成都七中2012届高三数学入学考试试题(理科)

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成都七中2012届高三入学考试

数学试题(理科)

注意事项：本试题分为第I卷和第II卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。、 第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一

个是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A {x|lgx 0},B {x|2x 1},则CU(A B)=

A．( ,1)

B．(1, )

2z z

2

C． ,1

D． 1,

2．设z=1+i（i是虚数单位），则

A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i

3．函数f(x)在(a,b)上连续,且limf(x) m,limf(x) n,mn 0,f (x) 0,则f(x)在

x a

x b

(a,b)内

A．没有实根 B．至少有一个实根 C．有两个实根 D．有且只有一个实根 4．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是

A．m//α，n//β且α//β，则m//n C．m//α，n 且 ,则m//n;

B．m ,n 且 ,则m//n; D．m ,n// 且 // ,则m n

5．若两个非零向量a,b满足|a b| |a b| 2|a|，则向量a b与a b的夹角为

A．

6

B．

3

C．

2 3

D．

5 6

*

6．在数列{an}中，a1 1,an 1 an n,(n N),则a100的值为

A．5050 B．5051 C．4950 D．4951

π

7.将函数f(x)的图象沿x轴向右平移2倍(纵坐标不变)，

3得到的图象所对应的函数为y＝cosx，则f(x)为 π

A．y＝cos(2x＋

32

C．y＝cos(2x＋)

3

π

B．y＝cos(2x

32

D．y＝cos(2x)

3

1

log3(x 1)(x 6)

8．设f(x) x 6的反函数为f

1(x 6) 3

(x),若f

1

(

89

) n,则f(n 4)=

A．2 B．—2 C．1 D．—1

9.已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，

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则两圆的圆心距为

A．4

3

C

． D．1

B

．10．将(x 12

x)的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幂的项互不相邻的排法共

有多少种？

310

A．A13 A13

103

B．A10 A11

49

C．A13 A9

103

D．A10 A11

11．如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2, 长 为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动, 另一端点N 在正方形ABCD内运动, 则MN的中点的轨迹的面积为 A．4 B．2 C． D．

DA1

B1

C1

M

D

N

A

C

11题）

2

B

12.已知集合U {(x,y)x R,y R}，M {(x,y)x y a}，P {(x,y)y f(x)}，

现给出下列函数：①y ax②y logax③y sin(x a)④y cosax，若0 a 1时，恒有P CUM P，则f(x)所有可取的函数的编号是

A． ①②③④

B．①②④

C．①② D．④

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知sin

2

12

sin2 3cos

2

32

，则tan ______________.

14

14．已知 an 是等比数列，a2 2，a5

， 则a1a2 a2a3 anan 1= ．

2

15．定义在R上的函数f(x)满足f(x 2) 3f(x),且当x [0,2]时,f(x) x 2x,若当

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x [ 4, 2]时,f(x)

118t(3

t)恒成立，则实数t12

16. 给出定义：若m

12

x m （其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，

记作 x = m. 在此基础上给出下列关于函数f(x) x x 的四个命题： ①函数y=f(x)的定义域为R，值域为0,；

2

1

②函数y=f(x)的图像关于直线x

k2

（k Z）对称；

③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=f(x)在

11

, 上是增函数. 22

则所有正确的命题的编号是______________.

成都七中2011—2012学年度高三第一学期开学考试

数学试题(理科)答题卷

班级 姓名 得分

一、第一卷答题卡:

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

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三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，向

量

m (2siBn

3n) ,

B

(cBos22 c且osm//n 1)

2

2

（Ⅰ）求锐角B的大小，

（Ⅱ）如果b 2，求 ABC的面积S ABC的最大值

18.（本小题共12分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数 的分布列如下表：

该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止. （I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率； （II）求该选手训练停止时，射击的次数 的分布列及期望.

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19.（本小题满分12分）已知：如图，

长方体

上的点，（1） 求异面直线（2）

证明

与平面

,

所成角的余弦值； ； （3） 求二面角

的正弦值.

.

中，、分别是棱

,

x20．（本题满分12分）已知函数f(x) log4(4 1) kx(k R)是偶函数．

（1）求k的值;

log(4a2 （2）设g(x)

x

4

)3

,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a

的取值范围．

21.（本小题满分12分）已知数列 an 满足a1 1,an 1 2an 1 n N

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（Ⅰ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）若数列 bn 满足4b（Ⅲ）证明：

22．（本题满分14分）已知函数f(x) ax2 lnx(a R)． （1）当a

12

1 1

4

b2 1

4

b3 1

4

bn 1

(an 1)

bn

，证明： bn 是等差数列；

1a2

1a3

1an 1

n N

3

2

时，求f(x)在区间 1,e 上的最大值和最小值；

（2）如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x) g(x) f2(x)，

那么就称为g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”． 已知函数f1(x) (a

12

)x 2ax (1 a)lnx，f2(x)

2

2

12

x 2ax．

2

①若在区间 1, 上，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动函数”，求a的取值范围； ②当a

23

时，求证：在区间 1, 上，函数f1(x)，f2(x)的“活动函数”有无

穷多个．

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数学试题(理科)参考答案

一、BDDDC DCBAD DB 二、13. 1或-3 14.

323(1 4

n

) 15. ［-1,0）∪［3,+∞） 16. ①②③

B

三、17．解：（1） m//n 2sinB(2cos2 1) cos2B

2

sin2B 3cos2B 即 tan2B 3

又 B为锐角 2B 0,

2B

2 3

B

3

……………………………………6分 a c b

2ac

2

2

2

（2） B

3

,b 2，由余弦定理cosB 得

a c ac 4 0

22

又 a2 c2 2ac 代入上式得：ac 4（当且仅当 a c 2时等号成立。）

12

34

S ABC

acsinB ac ）………12分 3（当且仅当 a c 2时等号成立。

18.解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分 则

P(A) 0.4 0.064

3

，

P(B) C30.4 0.5 0.24

12

. ----------------------------4分

由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为

P(A B) P(A) P(B) 0.304

. -----------------------------------------------------6分

即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------7分 （II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下

3 0.304

6 0．696

---------------------------------10分

P

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E 3 0.304 6 0.696 5.088.

即该选手训练停止时射击的次数 的期望为5.088. ---------------------------12分

19. 解：法一：如图所示，以点A

为坐标原点，建立空间直角坐标系，设

,依题意得,,,

（1）易得,,

于是

所以异面直

线

--------------------4分

与所成角的余弦值

为

（2）已知 于是 因此， 所以

平面·

,=0，,

·

=0. ,又

,

--------------------7分

（3）设平面的法向量

。

为平面

，则,即

不妨令X=1,可得 由（2）可知，

的一个法向量。

于是，从而,

所以二面角的正弦值为 --------------------12分

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法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

由 故

,可知EF∥BC1.

是异面直线EF与A1D所成的角，

易知BM=CM=,

所以 ,

所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 --------------------4分

（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为 所以 又由于

故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且

，从而

,所以

， ，

，

，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C, 所以AF⊥A1D因为 又NF 故

平面ACF, A1N

，所以AF⊥平面A1ED. ----------------7分

平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

为二面角A1-ED-F的平面角.

易知，所以，

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又所以，

在

,

连接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值为. --------------------12分

20．解：（1）由函数f(x)是偶函数可知：f(x) f( x)

x

x

log4(4 1) kx log4(4

1) kx 2分

log4

4 14

x

x

1

12

2kx 即x 2kx对一切x R恒成立 4分

k 5分

（2）函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点 即方程log4(4 1) 化简得：方程2

xx

12

x log4(a 2

x

x

43

a)有且只有一个实根 6分

12

x

a 2

2

43

a有且只有一个实根 43

at 1 0有且只有一个正根 8分

x

令t 2 0，则方程(a 1)t

①a 1 t ② 0 a 若a

34

3434

，不合题意； 9分 或 3 10分 ，不合题意；若a 3 t

1a 1

12

t

12

11分

③一个正根与一个负根，即 0 a 1

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综上：实数a的取值范围是 3 (1, ) 12分 21. 解：（1） an 1 2an 1， an 1 1 2(an 1) 1分 故数列{an 1}是首项为2，公比为2的等比数列。 2分

an 1 2，an 2 1 3分

n

n

（2） 4

b1 1

4

b2 1

4

b3 1

4

bn 1

(an 1)

bn

， 4

(b1 b2 bn n)

2

nbn

4分

2(b1 b2 bn) 2n nbn①

2(b1 b2 bn bn 1) 2(n 1) (n 1)bn 1②

②—①得2bn 1 2 (n 1)bn 1 nbn，即nbn 2 (n 1)bn 1③ 6分

(n 1)bn 1 2 nbn 2④

④—③得2nbn 1 nbn nbn 1，即2bn 1 bn bn 1

所以数列{bn}是等差数列 8分 （3）

1an

12

n 1

1

12

n 1

2

11

2an 1

1a2

9分

设S

1a2

1a3

1an 1

，则S

1

2a2

(

1

1a3

1an

)

1a2

12

(S

1an 1

)

11分

S

2a2

1an 1

23

12

1an 1

23

12分

12

x lnx

2

2

22.解：（1）当a

时，f(x) ，f (x)

x

1x

x 1x

；

对于x [1, e]，有f (x) 0，∴f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴fmax(x)

f(e) 1

e

2

2

，fmin(x) f(1)

12

12

12

． 3 分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”，则f1(x) f(x) f2(x)

令p(x) f(x) f2(x) (a 且h（x）=f1（x） – f（x）=

)x 2ax lnx<0，对x （1，+∞）恒成立，

x

22

2ax a

2

lnx

<0对x （1，+∞）恒成立， 5分

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∵p`(x) (2a 1)x 2a 1）若a

12

1x

(2a 1)x 2ax 1

x

2

1

(x 1)[(2a 1)x 1]

x

（*）

，令p`(x) 0，得极值点x1 1，x2

12

a 1时，在（x2

2a 1

，

当x2 x1 1，即

，+∞）上有p`(x) 0，

此时p(x)在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈（p(x2)，+∞），不合题意；

当x2 x1 1，即a

1时，同理可知，p(x)在区间（1，+∞）上，有

，也不合题意； 7分 p(x)∈（p(1)，+∞）

12

2） 若a

，则有2a 1

，此时在区间（1，+∞）上恒有p`(x) 0，

从而p(x)在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p(x) 0在此区间上恒成立，只须满足p(1) a 所以

12

12

0 a

12

，

a

/

12

． 9分

a

2

又因为h（x）= –x+2a–函数，

x

=

x

2

2ax ax

2

(x a)

x

2

<0, h（x）在（1, +∞）上为减

h（x）<h（1）=

12

+2a 0， 所以a

12

14

综合可知a的范围是[ ,

14

]． 12分

另解：（接在（*）号后） 先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a

a

2

x

=

(x a)

x

2

0,

12

14

h（x）在（1,+ ）递减，只要h（1） 0, 得 而p`（x）=

(x 1)[(2a 1)x 1]

x12

2a 0，解得a

14

． 8分

对x （1,+ ） 且a

12

有p`（x） <0．

只要p（1） 0, a 2a 0，解得a ,

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所以． ②当a

12

23

a

14

． 12分

16x

2

时，f1(x)

43

x 59

59

lnx,f2(x)

12

x

2

43

x

则y=f2（x） –f1（x）=x2 –

3

1

lnx, x （1，+∞）．

因为y =

/

2x3

59x

6x 59x

2

>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数，

1

所以f2（x） –f1（x）> f2（1） –f1（1）= ．

3

设R（x）=f1（x）+

13

（0< <1）, 则 f1（x）<R（x）<f2（x）,

所以在区间（1，+∞）上，函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个．

其他如R（x）= f1（x）+ f2（x）（ 0< , <1,且 + =1）等也可以． 14分

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