≥0,a1?0,an?12?an?1?1?an2(n∈N*).记
Sn?a1?a2??an,Tn?*11??1?a1(1?a1)(1?a2)?1(1?a1)(1?a2)(1?an).
求证:当n?N时,(1)an?an?1;(2)Sn?n?2;(3)Tn?3. (2018年高考浙江卷压轴题)
20-5.实数列a1,a2,an,满足an?1?an(an?2).问:
(1) 如果a1?2,求an; (2)求a2009的取值构成的集合
2解:(1)由题意有an?1?1?(an?1)2,设bn?an?1,则有bn?1?bn,从而可得bn?b12n?1.
而b1?a1?1?3,因此bn?32n?1,从而an?bn?1?32n?1?1.
2(2) 由(1)得:b2009?b12008 ,于是,b2009?0,即a2009??1.
?2008另一方面,对于任意实数???1,存在初始值a1?(??1)2所以b2009的取值集合为?x|x??1?.
?1,使得a2009??.
20-6.已知数列?an?满足a2?3,前n项的和Sn=(1)求数列{an}的通项公式;
b1a2?a1)?b2,求数列{ bn}的前n项的和Sn; (2)又数列{bn}为等比数列,且a1?b1,(?证明:(3)对于(2)中的S(nn?N)n?nan. (n是任一正自然数)2n1S1S2????23S2S3?Snn?. Sn?12解:(1)an?2n?1
(2)条件即b1?1;b2?2所以数列{bn}是公比为2的等比数列,从而(11?2n)nSn??2?1
1?2(3)
Sk2k?12k?11?k?1??,k?1,2,Sk?12?12(2k?1)22n?S1S2??S2S3?Snn?. Sn?12Sk2k?12k?1111111?k?1???????,k?1,2,Sk?12?12(2k?1)22(2k?1?1)23?2k?2k?223?2k2SSSn1111n11n1?1?2??n??(?2??n)??(1?n)??. S2S3Sn?12322232322Sn1S???1?2?23S2S3?Snn?. Sn?12n
20-7.已知数列{an}满足a1=1, an+1-an=2(an+1+an)-1 . (1)试证明数列{an+1-an}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)试证明
17∑a<;
4
k=1knn
125
(3)试证明()< .
a4k=1k
∑
3
证明 (1)因为a1=1, an+1-an=2(an+1+an)-1,
所以a2-a1=2(a2+a1)-1,解得a2=4 .
由an+1-an=2(an+1+an)-1知数列{an}是递增的, 且
1 (an+1-an)2=2(an+1+an)-1, ○2 将n换成n+1得(an+2-an+1)2=2(an+2+an?1)-1, ○
两式相减, 得(an+2-2an+1+an)(an+2-an)=2(an+2-an), 因为数列{an}是递增的, 所以an+2-an≠0, 于是, an+2-2an+1+an=2 . 即(an+2-an+1)-(an+1-an)=2, 所以{an+1-an}是等差数列 . an+1-an=a2-a1+2(n-1)=2n+1 .
an=(an-an?1)+(an?1-an?2)+…+(a2-a1)+a1
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1=n2 . (2)当n=1,2时,不等式显然成立 .
当n≥3时, ∑
n
1=∑
n
1∑
n
11∑
n
11∑
n
11
k=1ak2=1+2<1++=1++(-) k=1kk=3
k4k=3(k-1)k4k=3k-1k=1+14+(12-1n)=7174-n<4 .
(3) ∑
n3
(1)2=∑
n
1
3 . k=1akk=1
k当n=1,2时,直接验证知不等式显然成立 .当k≥3时 11k3<(k-1)k(k +1)=12[1(k-1)k-1
k(k +1)
],k=3,4,…,n . 相加得∑
n
1111k3<2[6-n(n +1)]<112.所以∑
n
111=1+5<1+6=5
.k=3k=1
k3<1+8+1224244
一、填空题
1.(-1,1) 2.x2?y23?1 3.43 4.2 5.43π 6.68 7.5 34 9.23 10.305 11.2 12.?16?264 13.3π 14.[3,+∞)
8.-
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1=n2 . (2)当n=1,2时,不等式显然成立 .
当n≥3时, ∑
n
1=∑
n
1∑
n
11∑
n
11∑
n
11
k=1ak2=1+2<1++=1++(-) k=1kk=3
k4k=3(k-1)k4k=3k-1k=1+14+(12-1n)=7174-n<4 .
(3) ∑
n3
(1)2=∑
n
1
3 . k=1akk=1
k当n=1,2时,直接验证知不等式显然成立 .当k≥3时 11k3<(k-1)k(k +1)=12[1(k-1)k-1
k(k +1)
],k=3,4,…,n . 相加得∑
n
1111k3<2[6-n(n +1)]<112.所以∑
n
111=1+5<1+6=5
.k=3k=1
k3<1+8+1224244
一、填空题
1.(-1,1) 2.x2?y23?1 3.43 4.2 5.43π 6.68 7.5 34 9.23 10.305 11.2 12.?16?264 13.3π 14.[3,+∞)
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