第三章 - - 几何光学的基本原理 - 图文

第三章 几何光学的基本原理

3.眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板（如图所示），平板的厚 度d为30cm。求物体PQ的像P?Q?与物体PQ之间的距离d2为多少？ 已知：n?1，n??1.5，d?30cm 求：d2?? 解：

由图可知 dQN2?QQ??sini，

1设QN?x，即光线横向的偏移，则 dx2?sini （1）

1在入射点A处，有 nsini1?n?sini2

在出射点B处，有 n?sini2?nsini1? ，因此可得 i1?i1? 即出射线与入射线平行，但横向偏移了

x。

由图中几何关系可得： x?ABsin?id1?i2??cosisin?i1?i2?

2 1

又因为 i1和i2很小，所以 cosi2?1， sin?i1?i2??i1?i2 而 ni1?n?i2 ，所以 i2??i1??i1

nnn1?n??1?1??x?di? （2） 1?则 x?d?i1?i2??d?i1??i1? ，即 ?nn????（2）式代入（1）式得 d2?d?n??1??1.5?1?1i1?????d?d?10cm i1?n???1.5?36.高5cm的物体距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求像的位置及高度，并作光路图。

已知：y?5cm， s??12cm，f???10cm 求：s??? y??? 作光路图

111??解：根据 ss?f?

得

?111111???????s?f?s101260 ，

s???60cm

y?s?n又据 y?s?n? ，而 n???n

所以得 y???光路图（?s??60y???5??25cm s?12f??r??10cm,?2r??20cm）C

为圆心。

7. 一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处，成1cm高的虚像。求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？ 已知：y?5cm，y??1cm，s??10cm

2

求：r??此镜是凸面镜还是凹面镜？ 解：根据反射镜 ??y??s 得： s???y?1s?????10??2cm y5y?s?112??又由 ss?r ， 得 r?5cm＞0 ，所以此镜是凸面镜。

8.某观察者通过一块薄玻璃去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？ 已知：f??10cm，AO?s??40cm 求：d??

解：如图所示，设人眼位于A处， 其距平板玻璃为d。人眼经玻璃反射所成的像为A?，且 AO??O?A??d

人眼经凸面镜反射所成的像也

111??位于A?处，则由 ss?f?

111111???????可得： s?f?s10?408 ，

s??8cm

又因为 OO??d?s???s?d，?d??s?s?40?8??24cm 229.物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两

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表面互相平行的玻璃板，其厚度为d1，折射率为n。试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d?n?1?/n的一段距离的效果相同。 已知：d1，n

试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d?n?1?/n的一段距离的效果相同。

证明：如图所示，没有平板玻璃时，对于凹面镜来说，物是AB；而放入平板玻璃后，物经平板玻璃折射成像为A?B?，则A?B?即为凹面镜的物。

而由题3（P222）可知：BB??d2?n?1d1 nn可见，加入平板玻璃后，凹面镜物距减少了n?1d的一段距离。 证毕

10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？ 已知：s??，s??2r， 求：n???

解：根据题意，仅对左半球作一次折射成像，便可以解题。设球面半径r，

?f?f??1??s?sf?f??1 则根据 ? ，得

s???f??n?r?n??1?n所以 f??s? 或 ?r?2r ，解得 n??2

n?1? 4

11.有一折射率为1.5、半径为4cm的玻璃球，物体在距球面6cm处，求：（1）从物体所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。 已知：n??1.5，r?4cm，s1??6cm 求：（1）B?C??（2）???

解：（1）物体AB经玻璃球两次折射成像于A?B?。用逐次成像法求像距：

n?nn??n根据 s??s?r 第一次经左球面折射成像，

1.511.5?1有 s??s?4 ，s1??6cm

11???36cm ， 即像位于O点左侧36cm处，为虚像。 解得：s1第二次经右球面折射成像，

1.01.51.0?1.5???有 s?s242??r??4cm?

??2r??36?2???4???44cm s2?s1解得： s?2?11cm ， 即像位于O?点右侧11cm处，为实像。 因此，最后所成的像到球心C的距离为： B?C?CO??s?2?4?11?15cm （2）像的横向放大率为 ???1??2??s?s1?3611?2????1.5 s1s2?6?44 即最后的像为一个倒立的、放大的实像。

12.一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡。看上去一个恰好

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在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点。求两气泡的实际位置。

已知：n??1.0，n?1.53，r?求：两气泡的实际位置。

20?10cm 2?处。 解：根据题意，可以设两个气泡A1、A2分别置于球心C点和A2观察者在球外观察到的是两气泡经玻璃球折

?，如图所示。 射所成的像A1?和A2对于A1气泡：由于它位于球心，而从球心C发出 的光射到球面时，其折射线不改变方向，因此，

A1的像A1?仍在A1点处。（也可以用折射成像公

式验证）

2??对于另一气泡A2：假设 s?r??5cm 2n?nn??n11.531?1.53???则根据 s?s得 ?5?s??10 ，r ，2s2??6.047cm为实物，

即气泡A2在离中心CO?A2O?10?6.047?3.953cm处。

13.直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。 已知：r?1?0.5m?50cm，n??1.0，s??r 2求：s???，???

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n?nn??n解：根据 s??s? ?r 得 s??n?1.0???r

nn??nn1?n??s?r?rr即缸外观察者所看到的小鱼仍在球心处。 横向放大率为： ??s?n??n?n水?1.33 sn?14.玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm。若将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。

已知：n??1.5，n?1.33，s??8cm，r?2cm 求：s???，??? 作光路图

n?nn??n解：根据 s??s?r 得 s??n?1.5???18.52cm

nn??n1.331.5?1.33??sr?82s?n?18.521.33而 ??s?n???8?1.5?2.05?2

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算得 f??1.331.5?2??15.65cm ，f???2?17.65cm

1.5?1.331.5?1.3315.有两块玻璃透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸在水中，分别用作图法和计算法求像点位置。设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

已知：由题意可知，两块玻璃透镜一块为凸透镜，一块为凹透镜，并且 s??20cm，n?1.33，n??1.5，r?10cm 求：s???

解：（1）对凸薄透镜：f??nn??n?1.33?39.12cm r?n?n?1.5?1.331.33?1.5r?1210?10 所以由 1s??1s?1f?，得 s??11?11??40.8cm

s?1f??20?139.12n1.33（2）对凹薄透镜：f??n??nn?n??1.5?1.331.33?1.5??39.12cm r?r?12?1010 s??111?11??13.25cm

s?f??20?1?39.12

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16.一凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中时焦距为136.8cm，问此透镜的折射率为多少（水的折射率为1.33）？若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为1.62），其焦距又为多少？

已知：f1??40cm，n?1.0，

f2??136.8cm ，n?1.33

求：（1）n???（2）若n?1.62，则 f3??? 解：根据

n??f n??nn?n? ，设 r1?r2?r

?r1r211.33??f??40f?则有： 1n??11?n? ，2n??1.331.33?n??136.8

??r?rr?r解得：

n??1.54 ， r?43.2cm

1.621.62?43.2???437.4cm??4.374m 1.54?1.621.62?1.542??1.54?1.62??r?r（2）

f3??这时该透镜具有发散作用。

17.两片极薄的表玻璃，曲率半径分别为20cm和25cm。将两片的边缘粘起来，形成内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距为多少？ 已知：r1?20cm，r2??25cm，n?1.33，n??1.0 求：f???

n??f解：根据 n??nn?n?

?r1r2 9

得

f??1.33??44.8cm ，可见，该透镜为发散透镜。 1?1.331.33?1?20?2518.会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm，求（1）与主轴成30?的一束平行光入射到每个透镜上，像点在何处？（2）在每个透镜左方的焦平面上里主轴1cm处各置一发光点，成像在何处？作出光路图。 已知：f1??10cm，f2???10cm 求：（1）以??30?角方向入射，s???

（2）s??10cm，y?1cm时 ，s???

解：（1）如图所示

（2）根据 1s??1s?1f?

可知，当物点位于凸透镜的焦平面上时，其成像于无穷远处。 而对于凹透镜，则成像于如图所示的位置： 且 s??11?11??5cm

s?1f??10?1?10 y??s??5sy??10?1?0.5cm

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19.图(a)、(b)所示的MM?分别为一薄透镜的主光轴，S为光源，S?为像。用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。 解：

20.比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成，两半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用挡光的光阑K挡住其间的空隙（如图所示），这时可在屏上观察到干涉条纹。已知点光源P与透镜相距300cm，透镜的焦距f??50cm，两半透镜拉开的距

cm。用波长为632.8nm的氦氖激光作为光源，离t?1mm，光屏与透镜相距l?450求干涉条纹的间距。

cm，f??50cm，t?1mm，l?450cm，??632.8nm 已知：s??300求：?y??

解：如图所示，根据光路图可得单色点光源通过透镜后成实像于P1、P2点，则干涉现象等效于由两个新光源P。 1、P2产生的“双缝干涉”根据双缝干涉的条纹间距公式： ?y?r0? d 11

其中r0为光源到屏的距离，即P1P2到屏的距离，d为P1、P2之间的距离。 而光源P经透镜所成像的位置为： s??111?sf??111??30050?60cm

?即P1P2到O点的距离。所以 r0?l?s?450?60?390cm

3601mmP1P2PP??又因为 300cm?300?60?cm ，所以 12300?1?1.2mm?d

?y?r0390?7???632.8?10?0.206cm?2.06mm d1.2?10?121.把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去，C的宽度为1cm，把余下的两部分粘起来（如图所示）。如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求像的位置。 已知：f??10cm，y?0.5cm，s??5cm 求：s??? 解：

如图（b）所示，该情况可以看作两个分别被截去一部分的透镜LA和LB构成。但是，对于透镜LA，其光心下移到OA处，而主光轴下移到OAFA；对于透镜LB，其光心上移到OB处，而主光轴上移到OBFB。

由题设条件可知，光源P在LA的左方OAFA主光轴的上方成一虚像PA；在LB的

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左方OBFB光轴的下方成一虚像PB；因焦距和物距没有变化，故虚像PA、PB的像距均

sf??5?10?s????10cm 为 ?f?s10?524.显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距为3cm的目镜组成，物镜与目镜之间的距离为20cm，问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛25cm处？作出光路图。 已知：f1??1cm，f2??3cm，O1O2?20cm，s?2??25cm 求：s1?? 作出光路图。

111??解：根据 s?sf?

s?2?111?s2f2??111??253??75cm＜28得

f2??3cm

??O1O2?s2?20?所以 s175485?cm 2828

s1?111??f1?s1?1485????1.06cm 281457?4851即物体放在物镜左侧距离1.06cm处。

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25.图中L为薄透镜，水平横线MM?为主轴。ABC为已知的一条穿过这个透镜的光线的路径，用作图法求出任一条光线DE穿过透镜后的路径。

26.图中MM?是一厚透镜的主轴，H、H?是透镜的主平面，S1是点光源，S1?是

?的位置。 点光源的像。试用作图法求任一物点S2的像S2

光

路图

27.双凸薄透镜的折射率为1.5，r1?10cm，r2?15cm，r2的一面镀银，物点P在透镜前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图。 已知：n?1.0，n??1.5，r1?10cm，r2?15cm，s1??20cm 求：s??? 作出光路图

解：此题物点P经过三次成像。题中距离的起点均从光心O点算起。

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第一次成像：物点经过薄透镜左侧凸面镜折射成像。

1.511.5?1n?nn??n????? 由 s?s??2010 ， r ，得 s1??? s1第二次成像：无穷远处的物经薄透镜右侧的凹面反射成像。

112112???? 由 s?sr ， 得 s???15 ?2s?2??7.5cm

第三次成像：第二次所成的像经薄透镜左侧凹面镜折射成像。

1.01.51?1.5n?nn??n??由 s??s?r ，得 s??7.5 ， ?103???4cm s3即最后成像于薄透镜左侧4cm处。

28.实物与光屏间的距离为l，在中间某一位置放一个凸透镜，可使实物的像清晰地投于屏上。将透镜移过距离d之后，屏上又出现一个清晰的像。（1）试计算两个像的大小之比；（2）证明透镜的焦距为?l2?d2?/4l；（3）证明l不能小于透镜焦距的4倍。

??l，?s2?s?已知：?s1?s12?l，d

?y1l2?d2求：（1）y??? （2）求证 f?? ；（3）l4l2?4f?

解：（1）如图所示，物体AB与屏之间 距离l保持不变；透镜放在O处时成清晰像，放在O?处时也成清晰的像。

111??根据 s?sf? ，

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f?ff?6??1?s???8cm 由 s? ， 得 f?5s1?1?s?2036.将灯丝置于空心玻璃球的中心，玻璃球的内外直径分别为8cm和9cm。求（1）从球外观察到的灯丝像的位置（设玻璃折射率n?1.5）；（2）玻璃温度计管子的内外直径分别为1mm和3mm，求从侧面观察到的直径的数值；（3）同一温度计竖直悬挂于直径100mm的盛水玻璃烧杯的正中，从较远处通过烧杯壁观察时，温度计的内外直径为多少？

已知：r1??4cm，r2??4.5cm，n?1.5，s??4cm

求：（1）s???（2）若r1??0.5mm ，r2??1.5mm，求直径的像； （3）r3??50mm，温度计内外直径为多少？ 解：（1）此时可以把玻璃球壁视为厚透镜，则其焦距可由

?11??n?1??1 f???n?1??r?r?nrr?

212?1?? 得 ??0.5??????108 f?4?4.51.5?4?4.5??1?110.5?0.5?1 所以 f???108cmcm

111?又据 f?s??s ， 可得灯丝的像距

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s??111?sf??111??4?108??3.86cm??4cm，即像仍在球心附近。

39.一弯凸透镜两个表面半径r1和r2分别为-20cm和-15cm，折射率为1.5，在r2的凸面镀银。在距r1球面左侧40cm处的主轴上置一高1cm的物，试求最后成像的位置和像的性质。

已知：r1??20cm，r2??15cm，n?1.5，s1??40cm，y?1cm 求：s??? 像的性质。

解：此题物体AB经过三次成像。题中距离的起点均从光心O点算起。 第一次成像：物体经过薄透镜左侧凹面镜折射成像。

1.511.5?1n?nn??n????? 由 s?s??40?20 ， r ，得 s1???30cm s1 ?1??1.0??30?1ns1??? ，即成一个正立的、缩小的虚像。 n?s11.5??40?2第二次成像：上述的虚像经薄透镜右侧的凹面反射成像。

112112?? 由 s??s?r ，s2??30cm 得 s??30?15 2?s?2??10cm ， ?2??s??1012???? s2?303即成一个倒立的、缩小的实像。

第三次成像：第二次所成的像经薄透镜左侧凹面镜折射成像。

n?nn??n由 s??s?r ，s3?10cm，r3?20cm，n?1.5，n??1.0

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得 1.01.51?1.5s??10?20 ， ?s?33?8cm ?ns3?1.5?8?63?n?s? 31.0105即成像于薄透镜左侧8cm处，为一个倒立的、放大的实像。 总放大率为 ???2?2?3?12?????1?3???65??15 即最后成像于薄透镜左侧8cm处，为一个倒立的、缩小的实像。

第三章 几何光学的基本原理

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