1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

(1) 设lim(x??一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

x?2ax)?8,则a?___________. x?a(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为

___________.

(3) 微分方程y???2y??2y?e的通解为___________. (4) 函数u?ln(x?xy2?z2)在A(1,0,1)点处沿A点指向B(3,?2,2)点方向的方向导数

为___________.

?102???(5) 设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B??020?,则r(AB)?___________.

??103???

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知

(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分,则a等于 ( )

(x?y)2(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(2) 设f(x)有二阶连续导数,且f?(0)?0,lim?x?0f??(x)?1,则 ( ) |x|(A) f(0)是f(x)的极大值 (B) f(0)是f(x)的极小值

(C) (0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点

(D) f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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?(3) 设an?0(n?1,2,),且?an收敛,常数??(0,),则级数?(?1)n(ntan)a2n

n2n?1n?1??? ( )

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与?有关 (4) 设f(x)有连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)?k?x0(x2?t2)f(t)dt,且当x?0

时,F?(x)与x是同阶无穷小,则k等于 ( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

a10(5) 四阶行列式

0b40a2b300b2a30b10的值等于 ( ) 0a4 (A) a1a2a3a4?b1b2b3b4 (B) a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C) (a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4) (D) (a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.) (1) 求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.

(2) 设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,),试证数列?xn?极限存在,并求此极限.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)

(1) 计算曲面积分

22z?x?y(0?z?1),其,其中为有向曲面(2x?z)dydz?zdxdyS??S法向量与z轴正向的夹角为锐角.

?u?x?2y,?2z?2z?2z?2z?2?0化简为?0,求常数a,其(2) 设变换?可把方程62??x?x?y?y?u?vu?x?ay?中z?z(x,y)有二阶连续的偏导数.

五、(本题满分7分) 求级数

1的和. ?2n(n?1)2n?2?

六、(本题满分7分)

设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式. x?0

七、(本题满分8分)

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|f(x)|?a,|f??(x)|?b,其中a,b都是非

负常数,c是(0,1)内任一点,证明|f?(c)|?2a?

八、(本题满分6分)

设A?E???,其中E是n阶单位矩阵,?是n维非零列向量,?是?的转置,证明：

2(1) A?A的充要条件是???1；(2) 当???1时,A是不可逆矩阵.

TTTTb. 2

九、(本题满分8分)

222已知二次型f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2.

(1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1) 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A和B的产品分别占60%和

40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是__________. (2) 设?、?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(12))的随机变量,则随机变量 2???的数学期望E(???)?__________.

十一、(本题满分6分.)

设?、?是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布律为P???i??1, 3i=1,2,3,又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1) 写出二维随机变量(X,Y)的分布律：

X Y 1 1 2 3 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

2 3 (2) 求随机变量X的数学期望E(X).

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)【答案】ln2

【解析】这是1型未定式求极限.

3axx?2ax3ax3?aa?x?a)?lim(1?)方法一： lim( ,

x??x?ax??x?a?

令

3a?t,则当x??时,t?0, x?a13ax3?aa)?lim(1?t)t?e, 则 lim(1?x??t?0x?a学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

3ax3alimlimx?2axx??x?ax??1)?e?e?e3a. 即 lim(x??x?a由题设有e3a1?8,得a?ln8?ln2.

3xxx?2a2a?2a??2a??2a?1?lim1??1??????x??e2ax?x??x?2a???3ax?lim?lim???e方法二：lim?, ???x??xx?ax??x??a??(?a)e?x?a??a??1??a?a?1???lim?1??x???x?x???x?x由题设有e3a1?8,得a?ln8?ln2.

3(2)【答案】2x?2y?3z?0

【解析】方法一：所求平面过原点O与M0(6,?3,2),其法向量n?OM0??6,?3,2?；平面垂直于已知平面4x?y?2z?8,它们的法向量也互相垂直：n?n0??4,?1,2?；

i由此, n//OM0?n0?6jk?32??4i?4j?6k.

4?12取n?2i?2j?3k,则所求的平面方程为2x?2y?3z?0.

方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点M0(6,?3,2)的向量

OM0??6,?3,2?,另一是平面4x?y?2z?8的法向量n0??4,?1,2?)平行的平面,

x即 6yz?32?0,即 2x?2y?3z?0.

4?12x(3)【答案】e(c1cosx?c2sinx?1)

【解析】微分方程y???2y??2y?e所对应的齐次微分方程的特征方程为

xr2?2r?2?0,解之得r1,2?1?i.故对应齐次微分方程的解为y?ex(C1cosx?C2sinx).

由于非齐次项e,??1不是特征根,设所给非齐次方程的特解为y(x)?ae,代入

?x*xy???2y??2y?ex得a?1(也不难直接看出y*(x)?ex),故所求通解为

y?ex(C1cosx?C2sinx)?ex?ex(C1cosx?C2sinx?1).

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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