2009-2010学年 第1学期 期末考试试卷及解答

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

中国海洋大学 2009-2010学年秋季学期 期末考试试卷

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

学院(A卷) 共 4 页 第 2 页

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

(C)

0 2B 0 B

3 A , 0 A 0

(D)

0 3B

2 A 0 A 可逆，通过初等行变换求其 0

解：因为 逆可得

1

2 2

0 A B 6 0 ,因此 B

0 B 0 因此 B

A I 0 1 0 I A 1 1 A r , B r 1 2

uuuuuuuuuuuuuu r 0 0 I I 0 0A 0 1 0 A 1

I 0 0 0 r r 1 2 r 0 I A 1 B 1 uuuuuu

B 1 0

B 1 0 ,则矩阵 B 0

A 的伴随矩阵为 0 A B B 1 0 2 B* * 0 0 3A

0 B

A 0 0 B

*

A 0 0 B

A 0 1 0 A BA

1

2.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 0, 若 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 AX b 的 互不相同的解，则对应的齐次线性方程组 AX 0 的基础解系( (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 )

(C)含有两个线性无关的解向量， (D)含有三个线性无关的解向量；

解：由如下命题

r A n n, r A 1, r A n 1 0, r A n 1 *

其中 n 为 A 的阶数，且矩阵 A 的伴随矩阵 A 0, 可得 r A n 1 ,若 r A n

则 AX b 有唯一解，与 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 AX b 互不相同的解矛 盾， 因此 r A n 1, 因此对应的齐次线性方程组 AX 0 的基础解系仅含一个非零 解向量

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3.设 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax b 的解， 是对应的齐次方程组 Ax 0 的解， 则

Ax b 必有一个解是(

).

(A) 1 2 , (B) 1 2 , (C) 1 2 , (D)

1 1 1 2 2 2

解：根据题意 A 1 A 2 b, A 0 ,因此

1 1 1 1 A 1 2 A A 1 A 2 b 2 2 2 2

4.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( (A) 1 2 , 2 3 , 3 1 ,

)

(B) 1 2 , 2 3 , 3 1 ,

(C) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 , (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1

1 0 1 1 0 1 0 解： (A) 1 2 , 2 3 , 3 1 1 , 2 , 3 1 1 , 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 则 1 2 , 2 3 , 3 1 线性相关

1 0 1 1 0 1 (B) 1 2 , 2 3 , 3 1 1 , 2 , 3 1 1 0 , 1 1 0 0 ,且向量组 0 1 1 0 1 1

1 , 2 , 3 线性无关，因此 1 2 , 2 3 , 3 1 线性无关0 2 1 0 2 1 (C) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 1 , 2 , 3 2 1 0 , 2 1 0 0 0 2 1 0 2 1

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

且向量组 1 , 2 , 3 线性无关，因此 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 线性无关

1 0 2

1 0 2 (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 1 , 2 , 3 2 1 0 , 2 1 0 0 ,且向 0 2 1 0 2 1 量组 1 , 2 , 3 线性无关，因此 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 线性无关

5.设 A

1 2 ,则在实数域上与 A 合同的矩阵为 2 1

(A)

2 1 2 1 2 1 1 2 , (B) , (C) , (D) 2 1 ; 1 2 1 2 1 2

解：由惯性定理可得实对称矩阵合同的当且仅当具有相同的正负惯性指数，因为

1 2 1 2 2 0 2 A r 2 r r r 2 1 1 2 uuuuuu r 0 3 3 r 2 1 uuuuuuuu 0 3 即 A 的正负惯性指数分别为 1,1,因此判断与 A 合同的矩阵只要判断正负惯性指数相 同即可

2 1 2 0 2 1 1 2 (A) , 正负惯性指数分别为 0, 2, 3 r1 r2 3 r2 2 r1 1 2 3 0 0 uuuuuuuur uuuuuuuur 2 2 不合同

2 1 2 2 1 1 2 (B) 3 r1 r2 r2 2 r1 0 1 2 3 0 uuuuuuuur uuuuuuuur 2 不合同

0 ,正负惯性指数分别为 2,0, 3 2

2 2 1 1 (C) r2 2 r1 1 2 r 0 uuuuuuuu 同

1 2 2 3 r1 r2 3 r 0 uuuuuuuu 2

0 ,正负惯性指数分别为 2,0,不合 3 2

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中国海洋大学 2008-2009学年 第2学期 期末考试试卷

学院(A卷) 共 4 页 第 3 页

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

三、计算行列式、求矩阵和过渡矩阵(30 分)

1 2 -1 3 1 3 5 1 1.若 A , 求 2M 11 M 12 M 13 M 14 的值 2 -1 1 -1 -1 1 3 5n

(6 分)

解：由公式

ak 1

ik

Ajk ij A 可得

2 1 1 3 2 M 11 M 12 M 13 M 14 2 A11 A12 A13 A14 2 1 1 1x1nn x2

1 1 5 1 0 1 1 3 5

x1n 1 y1n 1 x2 y2

x1n 2 y12n 2 2 x2 y2

L L O L L

x1 y1n 1n 1 x2 y 2

y1nn y2

2.

M n xnn xn 1

M x y x y

n 1 n n n 1 n 1 n 1

M x y x y

n 2 2 n n n 2 2 n 1 n 1

M n 1 xn y nn 1 xn 1 yn 1

M .(6 分) n ynn yn 1

解：利用范德蒙行列式得1 x1nn x2 M n xn

y1 x1 y2 x2

y1 x1

2

L2

y1 x1

n 1

y1 x1

n

x1n 1 y1n 1 x2 y2 M n 1 xn yn

x1n 2 y12n 2 2 x2 y2 M n 2 2 xn yn

L L O L L

x1 y1n 1n 1 x2 y 2 M n 1 xn y n

y1n

x

n n 1

x

n 1 n 1 n 1

y

x

n 2 n 1

y

2 n 1

x

n 1 n 1 n 1

y

n y2 n n n n M x1 x2 L xn xn 1 M M n yn yn 1 n yn 1 xn

1

y2 x2 M yn xn

L O2

y2 x2 M yn xn

n 1

y2 x2 M yn xn

n

n 1

n

L2

1n n n x1n x2 L xn xn 1

yn 1 xn 1

yn 1 xn 1

L

yn 1 xn 1

n 1

yn 1 xn 1

n

yi y j y y y y y y y y y n n n y2 x1n x2 L xn xn 1 1 L n 1 1 L n n 1 n 1 n 1 n 1 n x x x x x x x x x x x x 1 j i n 1 i j 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n

x1 y2 x2 y1 L x1 yn 1 xn 1 y1 L xn 1 yn xn yn 1 xn 1 yn 1 xn 1 yn 1 xn yn 1 xn 1 yn

1 j i n 1

y xi

j

xi y j

中国海洋大学线性代数资料试卷及答案

1 1 3.设矩阵 A 的伴随矩阵 A 0 0 单位阵，求 B 矩阵.(10 分)

0 0 1 0 0 1 0 2

0 0 ,且 ABA 1 BA 1 3I , I 是 4 阶 0 8

解：由 ABA BA 3E, 得 AB B 3 A, 即得 ( A E ) B 3 A, 两边乘以 A 得

1

1

( A E A )B 3 A E. 所以， B 3 A ( A E A ) 1. 由 A A ,得 A 8, A 2 , 33

故， B 3 A ( A E A )

1

1 1 6 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 2 6 0 0

1

6 6 0 0 1 2 1 3

0 6 0 0 . 0 6 0 0 2 1 0 0

3 4.设 1 , 2 , 3 是 3 维向量空间 R 的一组基，求由基 1 , 2 , 3 到

1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵.(8 分)

解：设由 1 , 2 , 3 到 1 , 2 , 3 的过渡矩阵是 P 1 , 1 , 2 , 3 到

1 2

1 3

1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵是 P2 , 1 , 2 , 3 到

1 2

1 3

1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵是 P1 P2 , 1 1 1 1 2 ,所以 P1 2 ; 而 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 2 3 3 3

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1 0 1 1 0 1 ( 1 2 , 2 3 , 3 1 ) ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 0 ,即 P2 1 1 0 . 0 1 1 0 1 1 由 基

1 , 2 , 3 到 1 2 , 2 3 , 3 1 的 过 渡 矩 阵

1 2

1 3

1 0 1 P P1 P2 2 2 0 . 0 3 3 四、设 是非齐次线性方程组 AX b 的一个解， 1, 2 ,L , t 是 AX b 对应的齐 次线性方程组 AX 0 的一个基础解系， 证明：向量组 , 1, 2 ,L , t 线性无关.(8 分)

证明：设存在 k0 , k1 ,L , kt 使得 k0 k1 1 L kt t 0 ,整理的，

k0 k1 L

kt k1 1 L kt t 0 ,若 k0 k1 L kt 0 则

可由 1, 2 ,L , t 线性表示，所以 就是 AX 0 的解与 是非齐次线性方程组AX b 的一个解矛盾，故， k0 k1 L kt 0 因此， k1 1 L kt t 0 ;因为 1, 2 ,L , t 是 AX b 对应的齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系，所以

k1 k2 L kt 0 ,即得 k 0 0 ,所以命题成立.五、 (12 分)当 a 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有无穷多解？有解时，求其 通解.

3 x1 2 x 2 x3 x 4 3x5 a x x x x x 1 1 2 3 4 5 . x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 3 5 x1 4 x 2 3 x3 3 x 4 x5 b

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1

3 a

b 2

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1 I A 0 2

1 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 1 4 2 1 0 2 1 0 2 10 2

( 1)( 3)( 3)得 A 的特征值为 1 1 , 2 3 和 3 . 因为特征值不同，则特征向量两两正交. 只需单位化.

0 2 x1 0 0 0 2 对于 1 1 ,由 ( I A) X 0 ,即 0 x 2 0 , 2 2 2 x3 0 得该方程组的基础解系为 X 1 ( 1,1,0) ,T

1 1 的所有的特征向量为 k1 X 1 k1 ( 1,1,0)T , k1 0.将 X 1 单位化得 Y1 (

1 2

,

1 2

,0) T 。

0 2 x1 0 2 2 2 对于 2 3 ,由 (3I A) X 0 ,即 0 x 2 0 ,得该方程组的基 2 2 4 x3 0 础解系为 X 2 (1,1,1) ,T

2 3 的所有的特征向量为 k 2 X 2 k 2 (1,1,1)T , k 2 0,将 X 2 单位化得 Y2 (

1 3

,

1 3

,

1 3

)T ;

4 0 2 x1 0 对于 3 3 ,由 ( 3I A) X 0 ,即 0 4 2 x 2 0 ,得该方程组的 2 2 2 x3 0 基础解系为 X 3 (1,1, 2)T ,

3 3 的所有的特征向量为 k3 X 3 k3 (1,1, 2)T , k3 0,

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学院(A卷) 共4页 第 4 页

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