高三数学专题复习_一元二次不等式及其解法

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高三数学专题复习一元二次不等式及其解法一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集 若 a>0 时. (1)若Δ>0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点， 即方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 (x1<x2),那 {x|x<x1 或 x>x2} 么，不等式 ax2+bx+c>0 的解集是________________,不等式 {x|x1<x<x2} ax2+bx+c <0 的解集是_____________. (2)若Δ=0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个交 b , 点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，x1=x2=2a

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那么不等式 ax2+bx+c>0

b x x 2a 的解集是___________,不等式

ax2+

bx+c<0 的解集是___.(3)若 Δ<0,此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴无交点，即 方程 ax2+bx+c=0 无实数根，那么，不等式 ax2+bx+c>0 的 R 解集是____,不等式 ax2+bx+c<0 的解集是___. 若 a<0 时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述(1)、 (2)、(3)情况求解.

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x-2 1.不等式 ≤0 的解集是( D ) x+1 A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞) 2 x 1 是实数集，M= x

B.[-1,2] D.(-1,2]

2.已知 R N∩ RM=( B ) A.(1,2) C.

,N={y|y= x-1},则

B.[0,2] D.[1,2]

解析： 因为 M={x|x>2 或 x<0}, RM=[0,2], N=[0, +∞), 故 N∩ RM=[0,2].

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3.下列给出的四组不等式中，同解的是(C ) A. x-2(x2-4x+3)<0 与 x2-4x+3<0 x-1 2 x-2 B. ≥0 与(x-1)(x-2)≥0 x-1 2x-3 C. >0 与(2x-3)(x-5)>0 x-5 x2-2x-6 D. <1 与 x2-2x-6<2x-1 2x-1

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4.一元二次不等式 ax +bx+2>0 +b 的值是( D ) A.10 B.-10

2

1 1 的解集是 -2,3 ,则

a

D.-14 1 1 1 1 2 解析：方程 ax +bx+2=0 的两个根为-2和3,-2+3=

C.14

1 1 2 b -a,-2×3=a,a=-12,b=-2,a+b=-14. {x|x≥3 或 x=-1} 5.不等式(x-2) x2-2x-3≥0 的解集是_______________________.

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考点 1 解一元二次不等式 例 1:解不等式：0<x2-x-2<4.解题思路：利用数轴求交集比较直观、简洁. 解析：原不等式相当于不等式组① , ② 不等式①的解集为{x|-2<x<3}, 不等式②的解集为{x|x<-1 或 x>2}. 因此原不等式的解集为： {x|x<-1 或 x>2}∩{x|-2<x<3} ={x|-2<x<-1 或 2<x<3}. x2-x-2<4 2 x -x-2>0

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解一元二次不等式的关键是分解因式，必要时求出 相应的一元二次方程的根. 【互动探究】1 1 1.不等式 x <2的解集是( D )

A.(-∞,2) C.(0,2)

B.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

1 1 1 1 2-x 解析：由 x <2得：x -2= 2x <0,即 x(2-x)<0.

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考点 2 解分式不等式及高次不等式法 例 2:解不等

式：(x2-1)(x2-6x+8)≥0. 解题思路：先分解因式，再标根求解. 解析：原不等式 (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≥0,各因式根 依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如图 5-2-1:

图 5-2-1 所以不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,2]∪[4,+∞). 求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法，要

注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.

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【互动探究】 x2+2x 2.不等式 ≥0 的解集为( A ) 3-x A.(-∞,-2]∪[0,3) B.[-2,0]∪(3,+∞) C.[-2,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0]∪(3,+∞)

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考点 3 含参数不等式的解法 例 3:解下列关于 x 的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 解题思路：比较根的大小确定解集. 解析：原不等式等价于(x-a)(x-a2)>0. 当 a<0 时，有 a<a2,原不等式的解集为：{x|x<a 或 x>a2}. 当 a=0 时，原不等式的解集为：{x|x≠0}. 当 0<a<1 时，有 a>a2,原不等式的解集为：{x|x<a2 或 x>a}. 当 a=1 时，原不等式的解集为：{x|x≠1}. 当 a>1 时，有 a<a2,原不等式的解集为：{x|x<a 或 x>a2}. 解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论： (1)根据二次项系数(大于 0,小于 0,等于 0); (2)根据根的判别式讨论( Δ >0, =0,Δ<0); (3)根据根的大小讨论(x1>x2,x1=x2,x1<x2).

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【互动探究】 3.解关于 x 的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.解：原不等式可以化为(ax-1)(x-1)<0. (1)当 a=0 时，x>1. 1 (2)当 a<0 时，x<a或 x>1. (3)当 a>0 1 x- (x-1)<0. 时，上面不等式可化为 a

1 ①当 0<a<1 时，1<x<a; ②当 a=1 时，解集为 ; 1 ③当 a>1 时，a<x<1.

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错源：特殊情形考虑不周 例 4:解不等式(x+2)2 (x+3)(x-2)≥0. 误解分析：忽视(x+2)2≥0 这一条件的影响， 将等式的运 算性质套用到不等式运算中导致漏解. 正解：原不等式可化为：(x+2)2 (x+3)(x-2)=0 ①, 或(x+2)2 (x+3)(x-2)>0 ②, 解①得：x=-3 或 x=-2 或 x=2. 解②得：x<-3 或 x>2. ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2 或 x=-2}.

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纠错反思：在解高次不等式和分式不等式时,若因式出现了( x  )2n, 故在数轴标根时是无需改变符号的. 若出现 ( x  )2n+1 , a b

则只要用 ( x  ) 替代即可. b

【互动探究】{x|x>-1 且 x≠2} 4.不等式|x-2|· x+1>0 的解集为_______________.

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例 5:若不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的所有 m 都 成立，求 x 的取值范围. 解题思路：将原不等式变形，再利用一次函数的单调性或 不等式性质求解. 解析：方法一：原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0. 令 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2). f -2 =-2 x2-1 - 2x-1 <0 则 2 f 2 =2 x -1 - 2x-1 <0

,

-1+ 7 1+ 3 解得 <

x< 2 . 2 方法二：把已知不等式视为关于 m 的不等式.

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(1)当 x2-1=0 时，即 x=± 时，不等式变为 2x-1>0, 1 1 即 x>2,∴x=1,此时原不等式恒成立. 2x-1 (2)当 x -1>0 时， 2 使 >m 对一切|m|≤2 恒成立的充要 x -12

2x-1 1+ 3 条件是 2 >2,∴1<x< 2 . x -1 2x-1 (3)当 x -1<0 时， 2 使 <m 对一切|m|≤2 恒成立的充要 x -12

2x-1 -1+ 7 条件是 2 <-2.∴ <x<1. 2 x -1 由(1)(2)(3)知原不等式的解集为 x

7-1 3+1 <x< 2 . 2

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在解含参数不等式时，通常需变形，再利用其 性质求解.

【互动探究】 5.已知函数 f(x)=x3+x,对任意 m∈[-2,2],f(mx-2)+ 2 -2, 3 f(x)<0 恒成立，则 x 的取值范围为____________.解析：因为 f(x)=x3+x 在 R 上既是奇函数，又单调递增， 由 f(mx-2)+f(x)<0 得 f(mx-2)<-f(x)=f(-x), mx+x-2<0, 即 设 g(m) = mx + x - 2 , 对 任 意 m ∈ [ - 2,2] 恒 成 立 ， 有 g -2 =-2x+x-2<0 g 2 =2x+x-2<0

2 ,解得-2<x<3.

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1.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因 式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数 要求为正数) 2.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函 数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后要写上： “综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论，最后应 按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并 集.

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