第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料

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授课内容(教学章节): 第六章 近独立粒子的最概然分布 主讲教师： 教材分析: 从本章开始着重阐述物质微观运动状态的描述以及微观运动的规律，玻耳兹曼系统和玻色系统费米系统等，即统计物理学部分。内容难度、深度均超出了前四章。用到了较多的数学知识、原子物理学和统计物理学的概念。因此，在本章教学中紧密结合先前知识对难点加以分解，同时引导学生用新的思维方式研究物质的微观运动。 教学目标: 知道微观粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握系统微观运动状态的描述，理解分布和微观状态的概念及其关系，掌握玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别和联系，理解与之对应的三种分布并会推导。知道等概率原理，经典极限条件等。培养学生用统计学和数学建模等方法探讨物理问题。 教学重点与教学难点: 教学重点：系统微观运动状态的描述、分布与微观状态的概念、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其分布。 教学难点：玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其三种分布的推导和物理意义。 教学内容 6.1粒子运动状态的经典描述 6.2粒子运动状态的量子描述 6.3系统微观运动状态的描述 6.4等概率原理 6.5分布和微观状态 6.6玻耳兹曼分布 6.7玻色分布和费米分布 6.8三种分布的关系 教学方法与手段 以讲授为主，结合多媒体教学，三种分布及其关系采用讨论法展开教学。 课后作业 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 小论文 1、在量子力学中全同粒子既然不能分辨，那么如何来描述系统的微观运动状态？ 2、满足经典极限条件时玻色分布和费米分布在形式上都过渡到玻耳兹曼分布的形式，其物理意义是否相同？ 教材与参考资料 教材：热力学与统计物理 汪志诚 高等教育出版社 主讲教师：

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授课地点 授课班级 热力学与统计物理 课程教案 第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述

首先介绍如何描述粒子的运动状态。这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

1、粒子运动状态经典描述的两种方法

设粒子的自由度为r。经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1,q2,?,qr和与之共轭的r个广义动量p1,p2,?,pr在该时刻的数值确定。粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：

ε?ε?q1,q2,?,qr;p1,p2,?,pr? 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。

为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1,q2,?,qr；p1,p2,?,pr共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态（q1,q2,?,qr；p1,p2,?,pr）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。

2、下面介绍统计物理中用到的几个例子 （1）、自由粒子：

自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。粒子在任一时刻的位置可由坐标x,y,z确定，与之共轭的动量为：

px?mx,py?my,pz?mz 自由粒子的能量就是它的动能：ε?对应的μ空间是6维的。

主讲教师：

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???122px?py?pz2， 2m?? 热力学与统计物理 课程教案

（2）线性谐振子

对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x确定，与之共轭的动量为px?mx，它的能量是其动能和势能之和：

p2A2p21???x??m?2x22m22m2

?以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹是上式所确定的椭圆，标准形式为：

p2x2??12?2m?m?2

（3）转子

考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。 质点的位置由坐标x,y,z确定。质点的能量就是它的动能：

1??2?2?2?ε?m?x?y?z?? 2???用球极坐标r,θ,φ描述质点的位置：x?rsinθcosφ,y?rsinθsinφ,z?cosθ，

1??22?222?2?质点的能量可以表为：ε?m?。若质点与原点的距离保r?rθ?rsinθφ???2??1?2?222?2?持不变即r?0，于是上式简化为：ε?m?，引入与之共轭的rθ?rsinθφ???2???动量：pθ?mrθ,pφ?mrsinθφ，则上式可表为：ε?2?22?21?212?2 rp?pθ?φ?。

2I?sin2θ?前面讨论的质点是被看作转子的一个例子。转子是这样的一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位角θ,φ确定。在统计物理中将双原子分子绕其质心的转动看作转子。

主讲教师：

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热力学与统计物理 课程教案 6.2 粒子运动状态的量子描述

1、德布罗意关系

微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等等）普遍地具有粒子和波动的二象性。一方面它们是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显示干涉、衍射等等为波动所特有的现象。

德布罗意提出能量为ε、动量为p的自由粒子联系着圆频率为ω、波矢为k的平面波，称为德布罗意波。能量ε与圆频率ω，动量p与波矢k的关系为：

ε??ω， p??k 即德布罗意关系，适用于一切微观粒子。 常量：??h，h和?都称为普朗克常量，是量子力学的基本常量。其数值为： 2π h?6.626?10?34J.s ??1.055?10?34J.s 2、测不准原理

粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。如果以?q表示粒子坐标q的不确定值，?p表示粒子动量p的不确定值，则在量子力学所容许的最精确的描述中，?q与?p的乘积满足：

?q?p?h 上式称为不确定关系。不确定关系表明，如果粒子的坐标具有完全确定的数值即?q?0，粒子的动量将完全不确定即?p??；反之，当粒子的动量具有完全确定的数值即?p?0时，粒子的坐标将完全不确定即?q??。这生动地说明了粒子的运动不是轨道运动。

在经典力学中，粒子可同时具有确定的坐标和动量，这并不是说我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典力学中，原则上不允许对这种精确度有任何限制。由于普朗克常量数值非常小，不确定关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。

在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数。下面举例加以说明。

主讲教师：

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3、量子态的描述 （1）、自旋

考虑一个粒子，质量为m，电荷为?e，自旋角动量量子数为旋磁矩μ与自旋角动量S之比为：

μe?? Sm1。粒子的自2如果加上沿z方向的外磁场，磁感应强度为β，则粒子自旋角动量在外磁场

?。自旋磁矩在外磁场方向的投影相应2e?e?β。 为μZ??。粒子在外磁场中的势能为：μ?β??2m2m方向的投影SZ有两个可能值，即SZ??将SZ表为SZ?ms?，描述粒子的自旋状态只要一个量子数ms，它只能取两个分立的值?1。 2（2）、线性谐振子

在原子物理课讲过，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：

1??εn??ω?n??,n?0,1,2?

2??其中n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为?ω，其大小取决于振子的圆频率。 （3）、转子

M2转子的能量：ε?

2I在经典理论中，M2原则上可以取任何正值。原子物理课讲过，在量子理论中M2只能取分立值：M2?l?l?1??2,l?0,1,2?

对于一定的l，角动量在某一z轴的投影Mz只能取分立值：

Mz?m?，m??l,?l?1,?,l

共2l?1个可能的值。这就是说，在量子理论中自由度为2的转子的运动状态由l、m两个量子数表征。m的取值与经典运动平面的取向相应。在经典理论中运动平面在空间的取向是任意的，而在量子理论中m只能取上述分立值，称为

主讲教师：

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空间量子化。 （4）、自由粒子

首先讨论一维自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，我们采用周期性边界条件，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长λ的整数倍等于容器的长度L，即：L?nxλ，nx?0,1,2?

根据波矢量大小kx与波长的关系，并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向，便可求得波矢量kx的可能值为：kx?2πnx，nx?0,?1,?2,? L将上式代入德布罗意关系，可得一维自由粒子动量的可能值为：

px?2π?nx nx?0,?1,?2,? Lnx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数。一维自由粒子能量的可能值为：εnx22px2π2?2nx???， nx?0,?1,?2,? 能量也取决于nx。 2mmL2现在讨论三维自由粒子。设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量px,py,pz的可能值为：

2π?nx nx?0,?1,?2,? L2π?py?ny ny?0,?1,?2,?

L2π?pz?nx nz?0,?1,?2,?

Lpx?三维自由粒子能量的可nx,ny,nz就是表征三维自由粒子运动状态的量子数。

22222n?n?n12π?xyz222能值为：ε? px?py?pz??2mmL2????如果粒子局域在微观大小的空间范围内运动，例如电子在原子大小的范围、核子在原子核大小的范围内运动，则上式给出的动量值和能量值的分立性是显著的。注意粒子的运动状态由三个量子数nx,ny,nz表征，而能级只取决于

222的数值。因此处在一个能级的量子态一般不止一个。例如，能级nx?ny?nz2π2?2有6个量子态，简并度是6。 mL2主讲教师：

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如果粒子是在宏观大小的容器内运动，上式给出的动量值和能量值是连续的。考虑在体积V?L3内，在px到px?dpx，py到py?dpy，pz到pz?dpz的动量范围内自由粒子的量子态数。由于px与nx是一一对应的，且相邻的两个nx之差为1。因此在px到px?dpx的范围内，可能的px的数目为：

dnx?Ldpx 2π?Ldpy 2π?同理，在py到py?dpy的范围内，可能的py的数目为：dny?在pz到pz?dpz的范围内，可能的pz的数目为：dnz?Ldpz 2π?既然自由粒子的量子态由动量的三个分量px、py、pz（或三个量子数nx、

ny、nz）的数值表征，在体积V?L3内，在px到px?dpx，py到py?dpy，pz到pz?dpz内，自由粒子的量子态数为：

V?L?dnxdnydnz??dpdpdp?dpxdpydpz ?xyz3h?2π??上式可以根据不确定关系来理解。不确定关系指出，粒子坐标的不确定值?q和与之共轭的动量的不确定值?p满足：?q?p?h。因此，如果用坐标q和动量p来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于μ空间中的一个体积，称它为相格。对于自由度为1的粒子，相格的大小为h。如果粒子的自由度为r，相格大小为：

3?q1????qr?p1????pr?hr

因此，将μ空间的体积Vdpxdpydpz除以相格大小h3而得到的三维自由粒子在Vdpxdpydpz内的量子态数。

在某些问题中，往往采用动量空间的球极坐标p、θ、φ来描写自由粒子的动量。p、θ、φ与px、py、pz的关系为：

px?psin?cos?；py?psin?sin?；pz?pcos?

用球极坐标、动量空间的体积元为p2sinθdpdθdφ。所以在体积V内，动量大

主讲教师：

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小在到p到p?dp，动量方向在θ到θ?dθ，φ到φ?dφ的范围内，自由粒子可

Vp2sinθdpdθdφ能的状态数为：。再对θ和φ积分可得：

h3?4πVp2dp h32π0dφ?sinθdθ?4π

0π可得在体积V内，动量p到p?dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：

根据ε?p22m，可以求出体积V内，能量ε到ε?dε的范围内，自由粒子可能的状态数为：D?ε?dε?2πV3212??2mεdε。 3hD?ε?表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。 6.3 系统微观运动状态的描述

前面介绍了粒子运动状态的经典描述和量子描述，现在进一步讨论如何描述整个系统的微观运动状态。本节限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统。 1、全同近独立粒子系统

全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，例如，4He原子组成的氦气或自由电子组成的自由电子气体是全同粒子组成的系统。

近独立粒子组成的系统，是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：E??εi。

i?1N式中εi是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。注意，εi是只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒子的坐标和动量无关。理想气体就是由近独立粒子组成的系统。理想气体的分子，除了相互碰撞的瞬间，都可以认为没有相互作用。应当说明，近独立粒子之间虽然相互作用微弱，但仍然是

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有相互作用的。

2、经典力学中系统微观运动状态的描述

首先讨论在经典力学中如何描述系统的微观运动状态。设粒子的自由度为任一时刻，第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标qi1,qi2,?qir和r个广义r，

动量pi1,pi2,?,pir的数值确定。当组成系统的N个粒子在某一时刻的力学运动状态都确定时，整个系统在该时刻的微观运动状态也就确定了。因此确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量，这2Nr个变量就是qi1,qi2,?qir；

pi1,pi2,?,pir?i?1,2,?,N?。 在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。这是因为，经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的。只要确定每一粒子在初始时刻的位置，原则上就可以确定每一粒子在初始时刻的位置。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，在交换前后，系统的力学运动状态是不同的

一个粒子在某时刻的力学运动状态可用μ空间中的一个点表示。由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可在μ空间中用N个点表示，如前所述，如果交换两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。 3、系统微观运动状态的量子描述

在讨论系统微观运动状态的量子描述以前，首先介绍量子物理的一个基本原理-微观粒子全同性原理。微观粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。这原理与经典物理关于全同粒子可以分辨的论断是完全不同的。

假如全同粒子可以分辨，确定由对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个个体量子态上的粒子数。 4、基本粒子的分类。

自然界中微观粒子可以分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自

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旋量子数为半整数的。例如电子、μ子、质子、中子等自旋量子数都是12，是费米子；自旋量子数是整数的，例如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

5、费米系统、玻色系统和玻耳兹曼系统

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理。泡利不相容原理说，在含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。在统计物理学的早期，玻耳兹曼把粒子看作是可以分辨的，并导出了这种粒子的统计分布。现在我们把由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻耳兹曼系统。我们举一个简单的例子说明玻耳兹曼系统、费米系统和玻色系统的区别。设系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个。现在考察对于玻耳兹曼系统、费米系统和玻色系统各有哪些可能的微观状态。

玻尔兹曼系统，粒子可以分辨，每一个体量子态能够容纳的粒子数不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态可以有以下的方式： ① ② ③ AB ④ A B ⑤ B A ⑥ A B ⑦ B A ⑧ A B ⑨ B A 量子态1 AB 量子态2 AB 量子态3 因此，对于玻尔兹曼系统，可以有9种不同的微观状态。

玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于粒子不可分辨，令A=B，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：

① ② ③ AA ④ A A ⑤ A A ⑥ A A 量子态1 AA 量子态2 AA 量子态3 因此，对于玻色系统，可以有6种不同的状态。

费米系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒

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子占据3个个体量子态有以下的方式：

① ② A A ③ A A 量子态1 A 量子态2 A 量子态3 因此，对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。

前面介绍了如何描述由全同近独立粒子组成的多粒子系统的微观运动状态，为后面讨论近独立粒子的统计分布作准备。在经典力学基础上建立的统计物理学成为经典统计物理学，在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。

6.4 等概率原理

本节讲述平衡态统计物理的基本假设-等概率原理。宏观状态与微观状态的区别。热力学与统计物理研究宏观物质系统的特性。宏观物质系统由大量微观粒子构成，其粒子数的典型数值为1023/mol。作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征。例如，对于一个孤立系统，可以用粒子数N、体积V和能量E来表征系统的平衡态。状态参量给定之后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值，系统处在一个确定的平衡态。系统的微观状态则是上节所讲述的力学运动状态。显然，在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生着及其复杂的变化。以理想气体为例，给定N、E、V只要求N个分子的质心坐标都在体积V之内，N个分子的能量总和为E。可以想见，大量的微观状态都可以满足这个条件，都是有可能实现的。由于分子间的频繁碰撞，微观状态不断地发生极其复杂的变化。

统计物理学认为，宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。为了研究系统的宏观特性，没有必要、实际上也没有可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此确定各微观态出现的概率是统计物理的根本问题。对于这个问题，玻耳兹曼在19世纪70年代提出了著名的

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等几率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。等几率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。似乎不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论上的正确性。

说 明：既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。

6．5 分布和微观状态

1、分布的概念

设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。

以εl?l?1,2,??表示粒子的能级，ωl表示能级εl的简并度。N个粒子在各能级的分布可以描述如下：

能 级 ε1,ε2,?,εl,? 简并度 ω1,ω2,?,ωl,? 粒子数 a1,a2,?,al,?

即能级ε1上有a1个粒子，能级ε2上有a2个粒子，……，能级εl上有al个粒子，……。为书写方便，以符号?al?表示数列a1,a2,?,al,?，称为一个分布。显然，对于具有确定N、E、V的系统，分布?al?必须满足条件： ?al?N， ?alεl?N

ll分布和微观状态是两个不同的概念。给定一个分布?al?，只能确定处在每一个能级εl上的粒子数al。如前所述，对于玻色系统和费米系统，确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。因此在分布给定后，为了确定玻色（费米）系统的微观状态，还必须对每一个能级确定al个粒子占据其ωl个量子态的方式。对于玻耳兹曼系统，确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的

主讲教师：

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个体量子态。因此在分布给定后，为了确定玻耳兹曼系统的微观状态，还必须确定处在每一能级εl上的是哪al个粒子，以及在每一能级εl上al个粒子占据其ωl个量子态的方式。由此可见，与一个分布?al?相应的微观状态往往是很多的。这微观状态对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统显然不同，下面分别加以讨论： 2、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的分布 （1） 玻耳兹曼系统

对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，若对粒子加以编号。al个编了号的粒子占据能级?l上的?l个量子态时，由于一个量子态可以容纳的粒子数不受限制，因此共有种ωll可能的占据方式。这就是说，在玻耳兹曼系统中，al个粒子占据能级?l上的?l个量子态时，是彼此独立、互不关联的。a1,a2,?,al,?个编了号的粒子分别占据能级ε1,ε2,?,εl,?上的各量子态共有?ωll种方式。玻耳兹曼

ala系统的粒子既然可以分辨，交换粒子将给出系统的不同状态。将N个粒子加以交换，不管是否在同一能级，交换数是N!。在这交换数中应除去同一能级上al个粒子的交换数al!。因此得因子N!?al!。所以，对于玻耳兹曼系统，与分布?al?l相应的微观状态数是：?M.B.?（2） 玻色系统

alN! ① ω?la!?lll粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子个数不受限制。首先计算

al个粒子占据能级εl上的ωl个 量子态有多少种可能方式。将量子态和粒子数编号后排成一行，最左方固定为量子态1，其余的量子态和粒子的总数是

?ωl?al?1?个，将它们加以排列共有?ωl?al?1?!种方式。因为粒子是不可分辨

的，应除去粒子间的相互交换数al!和量子态的交换数?ωl?1?!。这样可得到，al个粒子占据能级?l上的?l个量子态，有?ωl?al?1?!/al!?ωl?1?!种可能的方式。 将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布?al?相应的微观状态数为：

主讲教师：

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?B.E??l?ωl?al?1?! ② al!?ωl?1?!（3） 费米系统

粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。al个粒子占据能级?l上的?l个 量子态，相当于从?l个量子态中挑出al个来为粒子所占据（注意，有ωl!/al!ωl?al!种可能的方式。将各能级的结果相乘，就得到费米ωl?al）

系统与分布?al?相应的微观状态数为：

???F.D??lωl! ③

al!?ωl?al?!3、经典极限条件

如果在玻色系统或费米系统中，任一能级?l上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即

al??1 （对所有的l） ④ ωl则式②给出的玻色系统的微观状态数可以近似为：

?B.Ea?ωl?al?1?!?ωl?al?1??ωl?al?2??ωlωl??????al!?ωl?1?!al!al!llll??M.B. N!式③给出的费米系统的微观状态数也可以近似为：

?F.Dωl!ωl?ωl?1???ωl?al?1?ωll?M.B.?????????a!ω?a!a!a!N!lllllllla

式④称为经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。

4、经典统计中的分布和微观状态数

将μ空间划分为许多体积元?ωl?l?1,2,??。以εl表示运动状态处在?ωl内的

r粒子所具有的能量。由于粒子的微观运动状态由大小为h0的相格确定，?ωl内粒r子的运动状态为?ωl/h0，与量子统计中的简并度相当。这样，N个粒子处在各

?ωl的分布可以描述如下： 主讲教师：

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热力学与统计物理 课程教案 体积元 ?ω1,?ω2,?,?ωl,? 简并度

?ωl?ω1?ω2,,?,,? rrrh0h0h0能 级 ε1,ε2,?,εl,? 粒子数 a1,a2,?,al,?

如前所述，经典粒子可以分辨，处在一个相格内的经典粒子数没有限制。因此，在经典统计中与分布?al?对应的微观状态数?c1可以参照玻耳兹曼系统的

??ωlN!????M.B.直接写出为：c1?r?al!l??h0l??? ?al6．6 玻耳兹曼分布

上节求出了与一个分布?al?相对应的系统的微观状态数。根据等概率原理，对于处在平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。本节推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。

在推导玻耳兹曼分布以前，先证明一个近似等式（斯特令公式）

lnm!?m?lnm?1? 其中m是远大于1的整数。①

1、玻耳兹曼分布

由于???M.B.?alN! ②，玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布是使ω?la!?lll?为极大的分布。由于ln?随?的分布是单调的，可以等价地讨论使ln?为极

大的分布。将②式取对数得

ln??lnN!??lnal!??allnωl ③

ll假设所有的al都很大，可以应用①式的近似，则上式可化为：

ln??N?lnN?1???al?lnal?1???allnωl?NlnN??allnal??allnωlllll主讲教师：

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为求使ln?为极大的分布，我们令各al有δal的变化，ln?将因而有δln?的变化。使ln?为极大的分布?al?必使δln??0：

?alδln????ln??ωl?l???δal?0 ?但这些δal不完全是独立的，它们必须满足条件：

δN??δal?0，δE??εlδal?0

ll用拉格朗日未定乘子α和β乘这两个式子并从δln?中减去，得：

?al??δln??αδN?βδE????ln?α?βεl?δal?0 ?ωll??根据拉氏乘子法原理，每个δal的系数都等于零，所以得：ln即：al?ωle?α?βεlal?α?βεl?0， ωl。此式给出了玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为麦克斯

韦-玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布。 2、几点说明：

（1）、上面只证明了玻耳兹曼分布使ln?的一级微分等于零，即使ln?取极值。要证明这个极值为极大值，还要证明玻耳兹曼分布使ln?的二级微分小于零。请同学们课后证明

（2）、玻耳兹曼分布出现的概率是最大的。

（3）、在前面的推导中，对所有的al都应用了①式的近似，这个条件实际上往往并不满足。

（4）、前面的讨论中，假设系统只有一种粒子，即系统是单元系，这个限制不是原则性的，可以推广到含有多个组元的情形。

（5）根据前面的推导，可以直接写出经典统计中玻耳兹曼分布的表达式：

al?e?α?βεl?ωl rh0?ωl?α?βεl?ωl， E?εe?lrrh0h0l16

其中α、β满足：N??e?α?βεll主讲教师：

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6．7 玻色分布和费米分布

本节导出玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布。

考虑处在平衡态的孤立系统，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。 以εl?l?1,2,??表示粒子的能级，ωl表示能级εl的简并度。以?al?表示处在各能级上的粒子数。显然分布?al?必须满足条件： ?al?N， ?alεl?N ①

ll才可能实现。上节导出了与一个分布?al?相应的系统的微观状态数?。 玻色系统的?为：???l?ωl?al?1?! ②

al!?ωl?1?!ωl! ③

al!?ωl?al?!费米系统的?为：???l根据等概率原理，对于处在平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，使?为极大的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。 1、玻色分布

先考虑玻色系统。对②式取对数，得

ln???ln?ωl?al?1?!?lnal!??lnωl?1?!

l假设al??1,ωl??1，因而ωl?al?1l?ωl?al,ωl?1l?ωl，且可用斯特令公式可得：

??ln?????ωl?al?ln?ωl?al??allnal?ωllnωl?

?l?令al有δal的变化，ln?将因而有δln?的变化。使?为极大的分布?al?必使

δln??0：

δln????ln?ωl?al??lnal?δal?0

l但是各δal不是任意的，必须满足条件：

δN??δal?0，δE??εlδal?0

ll主讲教师：

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用拉氏乘子α和β乘这两个式子，并从δln?中减去，得：

δln??αδN?βδE????ln?ωl?al??lnal?α?βεl?δal?0

l根据拉氏乘子法原理，上式中每一个δal的系数都必须为零，所以得：

ln?ωl?al??lnal?α?βεl?0，

即：al?ωleα?βεl?1。此式给出了玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为玻色-

爱因斯坦分布或玻色分布。 2、费米分布

现在推导费米系统的最概然分布。将式③取对数，得

ln???lnωl!?lnal!?ln?ωl?al?! ③

l假设al??1,ωl??1,ωl?al??1，则上式可近似为：

ln????ωllnωl?allnal??ωl?al?ln?ωl?al??

l根据上式的ln?，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为：al?ωleα?βεl?1

上式称为费米-狄拉克分布。

6．8 三种分布的关系

前面导出了玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布 玻耳兹曼分布为：al?ωle?α?βεl ① 玻色分布为：al?ωleα?βεl?1 ②

费米分布为：al?ωleα?βεl?1 ③

其中参数α和β由下述条件确定：

主讲教师：

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?al?N， ?alεl?N

ll由玻色分布和费米分布可以看出，如果参数α满足条件：eα??1，则式②和式③分母中的?1就可以忽略。这时玻色分布②和费米分布③都过渡到玻耳兹曼分布①式。当满足eα??1时，显然：

al。所以上述两个条件是等价??1（对所有l）

ωl的，都称为经典极限条件或非简并性条件。此时有：

?F.D??M.B.??B.E N!在§6.6我们是在粒子可以分辨的假设下导出玻耳兹曼分布的。自然界中有些系统可以看作由定域的粒子组成，例如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分。在这意义上可以将定域粒子看作可以分辨的粒子。因此，由定域粒子组成的系统（称为定域系统）遵从玻耳兹曼分布。

值得注意，定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的。前者为?M.B.后者为?M.B./N!。因此，对于那些直接由分布函数导出的热力学量（例如内能、物态方程）,两者具有相同的统计表达式。然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异。

主讲教师：

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