2018中考数学汇编专题五二次函数综合压轴题(pdf)

专题五 二次函数综合压轴题(不含解析类)

1.（2018 江苏南通，第 27 题, 12 分）

已知，正方形 ABCD，A(0，﹣4)，B(1，﹣4)，C(1，﹣5)，D(0，﹣5)，抛物线 y＝x2＋mx﹣ 2m﹣4(m 为常数)，顶点为 M． （1）抛物线经过定点坐标是 ，顶点 M 的坐标（用 m 的代数式表示）是 ；

（2）若抛物线 y＝x2＋mx﹣2m﹣4(m 为常数)与正方形 ABCD 的边有交点，求 m 的取值范围； （3）若∠ABM＝45°时，求 m 的值． 【解析】

m1

? （1）(2，0)，( ， ? m2 ? 2m ? 4 )； 2 4

1

（2） ? m ? 1 ；

2

（3） m ? 21 ? 5 或 29 ? 5 ．

2.（2018 江苏泰州，第 26 题, 14 分）

平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1 ? (x＞0)的图象，点 A′与点

k

x

A 关于点 O 对称，一次函数 y2 ? mx ? n 的图象经过点 A′．

（1）设 a＝2，点 B(4，2)在函数 y1 ， y2 的图像上．①分别求函数 y1 ， y2 的表达式；②直 接写出使 y1 ＞ y2 ＞0 成立的 x 的范围；

（2）如图①，设函数 y1 ， y2 的图像相交于点 B，点 B 的横坐标为 3a，△AA′B 的面积为 16，求 k 的值；

（3）设 m＝ ，如图②，过点 A 作 AD⊥x 轴，与函数 y 的图像相交于点 D，以 AD 为一 边向右侧作正方形 ADEF，试说明函数 y2 的图像与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1 的图像 上．

1 2 2

1

【解析】

（1）① y1 ? ， y2 ? x ? 2 ，②0＜x＜4；

8 x

（2）k 的值为 6；

a k 2 （3）设 A( a ， )，则 A′(﹣ a ，﹣ )，代入 y 得 n ? ? ，

k k

1 a k

∴ y2 ? x+ ? ，

2 2 a k

∴D( a ， a ? )

a 2k

∴AD＝ ? a ，

a

a 2k a 2k 2k

∴ xP ? a ??? a ??，代入 y2 得 yP ? ，即 P( ， ) a

a k a 2 a 2

将点 P 横坐标代入 y1 ? 得纵坐标为 ，可见点 P 一定在函数 y1 的图像上．

x 2

3. （2018 江苏无锡，第 28 题, ）

已知；如图，一次函数 y ? kx ?1的图象经过点 A（ 3

（m>0）,与 y 轴交于点 B，点 5 ，m）

a a 2 a

C，在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D，若 AC=CD，

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P

且垂直于 AP 的直线与 x 轴 的交点为 Q（ ? 4 5 5

，0）求这条抛物线的函数表达式。

2

y A C x O B D 【解答】作 BE⊥CD，AF⊥BE，AM⊥CD 易证△BEC∽△BFA

∴ BC BA

??

BE BF

∵BC=2AC，A（ 2 5 ，m）

BE 2 ? 3 5 3

∴BE=2 5

C（2 5 ，2 5 k-1）

又∵ y ? kx ?1

2 易得 AC= 5 k ?1

2 ∵AC=CD，∴ 5 k ?1 =2 5 k-1

所以得到 k=

2 5

5

（3）设 y ? a(x ? 2 5 )2 ? h A（ 3 5 ，5）

h×（h-5）=（ 2 5 ?

h =7

4 5 ）×

5

5

y ? a(x ? 2 5 )2 ? 7

3

5a+7=5

2 2

a= ? 即 y ? ??(x ? 2 5 )2 ? 7

5 5

-1

4. （2018 江苏徐州 ，第 27 题,）

已知二次函数的图象以 A（－1，4）为顶点，且过点 B（2，－5） ①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′， 求△O A′B′的面积. [解析]

解：（1） y ? ?x? 2x ? 3

2

（2） （0,3），（－3,0），（1,0） （3）略

y 5. （2018 江西 ，第 23 题） 小贤与小杰在探究某类二次函数问 题时，经历了如下过程： 求解体验

(1) 已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ， (2) 顶点坐标为 ， 该抛物线关于点(0,1）成中心 O 对称的抛物线的表达式是

. 抽象感悟

备用图

我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关

x

4

于点 对称的抛物线 ′ ,则我们又称抛物线 ′为抛物线 的“衍生抛物线”，点 为“衍生 中心”.

(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ′，若这两条抛物线有交点， 求 的取值范围. 问题解决

(3) 已知抛物线 ①若抛物线 的衍生抛物线为 ′

,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线

为 ，其顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；…( 为 正整数).求 的长(用含 的式子表示). 【解析】

求解体验

(1)把(-1,0)代入 得

∴ －

y

∴顶点坐标是(-2,1)

∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1) ∴成中心对称的抛物线表达式是： 即

(如右图)

★

★

抽象感悟

(2) ∵ ∴ 顶点是（-1,6）

∵ (-1,6)关于 的对称点是

∴ ′

1

xO

y

∵ 两抛物线有交点

∴ 有解 ∴ 有解 ∴ ∴ (如右图) ★★★ 问题解决

(3) ① ∵ =

∴ 顶点（-1， ）

代入 ′ 得：

∵

′

O

x

y

①

9 6 3

∴ 顶点（1， ）

5

O

x

代入 得：

②

由① ② 得

∵ , ∴

∴ 两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12） 由中点坐标公式得

“衍生中心”的坐标是（0,6）

★

② 如图，设 , … , 与 轴分别相于 ,

与 , 与 ,… 与 ， 与 分别关于 , 对称.

∴ , … 分别是△ , … 线，

∴ ， … ∵ ,

∴ ★★

y

An+1

Bn+1 O An x

A Bn Bk B1 Ak

A1

6

★★

… , . 则

… , 中心

的中位

★★

]

6. （2018 辽宁大连，第 24 题）

如图 1，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°，得 到 AC，连接 BC，将△ABC 沿射线 BA 平移，当点 C 到达 x 轴时运动停止．设平移为 m， 平移后的图形在 x 轴下方部分的面积为 S．S 关于 m 的函数图象如图 2 所示（其中 0＜m≤a， a＜m≤b 时，函数的解析式不同） （1）填空：△ABC 的面积为 ； （2）求直线 AB 的解析式；

（3）求 S 关于 m 的解析式，并写出 m 的取值范国．

5 4

7. （2018 山东滨州，第 26 题，14 分）

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于 点 B．

（1）当 x=2 时，求⊙P 的半径；

（2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； （3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中 所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 有点的集合．

（4）当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小． 【解答】解：（1）由 x=2，得到 P（2，y）， 连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴，即 PB=y，

的距离等于到 的距离的所

由 =y，

解得：y= ， 则圆 P 的半径为 ；

7

（2）同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2， 整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x 轴 的距离的所有点的集合； 故答案为：点 A；x 轴；

（4）连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 ∴D 坐标为（1+

， ，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+去），即

或

（舍

，

则cos∠APD=﹣2． 在 Rt△PED ﹣= 2，PD=1，

8.（2018 山东济宁，第 21 题，9 分） 知识

8

背景

9

a a

当 a＞0 且 x＞0 时，因为( x – a )2≥0，所以 x﹣2 a + ≥0，从而 x+ ? 2 a

（当 x= a 时取等号）． 设函数 y=x+ 应用举例

x x x

a x

(a＞0，x＞0)由上述结论可知：当 x= a 时，该函数有最小值为 2 a ．

4

已知函数为 y1=x(x＞0)与函数 y2== (x＞0) ，有最小值为 2 4 =4． 则当 x= 4

=2 时，y+y=x+ x 12x

解决问题

（1）已知函数为 y1=x+3(x＞﹣3)与函数 y2=(x+3) +9(x>﹣3)，当 x 取何值时，

最小值是多少？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是

设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比， 比例系数为 0.001，若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每 天的租货使用成本最低？最低是多少元？

2

4

y2 y1

有最小值？

【解答】解：（1）==（x+3）+ ，

∴当 x+3= 有最小值，

∴x=0 或﹣6（舍弃）时，有最小值=6．

（2）设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元．则 w=

=

∴当=0.001x 时，w 有最小值，

+0.001x+200，

∴x=700 或﹣700（舍弃）时，w 有最小值，最小值=201.4 元．

9.（2018 山东聊城，第 25 题）

如图，已知抛物线 y ? ax? bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F(10, 0) ，与对称轴 l 交于点

2

E(5,5) .矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB ? 1，边 AD ， BC 与抛物线分别交 于

点 M ，N .当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M ，N 位于对称轴 l 的同侧时，连接 MN ，

10

此时，四边形 ABNM 的面积记为 S ；点 M ，N 位于对称轴 l 的两侧时，连接 EM ，EN ， 此时五边形 ABNEM 的面积记为 S .将点 A 与点 O 重合的位置作为矩形 ABCD 平移的起点， 设矩形 ABCD 平移的长度为 t(0 ? t ? 5) .

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 t ? 0 时，求 S?OBN 的值；

（3）当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向平移时，求 S 关于 t(0 ? t ? 5) 的函数表达式，并求 出 t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？

10

10.（2018 山东淄博，第 24 题，9 分）

如图，抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点 为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

11

），点 ）， O

（2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 n＜m，求 t 的取值范围； （3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点 C 的坐标．

【解答】解：（1）把点 A（1，），点 B（3，﹣）分别代入 y=ax2+bx 得

解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x= 当 时，y 随 x 的增大而减小 ∴当 t＞4 时，n＜m．

（3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F

分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D，BE⊥OC 于点 E

12

∵AC≥AD，BC≥BE ∴AD+BE≥AC+BE=AB

∴当 OC⊥AB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大．

∵A（1，），点 B（3，﹣）

∴∠AOF=60°，∠BOF=30° ∴∠AOB=90° ∴∠ABO=30°

当 OC⊥AB 时，∠BOC=60° 点 C ，

）．

11.（2018 山西，第 23 题，9 分） 综合与探究

如图，抛物线 y ? x? x ? 4 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交

2

1 1

3

3

于点 C ，连接 AC ， BC .点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m ，过 点 P 作 PM ? x 轴，垂足为点 M ，PM 交 BC 于点 Q ，过点 P 作 PE // AC 交 x 轴于点 E ， 交 BC 于点 F .

（1）求 A ， B ， C 三点的坐标；

（2）试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q ，使得以 A ， C ， Q 为顶点的三 角形是等腰三角形.若存在，请直．接．写出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m 为何值时 QF 有最大值.

13

12.（2018 云南，第 20 题，9 分）

已知二次函数 y＝– 9

x2＋bx＋c 的图象经过 A（0，3）、B（–4，– ）两点． 16 2

3 （1）求 b、c 的值；

3 2

（2）二次函致 y＝– x＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；

16

若没有，请说明理由．

14

12.（2018 浙江杭州，第 22 题，12 分）

设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点， 求该二次函数的表达式．

（3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【解答】解：（1） 由题意△=b2﹣4?a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）

2

≥0

∴二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个 （2）当 x=1 时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点 C

把点 A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为 y=3x2﹣2x﹣1

（3）当 x=2 时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0②

15

①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0

13.（2018 浙江嘉兴，第 23 题，12 分）

（1）?点 M 坐棕是 (b,4b ?1) ,

?把 x ? b 代入 y ? 4x ?1,得 y ? 4b ?1,

?点 M 在直线 y ? 4x ?1上.

（2）如图 1, ?直线 y ? mx ? 5 与 y 轴交于点内 B ,?点 B 坐杯为 (0,5) . 又

? B (0,5) 在抛物线上,

? 5 ? ?(0 ? b)2 ? 4b ?1,解得 b ? 2 ,

?二次函数的表达式为 y ? ?(x ? 2)2 ? 9 ,

?当 y ? 0 时,得 x1 ? 5, x2 ? ?1.? A(5,0) 双察图象可得,当 mx ? 5 ? ?(x ? b)2 ? 4b ?1时, x 的取值范围为 x ? 0 或 x ? 5

（3）如图 2, ?直线 y ? 4x ?1与直线 AB 交于点 E ,与 y 轴交于点 F , 而直线 AB 表达式为 y ? ?x ? 5 ,

? 4 解方程组 ?4x ? 1?? 得 ?? y ? ?x ? 5 ? ?

y ? 5 ?点 E( 4 , 21), F (0,1) ?5 5 ?? y ? 21

5

点 M 在 ?AOB 内,?0 ? b ? 4

.

5

当点 C, D 关于抛物线对称轴（直线 x ? b ）对称时,

b ? 1 ? 3 ? b,?b ? 1

4 4 2

且二次函数图象的开口向下,顶点 M 在直线 y ? 4x ?1上,

16

综上:①当一?0 ? b ??

1 2

时. y1 ? y2

②当 b ??

1 2

时， y1 ? y2 ;

③当 ? b ??

1 2

4 5

时， y1 ? y2

14. （2018 浙江杭州，第 23 题，12 分）

巳知,点 M 为二次函数 y ? ?(x ? b)? 4b ?1图象的顶点,直线 y ? mx ? 5 分别交 x

2

轴, y 轴于点 A, B

（1）判断顶点 M 是否在直线 y ? 4x ?1上,并说明理由.

（2）如图 1.若二次函数图象也经过点 A, B .且 mx ? 5 ? ?(x ? b)? 4b ?1.根据图象, 写

2

出 x 的取值范围.

（3）如图 2.点 A 坐标为 (5,0) ,点 M 在 ?A0B 内,若点 C(, y ) , D( , y ) 都在二次函数图象

1 3

4 上，试比较 y1 与 y2 的大小.

1 4

2

【解答】解：（1）点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点， ∴M 的坐标是（b，4b+1）， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， ∴点 M 在直线 y=4x+1 上；

17

（2）如图 1

直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，

∴B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， ∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=﹣（x﹣2）2+9，

当 y=0 时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得 x1=5，x2=﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得

当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5； （3）如图 2，

∵直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0），B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+5， 联立 EF，AB 得 方程组

，

，

解得

，

∴点 ，1）．

），F（0，

点 M 在△AOB 内，

1＜4b+1＜

∴0＜b＜．

当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ = ﹣b，∴b= ，

18

且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：①当 时，y1＞y2， ②当 时，y1=y2， ③当＜b＜时，y1＜y2．

15. （2018 浙江宁波，第 22 题，10 分） 已知抛物线 x2+bx+c ）． （1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平 移后的函数表达式．

【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得： 解得：

，

，

则抛物线解析式为 x2﹣x+；

（2）抛物线解析式为 x2﹣x+=﹣（x+1）2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 x2． 16.（2018 浙江舟山，第 23 题，10 分）

已知，点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴， y 轴于点 A，B．

（1）判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由．

（2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象， 写出 x 的取值范围．

（3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在△AOB 内，若点 ，y1），D（，y2）都 在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．

19

【解答】解：（1）点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点， ∴M 的坐标是（b，4b+1）， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， ∴点 M 在直线 y=4x+1 上；

（2）如图 1

直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，

，

∴B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， ∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=﹣（x﹣2）2+9，

当 y=0 时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得 x1=5，x2=﹣1， ∴A（5，0）． 由图象，得

当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5； （3）如图 2，

∵直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0），B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y=﹣x+5， 联立 EF，AB 得

20

方程组

，

解得

，

∴点 ，），F（0，

1）．

点 M 在△AOB 内，

1＜4b+1＜

∴0＜b＜．

当点 C，D =﹣b，∴b=， 口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上，综上：①当 时，y1＞y2， ②当 时，y1=y2， ③当 ＜b＜ 时，y1＜y2．

且二次函数图象开21

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