第一部分 数量关系 - 数学运算

第一部分 数量关系——数学运算

第一章 数学运算快解必备

第一节 数学运算必备知识 核心考点一 整除的判定

一个整数（100）除以另一个非零整数（5），商为整数（20），余数为零（0），就说这个整数（100）可以被另一个整数（5）整除。整除具有两个重要性质：

1.可传递性

A能被B整除，B能被C整除，则A能被C整除。如42能被14整除，14能被7整除，则42能被7整除。

2.可加减性

A能被C整除，B能被C整除，则A+B、A-B都能被C整除。如21能被3整除，12能被3整除，21+12=33能被3整除、21-12=9能被3整除。

在数学运算中，需要重点掌握判定一个数能否被3、9、5、8、6整除的方法。如下表所示：

判定方法 示例 如7725，各位数字之和是21,21是3的倍数，则7725能被3整除 如6084，各位数字之和是18,18是9的倍数，则6084能被9整除 如35,105,1750,2680都能被5整除 如9872,872÷8=109，则9872能被8整除 如162,2334,3576都能被6整除 能被3整除 各位数字之和是3的倍数 能被9整除 各位数字之和是9的倍数 能被5整除 末位数字是0或5 能被8整除 末三位数字是8的倍数 能被6整除 能同时被2和3整除

核心考点二 质数与合数

1.质数与合数 质数 合数 概念 只能被1和它本身整除 示例 7职能被1和7整除，为质数 8除了能被1和8整除外，还可以被2和4整除，为合数 除了1和它本身之外，还可以被其他数整除 1

注意：2是唯一一个是偶数的质数，其他质数都是奇数。 1既不是质数，也不是合数。 2.100以内的质数 100

以内的质数共有

25

个，从小到大依次是

2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。

注意：4是最小的合数。个位数字和十位数字都是质数的两位质数有4个：23,37,53,73。

3.质因数分解

任何一个合数都能够写成若干个质数相乘的形式，这些质数成为这个数的质因数，这个过程成为质因数分解。质因数分解都可以通过短除法来实现，其基本步骤：从最小的质数2开始，去除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续进行，直到等到一个质数为止。

注意：1可以被任何数整除，要注意1的存在。分解质因数不会出现1，这是1容易被忽略的原因。

核心考点三 公约数与公倍数

1.最大公约数

24能被3整除，3就是24的一个约数，同时，3也是36的一个约数，则3就是24和36公共的约数，简称公约数。不难发现，4、6、12也是24和36的公约数，数学运算中主要考察所有公约数中最大的那个，即最大公约数。

求两个数的最大公约数，可以采用短除法。

1是任何整数的约数，则1是任意两个整数的公约数。当两个数没有比1大的公约数时，就称这两个数互质，如2和3，5和8等。两个质数一定互质。

若a可以被b、c整除，且b、c互质时，则a可以被b×c整除。比如720，可以被12、5整除，12与5互质，则720可以被12×5=60整除。当b、c不是互质时，结论就不一定成立。如36可以被4和6整除，却不能被4×6=24整除，这是由于4和6有公约数2。

2.最小公倍数

公倍数，即“公共的倍数”，如480是48的倍数，480也是60的倍数，则480是48和60的一个公倍数。最小公倍数是公倍数中最小的那一个。最小公倍数也可以利用短除法进行求解。

2

分子的最大公约数

注意：分数的最大公约数= 分母的最小公倍数 分数的最小公倍数=

核心考点四 不等式与均值不等式

1.不等式

根据题干中的不等关系（大于、小于、大于等于、小于等于）列出不等式，然后求出未知量的取值范围，这是不等式在数学运算中的典型运用。

注意：解不等式的方法和解方程类似，但要注意，当不等号两边同时乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。如-3x＜12，不等号两边同时除以-3，得到x＞-4。

2.均值不等式

a?b≥ab，当且仅2当a=b时，等号成立。不等号左边是两个数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式就称为均值不等式。由均值不等式，可以得到两个常用结论：

分子的最小公倍数

分母的最大公约数

两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均数，即

（1）两个正数，当它们的和是一个确定的数时，它们相乘时乘积最大。例如：a+b=10，则当a=b=5时，ab=25为最大。

复杂一点的情况如下：已知3a+2b=10，要求ab的最大值？当3a=2b时，ab取得最大值。

（2）两个正数，当它们的积是一个确定的数的时候，它们相等时和最小。例如：ab=100，则当a=b=10时，a+b=20为最小。

复杂一点的情况如下：已知ab=100，要求a+4b的最小值？当a=4b时，a+4b取得最小值。

核心考点五 一元二次函数的最值

一元二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），在数学运算中会涉及这样的问题：当x取何值时，y取到最值（最大值或最小值）。一元二次函数的图像是抛物线，如下所示，可见当a＞0时，y有最小值，当a＜0时，y有最大值。

1.公式法

一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=-b时，y取到最大值或最小值，2a 3

4ac-b2为。

4a2.配方法

一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），可以通过变形，将其写为y=a（x-k）2+m的形式，则根据（x-k）2≥0，可知当x=k时，y取到最大值或最小值，为m。

b4ac-b2注意：其实k=-，m=。

2a4a3.因式分解法

如果在解题过程中，出现类似于y=（x-5）（5x+15）的情况，则不必将等号右边展开，然后再根据公式法求解。此时的最简做法如下：

由第一个括号x-5=0，得x=5；由第二个括号5x+15=0，得x=-3；使y取到最值的x在这两个数中间[5+(-3)]÷2=1。即当x=1时，y取得最小值（1-5）（5+15）=-80。

事实上：x=5、x=-3是一元二次方程（x-5）（5x+15）=0的两根。y=（x-5）（5x+15）=5x2-10x-75，此法相当于是将5x2-10x-75进行了因式分解，故这一方法称为因式分解法。

注意：并不是一元二次方程都有两个根，故这一方法通常只在类似于上述解题情境中使用。

核心考点六 等差数列

1.等差数列

数列从第二项起，每一项与它前面一项之差都相等，这个数列就叫做等差数列，这个相等的差叫这个等差数列的公差。例如：1,4,7,10,13,16,19?就是一个公差为3的等差数列。数列第一项成为首项，第n项用an表示，前n项之和用Sn表示。一般讨论数列的前若干项，吧其中最后一项成为末项。

2.基本公式 分类 通项 公式 an=首项+(n-1)公差 公差=an?am n-m示例 已知等差数列首项为1，公差为3，则a5=1+（5-1）×3=13 已知等差数列第8项为56，第556?32项为32，则公差==8 8?5公差 4

项数 末项?首项项数=-1 公差已知等差数列首项为1，末项为13?113，公差为3，项数为+1=5 3等差数列1,4,7,10,13,16,19 数列各项的平均数=(1+19)÷2=10 该数列项数为奇数，平均数=中项=10 对于等差数列1,4,7,10,13,16,19?平均数=（首项+末项）÷2 平均数 项数为奇数时，平均数=中项 注：中项即位于数列中间位置的项 对称 am+an=ap+aq(m+n=p+q) a1+a5=a2+a4=14 a4+a5=a3+a6=23 注意：等差数列的四个要素——首项、末项、项数、公差，知道其中3个，就能确定第4个。关键是要能选用合适的公式，快速计算。

3.求和公式 分类 一般求和 Sn=n×首项+公式 n(n?1)×公差 2示例 已知等差数列首项为1，公差为6×（6?1）3，则S6=6×1+×3=51 2等差数列首项为1，第3项为7，则S5=7×5=35 等差数列首项为1，第6项为16，1?16则S6=×6=51 2中项求和 Sn=中项×项数 Sn=首项?末项×项数 2平均数求和 =平均数×项数 注意：等差数列求和是数学运算中的常考知识点。要根据已知的条件选择适当的公式快速计算。当数列项数为奇数时，优先考虑中项求和公式；已知首项和末项，优先考虑平均数求和公式。

4.常见数列求和公式 分类 奇数列 偶数列 平方数列 立方数列 山间数列

数列各项 1,3,5,7，?，2n-1? 2,4,6,8，?，2n? 12,22,32，?，n2? 13,23,33，?，n3? 1,2，?，n-1，n，n-1，?，2,1 求和公式 Sn=n2 Sn=n2+n 1Sn=n(n+1)(2n+1) 61Sn=[n(n+1)]2 2Sn=n2 5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nn4v.html