第二章 系统的数学模型

第二章 系统的数学模型

2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。

解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有

?i-x?0)-c2x?0=m??0 x c1(x?0+(c1-c2) x?0= c1x?i x即 m?

（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有

?0) ?-x (xi-x)k1=c(x?0)=k2x0 ?-x c(x消除中间变量有

?i ?0+k1k2x0=ck1xc(k1+k2)x（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有

?i-x?0)+ k1 (xi-x)= k2x0 c(x?0+(k1+k2)x0=cx?i+ k1xi 即 cx2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。

解：（1）对图（a）所示系统，设xi为流过R1的电流，i为总电流，则有

uo?R2i?1C2

?idt

ui?uo?R1i1

ui?uo?1C1 消除中间变量，并化简有

?(i?i)dt1

??o?(1?C1R2uR2R1??C1C2?o?)u1C2R11uiuo

??i?(?C1R2uR2R1C1C2

?i?)uC2R1（2）对图（b）所示系统，设i为电流，则有

ui?uo?R1i?1C1

uo?1C2?idti

消除中间变量，并化简有

?idt?R2

?o?( (R1?R2)u1C1?1C2?i?)uo?R2u1C2ui

2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。

解：设系统输入为M（即M（t）），输出为?（即?（t）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

图 2.5

M=J?＋Cm?＋Rk(R?－x) (1)

?＋cxx? (2) K(R?－x)=m????消除中间变量x，即可得到系统动力学方程

mJ?（4）

???＋（mCm＋cJ）?＋(R2km＋CmC＋kJ) ?＋k(cR2＋Cm) ?=mM＋cM＋kM

??????2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y+15y+50y+500y=r+2r (b) 5y+25y=0.5r (c) y+25y=0.5r (d) y+3y+6y+4?ydt=4r

解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) s3Y(s) + 15s2Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s) ? Y(s)/R(s) =

s?2s?15s?50s?500322?????????????????=s2R(s) + 2R(s)

(b) 5s2Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)

?

Y(s)/R(s) =

0.5s5s?25s2

(c)

s2Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)

0.5s?251s2 ? Y(s)/R(s) = (d)

s2

Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 4Y(s) = 4R(s)

?

Y(s)/R(s) =

4ss?3s?6s?432

2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－e?2t?2e?t。试求系统的传递函数。 解：由传递函数的定义有

Xi(s)=

Y(s) =

?

1s?11s

?2s?1s?22

Y(s)/Xi(s)=

2s?6s?2s?3s?222.8 输出y（t）与输入x（t）的关系为y（t）=2x（t）+0.5x3（t） （a）求当工作点分别为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值。

（b）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。

解：（a）将x0=0, x0=1, x0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中，即得当工作点为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值分别为y0=0,y0=2.5,y0=8

(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x0,y0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得

Y0+△y=2x0+0.5x03+(2+1.5x2)∣x=x0·△x

△y=（2+1.5x2）∣x=x0△x

若令x=△x,y=△y有 y=（2+1.5x02）x 当工作点为x0=0时,y=（2+1.5x02）x=2x 当工作点为x0=1时,y=（2+1.5x02）x=3.5x 当工作点为x0=2时,y=（2+1.5x02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式Q?cwxv2p?,，式中，Q为通过节流阀流口的

流量；P为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为流量系数；

w为节流口面积梯度；ρ为油密度。试以Q与P为变量（即将Q作为P的

函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q?F(xv,p)在预定工作点F(xv,p?)处

?按泰勒级数展开为：

Q?F(xv,p)=F(xv,p?)+(??F?xv)(xv0,p0)??xv+(?F?p)(xv0,p0)??p+…

消除高阶项，有：

Q?F(xv,p)=F(xv,p?)+(??F?xv)(xv0,p0)??xv+ (?F?p)(xv0,p0)??p

? ?Q?F(xv,p)?F(xv0,p0)

?F?p)(xv0,p0)??p =F(xv,p?)+(??F?xv)(xv0,p0)??xv+(-F(xv,p?)

? =(?F?xv?F?xv)(xv0,p0)??xv+(?F?p)(xv0,p0)??p

若令K1?()(xv0,p0)，K2? (?F?p)(xv0,p0)，则有：

?Q?K1??xv?K2??p 若上式改写为增量方程的形式为： Q?K1?xv?K2?p

2.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 环传递函数为G(s)=Ts，G(s)=

KsKTs?1，而闭，则

，而闭环函数为GB（s）=

G(s)1?G(s)?H(s)（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，

K GB（s）=

G(s)1?G(s)?H(s)=Ts?1=

1?KTs?1KTs?1?K

（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， GB（s）=

（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，

KG(s)1?G(s)?H(s)=

Ts1?Ts

GB（s）=

G(s)1?G(s)?H(s)=

s1?Ks=

Ks?K

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