初等代数的超越函数 李臣杰

初等代数中的超越函数的解法

初等代数研究 学号:201108140414 班级:数信院2011级4班 作者:李臣杰 初等代数中的超越函数的解法

班级：数学与信息学院2011级4班

学号：201108140414

姓名：李臣杰

摘要：众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法和启示。而超越函数是初等函数中的一个难点。

关键词：初等函数、超越函数、解法

牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如

sinx1?x2，，e等函数. 在阻尼振动、热传导与正xlnx态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.

在大学数学课程的学习中，我们已经掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.

五种解法

(1)基于幂级数展开法求积分

引理1 若函数项级数

[1]

?u?x?在区间?a,b?上一致收敛，且每一项都连续，则

n?? 例1 求定积分

1baun?x?dx??ba?u?x?dx.

nlnx?01?xdx. lnxlnxlnx分析 注意到在?0,1?内连续，且lim???,lim?1. ??x?0x?11?x1?x1?x若定义函数

x?0,???,??lnxf?x???,0?x?1,

?1?xx?1,??1, 显然，f(x)在点x?0,x?1为可去间断点，故f?x?在?0,1?上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.

解 因为

2

lnx???n?1??1?x?nn,?1?x?1?,

所以

n?1n?1??1?x?11?1?x???lnxdx. ??dx???0??01?xdx??01?x????nnn?1?n?1?1又因为级数

?n?1??1?x?nn?1

在区间

?0,1?上一致收敛，且通项

1?1?x?nn?1连续，所以得到

n?1??1?1?x?lnx1?2dx???2??.■ ?01?xdx????0n6n?1n?1n

（2）基于柯西积分公式求积分 引理2（柯西积分公式）

[2]

设区域D的边界是周线（或复周线）C，函数f?z?在D内

解析，在D?C上连续，则有

f?z??2?i?例2 求定积分

f???d?,?z?D?. c??z??0ecos?cos?sin??d?.

分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.

ezezdz,?|C|?1?，其中f?z??，利用柯西积分公式得 解 考察复变积分?CzzI?2?ie0?2?i. (1)

ez 令z?cos??isin?，代入得

z2?ezecos??isin??Czdz??0cos??isin?d?cos??isin??

???cos??isin??e02?cos??isin?d?cos??isin??

3

??2?02??ecos??eisin??id?

??ecos???cos?sin???isin?sin????id?0 ?又因为ecos??2?0cos?cos???esinsin??iecos?sin???????d?, (2)

cos?sin??在?0,??上为偶函数, 所以由(1)和(2)可得

??0ecos?cos?sin??d???.■

注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区

域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.

(3)基于留数理论求积分

[2]

引理3（柯西留数定理） 若f?z?在周线或复周线C所围的区域D内除

?1,?2,....,?n外解析，在闭域D?C上除?1,?2,....,?n外连续，则

sf?z?. ?f?z?dz?2?i?Re?Ck?1z?kni? 引理4（若当尔引理） 设函数g?z?沿半圆周CR:z?Re(0????,R充分大)上

[2]

连续，且limg?z??0在CR上一致成立，则

R???R???CRlim?g?z?eimzdz?0?m?0?.

i? 引理5

[2]

设f?z?沿圆弧Sr:z?a?re??1????2,r充分小?上连续，且在Sr上

一致成立极限

lim?z?a?f?z???，

r?0则有极限

lim?f?z?dz?i??2??1??.

r?0Sr 例3 计算积分

sinx?0xdx. +?sinx解 因为积分?dx存在，且

0x+?sinx??sinx1=?0xdx2P.V.???xdx.

+?4

eiz考虑函数f?z??沿图1所示闭曲线路径C的积分

z

图1 闭曲线路径C

根据柯西积分定理得

?f?z?dz?0,

c或改写成

?由引理4知

Rrix?reeixeizeizdx??dz??dx??dz?0, (3)

CRz?RxCrzx其中CR,Cr分别表示半圆周z?Re及z?rei?i??0????,r?R?.

eizlim?0. R????CRz由引理5知

eizlim?dz?i?. r?0Crzeix在式(3)中，令r?0,R???，得?dx的主值为

??xix??eP.V.?dx?i?.

??x??所以

?+?????sinx?sinx1dx=P.V.?dx=.■

??2x2x

(4)基于拉普拉斯变换法求积分 从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解上题，相对比较简单.

引理6 由积分F?s??[3]

???0e?stf?t?dt所定义的确定于复平面?Res???上的复变

数s的函数F?s?，称为函数f?t?的拉普拉斯变换，其中f?t?于t?0有定义，且满足不等式

f?t??Me?t，这里M,?为某两个正数，称f?t?为原函数，而F?s?称为像函数.

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