时域与频域的图像增强及Matlab实现

中 国 矿 业 大 学

本科生毕业设计

姓 名：学 院：专 业：设计题目：专 题：指导教师： 陶士昌 学 号： 08083576 计算机科学与技术 电子信息科学与技术

时域与频域的图像增强及Matlab实现 图像处理 梁志贞 职 称： 副教授

2012年 6月 徐州

中国矿业大学毕业设计任务书

学院 计算机科学与技术 专业年级 信科08-3 学生姓名 陶士昌

任务下达日期：2012年 1 月 10 日

毕业设计日期： 2012年 1 月 4 日 至 2012 年 6 月10日

毕业设计题目： 时域与频域的图像增强及Matlab实现

毕业设计专题题目：图像处理

毕业设计主要内容和要求：

毕业设计（论文）的目的是对毕业生所学的专业基础知识和研究能力、自学能力以及各种综合能力的检验，要进一步巩固和加强学生基本知识的掌握和基本技能的训练，加强对学生的多学科理论、培养刻苦钻研、勇于探索的精神。

图像增强（image enhancement）是一种按特定的需要突出一幅图像的某些信息，同时，削弱或去除某些不需要的信息，从而有目的地强调图像整体或局部特征，加强图像判读和识别效果的处理方法。其主要目的是使处理后的图像对某些特定的应用比原来的图像更加有效。

常用的图像增强技术主要包括直方图修改处理、图像平滑化处理、图像锐化处理等。在实际应用中，常常是几种方法联合处理，以便达到预期的增强效果。

从纯技术上讲，图像增强技术基本上可分为两大类：频域增强法和空域增强法。空域增强法是直接对图像中的像素进行处理，基本上是以灰度映射变换为基础的。频域增强法的基础是卷积定理，关键在于图像空域与频域的转换类型

本课题首先要介绍了图像增强方面发展的状况和常用图像增强的基本理论,然后根据所学知识对已有的算法用Matlab编程实现。

院长签字： 指导教师签字：

中国矿业大学毕业设计指导教师评阅书

指导教师评语（①基础理论及基本技能的掌握；②独立解决实际问题的能力；③研究内容的理论依据和技术方法；④取得的主要成果及创新点；⑤工作态度及工作量；⑥总体评价及建议成绩；⑦存在问题；⑧是否同意答辩等）：

成 绩： 指导教师签字： 年 月

日中国矿业大学毕业设计评阅教师评阅书

评阅教师评语（①选题的意义；②基础理论及基本技能的掌握；③综合运用所学知识解决

实际问题的能力；③工作量的大小；④取得的主要成果及创新点；⑤写作的规范程度；⑥总体评价及建议成绩；⑦存在问题；⑧是否同意答辩等）：

成 绩： 评阅教师签字： 年 月日

中国矿业大学毕业设计答辩及综合成绩 答 辩 情 况 回 答 问 题 提 出 问 题 有一有原正 基本 没有 般性则性确 正确 回答 错误 错误 答辩委员会评语及建议成绩： 答辩委员会主任签字： 年 月 日 学院领导小组综合评定成绩： 学院领导小组负责人： 年 月 日

摘 要

在图像的采集、处理、存储、显示或传输的过程中，由于受到多种因素的影响，如光电系统失真、噪声干扰、曝光不足或过量、相对运动、传输误码等，往往使图像与原始景物之间或图像与原始图像之间产生某种差异，从而引起图像的降质或退化。降质或退化的图像通常模糊不清，使人观察起来不满意，或者使机器从中提取的信息减少甚至造成错误。因此必须对图像进行增强。图像增强的方法基本上可分为空间域方法和频率域方法两大类。空间域方法是在原图像上（空间域）直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。频率域方法是在图像的变换域上进行处理，增强感兴趣部分的频率分量，然后进行反变换得到增强后的图像。

论文在介绍图像增强原理的基础上，利用MATLAB工具进行了算法的设计和实现。实验证明在质量较差的图像中，选择不同的算法对图像增强有不同的效果。

关键词：图像增强；时域；频域；MATLAB

ABSTRACT

In the process of collection, processing, storage, display or transmission of the image, the images have some differences with the original scene or the original image, because of many factors such as PV systems distortion, noise, underexposure, overexposure, relative motion, transmission error, etc. These results are called image degradation or degeneration. The degraded or degenerated image is usually fuzzy. It makes us feel unsatisfied or the machine fail to extract full information and even results in errors. So, the image enhancement is needed. The image enhancement methods are basically divided into two categories: spatial domain and frequency domain. Spatial domain methods directly deal with the original image data and the operations are performed on the pixel gray value. The frequency domain methods are explored on the transformation domain of the image processing to enhance the interesting part of the frequency components and the enhanced image is obtained by performing the inverse transformation.

Based on the principle of the image enhancement, this paper introduces some algorithms and implements them by the MATLAB tools. The experiment proves that different methods will give different results when processing low quality image.

Keywords: image enhancement; spatial domain; frequency domain; MATLAB; image processing

目 录

1绪论 ................................................................................................................................................................... 1 1.1课题研究的背景和意义 ............................................................................................................................... 1

1.2 图像增强的国内外研究情况 .............................................................................................................. 2

1.2.1 图像增强的国外发展情况 ...................................................................................................... 2 1.2.2图像增强技术国内发展状况 ............................................................................................... 3

2 时域图像增强方法 .......................................................................................................................................... 4

2.1 引言 ...................................................................................................................................................... 4 2.2 时域增强的定义和步骤 ...................................................................................................................... 4 2.3 灰度变换 .............................................................................................................................................. 4

2.3.1 灰度扩展（缩减） .................................................................................................................. 4 2.3.2 分段线性变换 .......................................................................................................................... 5 2.3.3 非线性变换 .............................................................................................................................. 5 2.3.4 MATLAB函数及示例 ............................................................................................................... 6 2.4 直方图修正 .......................................................................................................................................... 6

2.4.1 图像的直方图 .......................................................................................................................... 6 2.4.2 直方图均衡化 .......................................................................................................................... 8 2.4.3 MATLAB函数及实现 ................................................................................................................. 9 2.5 空域滤波增强 ..................................................................................................................................... 11

2.5.1 空域滤波基本原理和分类 ..................................................................................................... 11 2.5.2 平滑滤波器 ............................................................................................................................ 12 2.5.3 锐化滤波器 ............................................................................................................................ 16

3 频域图像增强方法 ........................................................................................................................................ 20

3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）简介 .................................................................................................. 20 3.2频域增强定义和步骤 ......................................................................................................................... 21 3.3 低通滤波 ............................................................................................................................................ 21

3.3.1 理想低通滤波器 .................................................................................................................... 21 3.3.2 Butterworth 低通滤波器 .................................................................................................... 22 3.3.3 指数低通滤波器 .................................................................................................................. 22 3.3.4 梯形低通滤波器 .................................................................................................................... 22 3.3.5 MATLAB算法及其实现 ........................................................................................................... 22 3.4高通滤波 ............................................................................................................................................. 26

3.4.1 理想高通滤波器 .................................................................................................................... 26 3.4.2 Butterworth高通滤波器 ..................................................................................................... 26 3.4.3 指数高通滤波器 .................................................................................................................... 27 3.4.4 MATLAB算法及其实现 ........................................................................................................... 27

4 结论与对未来展望 ........................................................................................................................................ 31 参考文献 ............................................................................................................................................................ 33 英文原文 ............................................................................................................................................................ 34 中文译文 ............................................................................................................................................................ 44 致 谢 ................................................................................................................................................................ 52

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1绪论

1.1课题研究的背景和意义

随着人类社会的进步，科学技术的发展，人们对信息处理和信息交流的要求越来越高。图像信息具有直观、形象、易懂和信息量大等特点，它是在人们日常生活、生产中接触最多的信息种类之一。近年来，随着信息社会数字化的发展，数字图像处理（digital image processing）无论是在理论研究方面还是在实际应用方面都取得了长足的发展。尤其是计算机技术的应用、遥感技术的发展、数字通信的兴起、互联网的普及、数字处理芯片性能的提高以及应用数学理论与方法的更新，对数字信号处理起了关键性的推动作用；而数字图像处理技术的发展又有力地促进和加速了上述各项技术的进步[1]。

人类传递信息的主要媒介是语言和图像。有研究表明，大约有70%的信息是通过人眼获得图像的图像信息，所以图像信息是十分重要的信息传递媒体和方式。在当代科学研究、军事技术、航天、气象、医学、工农业生产等领域中，人们越来越多地利用图像信息来认识和判断事物解决实际问题。例如，人们利用人造卫星所拍摄的地面照片来分析地球资源、气象态势和污染情况，利用“神州”宇宙飞船所拍摄的月球表面照片来分析月球的地形；在医学上，通过计算机断层图像，医生可以观察和诊断人体内部是否有病变组织；在公安侦破案件中，采用指纹图像提取和比对来识别罪犯；在军事上，目标的自动识别和跟踪都有赖于高速图像处理。

图像传递系统包括图像采集、图像压缩、图像编码、图像存储、图像通信、图像显示这六个部分。在实际应用中每个部分都有可能导致图像品质变差，使图像传递的信息无法被正常读取和识别。例如，在采集图像过程中由于光照环境或物体表面反光等原因造成图像整体光照不均，或是图像采集系统在采集过程中由于机械设备的缘故无法避免的加入采集噪声，或是图像显示设备的局限性造成图像显示层次感降低或颜色减少等等，往往使图像与原始景物或者原始图像之间产生某种差异，常将这种差异称之为降质或退化。降质或退化的图像通常模糊不清，使人观察起来不满意，或者使机器从中提取的信息减少甚至造成错误。因此，必须对图像进行改善。

改善的方法主要包括图像增强和图像复原。图像增强是从人的主观出发，可以不考虑图像降质的原因，只将图像中感兴趣的部分加以处理或突出有用的图像特征，故改善后的图像并不一定要去逼近原图像，如增加图像的对比度、提取图像中目标物轮廓、衰减各类噪声、均衡图像灰度等。图像复原技术是从客观出发，针对图像降质的具体原因，设法补偿降质因素，从而使改善后的图像尽可能地逼近原始图像。显然，图像复原的主要目的是提高图像的逼真度，这里我不做讨论和研究。

图像增强处理的方法基本上可分为时域（空间域）方法和频率域方法两大类。空间域方法是在原图像上（时域）进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。如果是对图像作逐点运算，称为点运算，如果是在像素点邻域内进行运算，称为局部运算或邻域运算。频率域方法是在图像的变换域上进行处理，增强感兴趣部分的频率分量，然后进行反变换，得到增强后的图像。

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1.2 图像增强的国内外研究情况

1.2.1 图像增强的国外发展情况

在1921年年底提出了一种基于光学还原的新技术。在这一时期由于引入了一种用编码图像纸带去调制光束达到调节底片感光程度的方法，使灰度等级从5个灰度级增加到15个灰度等级，这种方法明显改善了图像复原的效果。到20世纪60年代早期第一台可以执行数字图像处理任务的大型计算机制造出来了，这标志着利用计算机技术处理数字图像时代的到来。1964年，研究人员在美国喷气推进实验室(JPL)里使用计算机以及其它硬件设备，采用几何校正、灰度变换、去噪声、傅里叶变换以及二维线性滤波等增强方法对航天探测器―徘徊者7号‖发回的几千张月球照片进行处理，同时他们也考虑太阳位置和月球环境的影响，最终成功地绘制出了月球表面地图。随后他们又对1965年―徘徊者8号‖发回地球的几万张照片进行了较为复杂的数字图像处理，使图像质量进一步提高。这些成绩不仅引起世界许多有关方面的注意而且JPL本身也更加重视对数字图像处理地研究和设备的改进，并专门成立了图像处理实验室IPL。在IPL里成功的对后来探测飞船发回的几十万张照片进行了更为复杂的图像处理，最终获得了月球的地形图、彩色图以及全景镶嵌图。从此数字图像增强技术走进了航空航天领域。

20世纪60年代末和20世纪70年代初有学者开始将图像增强技术用于医学图像、地球遥感监测和天文学等领域。X射线是最早用于成像的电磁辐射源之一，在1895年X射线由伦琴发现。20世纪70年代Godfrey N. Hounsfield先生和Allan M. Cormack教授共同发明计算机轴向断层技术：一个检测器围绕病人，并用X射线源绕着物体旋转。X射线穿过身体并由位于对面环中的相应检测器收集起来。其原理是用感知的数据去重建切片图像。当物体沿垂直于检测器的方向运动时就产生一系列的切片，这些切片组成了物体内部的再现图像。到了20世纪80年代以后，各种硬件的发展使得人们不仅能够处理二维图像，而且开始处理三维图像。许多能获得三维图像的设备和分析处理三维图像的系统已经研制成功了，图像处理技术得到了广泛的应用。进入20世纪90年代，图像增强技术已经逐步涉及人类生活和社会发展的各个方面。计算机程序用于增强对比度或将亮度编码为彩色，以便解释X射线和用于工业、医学及生物科学等领域的其他图像。地理学用相同或相似的技术从航空和卫星图像中研究污染模式。在考古学领域中使用图像处理方法已成功地复原模糊图片。在物理学和相关领域中计算机技术能增强高能等离子和电子显微镜等领域的实验图片。直方图均衡处理是图像增强技术常用的方法之一。1997年Kim 提出如果要将图像增强技术运用到数码相机等电子产品中，那么算法一定要保持图像的亮度特性。在文章中Kim提出了保持亮度特性的直方图均衡算法(BBHE)。Kim的改进算法提出后，引起了许多学者的关注。在1999年Wan等人提出二维子图直方图均衡算法(DSIHE)。接着Chen和Ramli提出最小均方误差双直方图均衡算法(MMBEBHE)。为了保持图像亮度特性，许多学者转而研究局部增强处理技术，提出了许多新的算法：递归均值分层均衡处理(RMSHE)、递归子图均衡算法(RSIHE)、动态直方图均衡算法(DHE)、保持亮度特性动态直方图均衡算法(BPDHE)、多层直方图均衡算法(MHE)、亮度保持簇直方图均衡处理(BPWCHE)等等[2]。

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1.2.2图像增强技术国内发展状况

在借鉴国外相对成熟理论体系和技术应用体系的条件下，国内的增强技术和应用也有了很大的发展。总体来说，图像增强技术的发展大致经历了初创期、发展期、普及期和应用期4个阶段。初创期开始于20世纪60年代，当时的图像采用像素型光栅进行扫描显示，大多采用中、大型机对其进行处理。在这一时期由于图像存储成本高，处理设备造价高，因而其应用面很窄。20世纪70年代进入了发展期，开始大量采用中、大型机进行处理，图像处理也逐渐改用光栅扫描显示方式，特别是出现了CT和卫星遥感图像，对图像增强处理提出了一个更高的要求。到了20世纪80年代，图像增强技术进入普及期，此时的计算机已经能够承担起图形图像处理的任务。20世纪90年代进入了应用期，人们运用数字图像增强技术处理和分析遥感图像，以有效地进行资源和矿藏的勘探、调查、农业和城市的土地规划、作物估产、气象预报、灾害及军事目标的监视等。在生物医学工程方面，运用图像增强技术对X射线图像、超声图像和生物切片显微图像等进行处理，提高图像的清晰度和分辨率。在工业和工程方面，主要应用于无损探伤、质量检测和过程自动控制等方面。在公共安全方面，人像、指纹及其他痕迹的处理和识别，以及交通监控、事故分析等都在不同程度上使用了图像增强技术。图像增强是图像处理的重要组成部分，传统的图像增强方法对于改善图像质量发挥了极其重要的作用。随着对图像技术研究的不断深入和发展，新的图像增强方法不断出现。例如一些学者将模糊映射理论引入到图像增强算法中，提出了包括模糊松弛、模糊熵、模糊类等增强算法来解决增强算法中映射函数选择问题，并且随着交互式图像增强技术的应用，可以主观控制图像增强效果。同时利用直方图均衡技术的图像增强也有许多新的进展：例如提出了多层直方图结合亮度保持的均衡算法、动态分层直方图均衡算法。这些算法通过分割图像，然后在子层图像内做均衡处理，较好地解决了直方图均衡过程中的对比度过拉伸问题，并且可以控制子层灰度映射范围，增强效果较好[3]。

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2 时域图像增强方法

2.1 引言

空域变换增强根据对图像的每次处理是对单个像素进行的或是对小的子图像(模板)进行的，可分为2组：基于像素(点)的和基于模板的。在基于像素的处理(也叫点处理)中，增强过程对每个像素的处理与其他像素无关；而模板处理则是指每次处理操作都是基于图像中的某个小区域进行的。

2.2 时域增强的定义和步骤

时域方法是在原图像上（空间域）直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。用公式描述如下：G?x,y??F?x,y?H?x,y?，其中是F?x,y?原图像；H?x,y?为空间转换函数；G?x,y?表示进行处理后的图像。

2.3 灰度变换

灰度变换，或灰度级修正是在空间域对图像进行增强的一种简单而有效的方法，可以根据对图像不同的要求而采用不同的修正方法。灰度级修正属于（像素）点运算，它不改变原图像中像素点的位置，只改变像素点的灰度值，并且逐点进行，和周围其他像素无关。设输入图像为f?x,y?，经过变换后输出图像为g?x,y?，修正函数或变换函数为T???，则有

g(x,y)?T?f?x,y?? （2.1）

通过不同的映射变换，达到不同的灰度修正的效果。

一般成像系统只具有一定的亮度响应范围，亮度的最大值与最小值之比称为亮度对比度。由于成像系统的限制，常会出现对比度不足（或过大）的弊病，使人眼观察图像时视觉效果很差。因此需要调整对比度，即灰度变换。有三种常用的灰度变换：线性、分段线性及非线性变换。 2.3.1 灰度扩展（缩减）

这是一种最简单的灰度变换，假定原图像f?x,y?的灰度范围为?a,b?，希望变换后图像g?x,y?的灰度范围扩展至?c,d?，则线性变换可表示为

d?c??gx,y? ? f ? x , y ? ? a ? ? c f ( x , y ) ? ? a , b ? （2.2）

b?a

此式可用图2.1(a) 所示。

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2.3.2 分段线性变换

为了突出感兴趣的目标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区域，可采用分段线性变换。常用的是3段线性变换法，其数学表达式如下 c?f?x,y?0?f?x,y??a?a ??d?c? x? ?xy? g ? , ? ? ? f ? x , y ? ? a ? ? c a f , y b （2.3） ?b?a? ?G?d?f?x,y??b??db?f?x,y??F?F?b?

式（2.3）对灰度区间?o,a?和?b,M?进行压缩，对灰度区间?a,b?进行扩展，如图2.1（b）。

通过调整折现拐点的位置及控制分段线性的斜率，可对任一灰度区间进行扩展或压缩。这种变换适用于在黑色或白色附近有噪声干扰的情况[4]。 g ? x ? ,yg?x,y?

G G d d c c o f(x,y)f(x,y) ab o F aF b

(a)简单线性变换 （b）分段线性变换 g?x,y?

G

c

o f(x,y)F （c） 非线性对苏变换

图2.1 灰度范围的变换 2.3.3 非线性变换

当用某些非线性变换函数，如用对数函数、指数函数等作为式（2.1）的变换函数时，

可实现图像灰度的非线性变换。例如，对数变换的一般式为

[(x,y)?1] （2.4） g(x,y)?c?klnf

这里的k、c是用于调整曲线位置和形状的参数，其图形如图2.1（c）所示。它使f?x,y? 的灰度范围得到扩展，高灰度范围得到压缩，以使图像的灰度分布与人的视觉特性相匹配。

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指数变换的一般式为

g(x,y)?bc?f?x,y??a??1 （2.5） 式中a、b、c 3个参数也是用来调整曲线的位置和形状，它的效果与对数变换相反，对图像的高灰度区给予较大的扩展。 2.3.4 MATLAB函数及示例

在MATLAB中，函数imadjust(I, [low_in high_in],[low_out high_out]) 来实现图像的灰度值变换。low_in 和high_in 参数分别用来指定输入图像需要映射的灰度范围，low_out和high_out指定输出图像所在的灰度范围。代码如下[5]

I=imread('cameraman.tif'); J=imadjust(I,[0 0.2],[0.5 1]); imshow(I);

figure,imshow(J) 结果如图2.2所示

(a) 原图 (b) 灰度变换后图

图2.2 灰度变换示例

2.4 直方图修正

2.4.1 图像的直方图

直方图是图像中像素灰度分布统计特性的一种图形表示方式，可定义为 H?k??nk 或 P?k??nk/N （归一化） （2.6） 式中k为灰度级；nk为第k级灰度的像素数；N为一幅图像的总像素数；H?k?和P?k?分别为该图像的直方图和归一化直方图（频数）。图2.3是图片cameraman.tif及其直方图统计

和数字图像类似，模拟图像（连续图像）的直方图在概念上也表示图像灰度的分布情况类似于概率密度。

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设连续图像为f?x,y?，D表示某一灰度，A?D? 表示图像中灰度大于D的面积（称之为面积函数），则该图像的直方图H?D?可以用它的面积函数的微分来定义，即

limA?D??D??A?D?dA?D? （2.7） H?D????D?0dDdD

(a) cameraman原图 (b) 直方图统计

图2.3 cameraman图像及直方图

(a) 位置一 (b) 位置一直方图

(c) 位置二 (d) 位置二直方图

图2.4 不同位置的图像及直方图

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直方图能给出该图像的大致描述，如图像灰度范围、灰度级的分布、图像的平均亮度、图像的能量等级等重要特征。但是仅从直方图还不能完整地描述一幅图像，因为直方图不包含某一灰度像素的几何位置信息。例如，一幅图像唯一对应一个直方图，但是一个直方图可对应不同的图像。如图2.4所示，图(a)和(c)只是位置的不同，但是直方图相同，说明了直方图的空间信息的丢失[6]。

2.4.2 直方图均衡化

直方图均衡化也叫做直方图均匀化，是一种常用的灰度增强算法。例如，一幅对比度较窄的图像，其直方图分布一定集中在某个比较小的灰度范围之内，经过均匀化处理之后，其所有灰度级出现的相对频数（概率）大致相同，拉大了图像的对比度，可以更多地展现图像的灰度细节，改善图像的视觉效果。如图2.5所示。

(a) 原图像的概率密度函数 (b)新图像的概率密度函数 图2.5直方图均衡化密度函数

图2.6直方图均衡化原理

图2.6所示为连续情况下图像的非均匀直方图分布函数Pr?r?经转换函数s?T?r?转换为均匀直方图分布函数Ps?s?的情况，图中r为变换前的归一化灰度级0?r?1。T?r?为转换函数，s?T?r?为转换后的图像灰度值。为使这种转换具有实际意义，T?r?应满足以下条件：

（1） 在0?r?1区间内，T?r?为单值单调递增函数。

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（2） 对于0?r?1，对应有0?s?T?r??1，保证变换后像素灰度级仍在允许范围内。 下面的问题就是找出这么个转换函数T?r?了。

在图2.6中，某一输入图像的灰度直方图为Pr?r?，经过转换函数T?r?对输入图像的灰度进行转换，转换后得到输出图像的直方图Ps?s?，要求其具有均衡直方图特性。在连续的直方图中，其横坐标表示图像的灰度，纵坐标表示不同灰度面积占整个图像面积的比例，在归一化的情况下，直方图函数沿着灰度积分的结果就是整个图像的面积，即

1

P?r??dr?图像面积?1?

0现在考虑在输入直方图中的一个极小宽度为?r的条带范围内，灰度近似为Pr?r?，乘积Pr?r??r表示输入小条面积。此窄条经过T?r?转换后，对应到输出直方图中为一宽度为?s、灰度为Ps?s?的一小条，乘积Ps?s??s表示输出小条面积。由于直方图转换前后整个图

像的面积不变，输入小条上的所有像素的灰度发生改变，但小条转换前后的面积不变，因此有Ps?s???s?Pr?r???r，此式取极限后得

Ps?s??ds?Pr?r??dr （2.8） 要求输出直方图均衡化（并归一化），有Ps?s??1，即

ds?Pr?r??dr （2.9） 两边取积分，并用?取代积分变量，得

r

（2.10） s?T?r???Pr???d?0

式（2.10）就是所求的转换函数，它是原函数的灰度直方图函数Pr?r?的积分，是一个非负的递增函数。

上述直方图均衡化的转换函数的结论虽然是从连续图像直方图的概念推导出来的，但是这一结论的原理对数字图像也是适用的，只需要将其变为求和运算。设原数字图像的总像素数为N，共有L个灰度级，其中第k个灰度级rk出现的像素数为nk，则第k个灰度级出现的频率（即该图像的归一化直方图）为

nkk?0,1,?,L?1? 1??Pr? r k 0 ? rk ， （2.11）

N对其进行均匀化处理，和连续图像的情况类似，变换函数为直方图函数的积累求和，即

nj s k ? T ? r （2.12） ????Pr???krjj?0j?0N

式中，转换函数为sk?T?rk?，输出直方图为Ps?sk?。

kk2.4.3 MATLAB函数及实现

在MATLAB中，可以调用函数histeq自动完成图像的直方图均衡化。对于灰度图像，histeq函数的调用格式如下：

J=histeq(I,n)

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其中，n表示输出图像的灰度级数目，是一个可选参数，缺省值为64。 下面选择图片pout.tif，进行演示说明[7] 程序代码：

I=imread('pout.tif');

J=histeq(I); imhist(I);

figure,imshow(I); figure,imhist(J); figure,imshow(J);

示例图片：

(a) pout 原图 (b) 原图直方图统计

(c) 直方图均衡化后 (d) 均衡化后直方图统计

图2.7 pout图像及直方图

直方图均衡化前后图像的比较如图2.7所示，可以看出，经过直方图均衡化后，图像的细节更加清楚了，但由于直方图均衡化没有考虑图像的内容，所以均衡化后的图像亮度过高。

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2.5 空域滤波增强

空域滤波是在图像空间中借助模板对图像进行邻域操作的，输出图像每一个像素的取值都是根据模板对输入像素相应邻域内的像素值进行计算得到的。一般情况下，像素的邻域比该像素要大，也就是说这个像素的邻域中除了该像素本身还包括了其他像素。以

在这种情况下，g?x,y?在?x,y?位置处的值不仅g?x,y?和f?x,y?分别代表增强前后的图像，

取决于f?x,y?在?x,y?位置处的值，而且取决于f?x,y?在以?x,y?为中心的邻域内所有像素的值。如以s和t分别表示f?x,y?和g?x,y?在?x,y?位置处的灰度值，以n?s?表示f?x,y?在?x,y?邻域内像素的灰度值，则

T?EH?s,n?s?? （2.13） 为了在邻域内实现增强操作，可利用模板与图像进行卷积。每个模板实际上是一个二维数组，其中每个元素的取值决定了模板的功能，这种模板操作被称为空域滤波。 2.5.1 空域滤波基本原理和分类

空域滤波一般可分为线性滤波和非线性滤波两类。线性滤波器的设计常基于对傅里叶变换的分析。非线性空域滤波器则一般直接对邻域进行操作。另外各种空域滤波器根据功能又主要分为平滑滤波器和锐化滤波器。平滑可以用低通来实现，平滑的目的可分为两类：一类是模糊，目的是在提取较大的目标前去除太小的细节或将目标内的小间断连接起来；另一类是消除噪声。锐化可以用高通滤波来实现，锐化的目的是增强被模糊的细节。综合这两种分类法，可将空域滤波增强方法分为四类：

（1） 线性平滑滤波器（低通）； （2） 非线性平滑滤波器（高通）； （3） 线性锐化滤波器（低通）； （4） 非线性锐化滤波器（高通）。

空域滤波器的工作原理都可借助频域进行分析。它们的基本特点都是让图像在傅里叶空间的某个范围的分量受到抑制，而让其它分量不受影响，从而改变输出图像的频率分布，达到增强的目的。在增强中用到的空间滤波器主要有两类：

（1）平滑（低通）滤波器。它能减弱或消除傅里叶空间的高频分量，但不影响低频分量。因为高频分量对应于图像中边缘等灰度值具有较大较快变化的部分，滤波器将这些分量滤去可使图像平滑。

（2）锐化（高通）滤波器。它能减弱或消除傅里叶空间的低频分量，但不影响高频分量。因为低频分量对应于图像中灰度值缓慢变化的区域，因而与图像的整体特性，如整体对比度和平均灰度值等有关，将这些分量滤去可使图像锐化。

空域滤波器都是利用模板卷积，主要步骤如下：

（1） 将模板在图中移动，并将模板中心与图中某个像素位置重合。 （2） 将模板上的系数与模板下对应的像素值相乘。 （3） 将所有乘积相加。

（4） 将和（模板的输出响应）赋给图中对应模板中心位置的像素。

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S4 S3 S2 S5 S0 S1 S6 S7 S8 K4 K3 K2 K5 K0 K1 K6 K7 K8

(a) (b)

R (c)

图2.8图像的模板卷积

图2.8 (a)中给出了图像的一部分，其中所标的是一些像素的灰度值，现设有一个3?3的模板如图2.8(b)所示，模板中所标的是模板系数。如将k0所在的位置与图中灰度值为s0的像素重合，模板的输出响应R为

R?k0s0?k1s1???k8s8 （2.14） 将R赋给增强图，作为在?x,y?位置的灰度值，如图2.8（c）所示。如果对原图中每个像素都进行这样的操作，就可得到增强图所有位置的新灰度值。如果我们在设计滤波器时给各个模板系数赋予不同的值，就可得到不同的高通或低通效果。 2.5.2 平滑滤波器

（1）线性平滑滤波器

线性低通滤波器是最常用的线性平滑滤波器，这种滤波器的所有系数都是正的。对3?3的模板来说，最简单的操作是取所有系数都为1。为保证输出图像仍在原来的灰度范围内，在计算出R后要将其除以9再进行赋值，这种方法称为邻域平均法。

因为邻域平均处理减少了相邻像素值的差别，或者说“扯平”了像素值的波动，而像素值的波动蕴含着较多的噪声和高频分量，在减少噪声影响的同时，也削弱了图像的高频分量，因此图像的邻域平均处理在本质上是一种低通滤波的处理方法[8]。

在MATLAB中函数B=filter2(h,A)来实现均值滤波，其中B=filter2(h,A)返回图像A经过算子h滤波的结果。示例程序如下：

I=imread('tire.tif');

J=imnoise(I,'salt & pepper',0.02); imshow(I);

figure,imshow(J);

K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; K2=filter2(fspecial('average',7),J)/255; figure,imshow(K1); figure,imshow(K2);

结果如图2.9所示。

邻域平均法的平滑效果与所用的邻域的面积有关。面积越大，噪声去除的效果越好，

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-1 -2 -1 -1 0 1 0 0 0 -2 0 2 1 2 1 -1 0 1 (a)对水平边缘响应大 （b）对垂直边缘响应大

图2.13 Sobel算子基本方法

式（2.19）和式（2.20）分别对应图2.13所示的两个滤波模板。为了简化运算，也可以用来 x ? S y 替代式（2.21）的计算，从而得到锐化后的图像。由此可知，Sobelg? S算子不像普通梯度算子那样用两个像素的差值，而用两列或者两行加权和的差值，这就有一下两个优点：

① 由于引入了平均因素，因而对图像中的随机噪声有一定的平滑作用。 ② 由于它是相隔两行或两列的差分，故边缘两侧的元素得到了增强，边缘显得粗而亮。

（a）原图 （b）sobel算子滤波

（c）prewitt算子滤波 （d）log算子滤波

图2.14三种边缘增强算子效果

在MATLAB中常用空域微分算子sobel算子、prewitt算子、高斯-拉普拉斯算子等来实现非线性锐化滤波。下面的例子来显示几种边缘增强算子在图像增强中的不同效果。 I=imread('eight.tif');

figure,imshow(I);

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h1=fspecial('sobel'); K1=filter2(h1,I); figure,imshow(K1); h2=fspecial('prewitt'); K2=filter2(h2,I); figure,imshow(K2); h3=fspecial('log'); K3=filter2(h3,I); figure,imshow(K3);

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3 频域图像增强方法

3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）简介

在连续信号的处理中，傅里叶变换为人们深入理解和分析信号的特性提供了一种强有力的手段。为了能进行定量数值计算，可以通过抽样使原来连续分布的信号变成离散信号。并且由抽样定理可以知道，当满足一定条件时，就可以从有限的抽样精确地恢复出原连续信号，由此大大地降低了分析处理的复杂程度。对于离散信号，与之相对应的是离散傅里叶变换[11]。

离散傅里叶变换建立了离散时域（空间域）与离散频域之间的联系。当信号或图像处理在空域上直接处理时，计算量会随着取样点数的增加而极具增加。采用DFT方法可减少计算量：将输入的数字信号首先进行DFT，把时域（空域）中的卷积或相关运算简化为在频域上的相乘处理，然后进行DFT反变换，恢复为时域（空域）的信号。这样，计算量减少，提高了处理速度。此外，DFT还存在快速算法，可以进一步减少计算量，提高处理速度。

定义二维离散信号{f(x,y)|x?0,1,?,M?1;y?0,1,?,N?1}的DFT的变换为

?uxvy?M?1N?1?j2????1 F ? , y ? e ? M N ? （3.1）? ? f ?xu ,vMNx?0y?0

?? ?uxvy?M?1N?1j2????1 f ? x , y ? ? F (u ,v ? M N ? （3.2） )eMNu?0v?0

式中，u,x??0,1,?,M?1?;v,y??0,1,?,N?1?。

在DFT变换对中，F(u,v)为离散信号f(x,y)的频谱，一般情况下是复数，设F?u,v?为其幅度谱，??u,v?为其相位谱，F(u,v)还可用式（3.3）表达，即

F(u,v)?F(u,v)exp?j??u,v???R(u,v)?jI(u,v) （3.3）

式中R(u,v)和I(u,v)分别为二维复频谱F(u,v)函数的实部和虚部[12]。

F(u,v)的幅度函数为

F?u,v??R2?u,v??I2?u,v? （3.4）

??

除了二维离散傅里叶变换，还有DCT变换、沃尔什变换、哈达玛变换、正交的K-L变换等。都是时域到频域的变换方法。受篇幅问题，这里不再做介绍了。

?I?u,v?? ? ? u , ? ? （3.5） ?arctanv

?R?u,v??F(u,v)的相位函数为

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3.2频域增强定义和步骤

频域增强是利用图像变换方法将原来的图像空间中的图像以某种形式转换到其它空间中，然后利用该空间的特有性质方便地进行图像处理，最后再转换回原来的图像空间中，从而得到处理后的图像。 频域增强的主要步骤是：

(1) 选择变换方法，将输入图像变换到频域空间；

(2) 在频域空间中，根据处理目的设计一个转移函数并进行处理； (3) 将所得结果用反变换得到图像增强。 频域增强的方法有两个关键点：

(1) 将图像从空间域转换到频域所需的变换及将图像从频域空间转换回空间域所需的变换；

(2) 在频域空间对图像进行增强的操作。

根据适用范围的不同，常用的频域增强方法有低通滤波和高通滤波。

3.3 低通滤波

图像在传递过程中，由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H?u,v?来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获 得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。在傅里叶变换域中，变换系数能反映某些图像的特征，如频谱的直流分量对应于图像的平均亮度，噪声对应于频率较高的区域，图像实体位于频率较低的区域等，因此频域常被用于图像增强。在图像增强中构造低通滤波器，使低频分量能够顺利通过，高频分量有效地阻止，即可滤除该领域内噪声。由卷积定理，低通滤波器数学表达式为：G?u,v??F?u,v?H?u,v?式中，F?u,v?为含有噪声的原图像的傅里叶变换域；H?u,v?为传递函数；G?u,v?为经低通滤波后输出图像的傅里叶变换。假定噪声和信号成分在频率上可分离，且噪声表现为高频成分。H?u,v?滤波滤去了高频成分，而低频信息基本无损失地通过。

选择合适的传递函数H?u,v?对频域低通滤波关系重大。常用频率域低通滤波器H?u,v?有四种[13]：理想低通滤波器、Butterworth 低通滤波器、指数低通滤波器、梯形低通滤波器。

3.3.1 理想低通滤波器

设傅立叶平面上理想低通滤波器离开原点的截止频率为D0，则理想低通滤波器的传递函数为：

D?u,v??D0?1 H ?u , v ? ? ? （3.6）

??0Du,v?D0?

式中，D?u,v??u2?v2

??1/2表示点?u,v?到原点的距离，D0表示截止频率点到原点的距离。

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3.3.2 Butterworth 低通滤波器

n 阶Butterworth 滤波器的传递函数为[14]：

1??Hu,v? 2n?D?u,v?? （3.7） 1????D0?

Butterworth低通滤波器是一种物理上可以实现的滤波器。它的特性是连续性衰减，而不像理想滤波器那样陡峭变化。 3.3.3 指数低通滤波器

指数低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。它的传递函数为：

nD?u,v?? （3.8） D0, v ? H u e

??3.3.4 梯形低通滤波器

梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折中。它的传递函数为：

?1D?u,v??D0 ??D?u,v??D1??Hu,v?D? D 0 ? ? u ,v ? ? D 1 （3.9）

D?D01? ?0D?u,v??D0?

3.3.5 MATLAB算法及其实现

（1）理想低通滤波器[15]

图3.1理想低通滤波器特性曲线

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