理论力学期末复习题(动力学1)

理论力学作业及试卷中典型错解选评

主编：江晓仑 制作：王桥川

? 错误解答 ? 错因分析 ? 正确解答

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前言

理论力学课程是工科各专业的主干课程，又是基础力学(理论力学、材料力学、结构力学)课程的第一门课程，广大学生在学习本课程时，总感到有些难学，尤其感到作题难。为了帮助广大学生克服学习理论力学课程时的困难，我们从多年积累的学生作业及考试试卷中所犯下的诸多常见错误中，选其典型的，选编了一部分，指出错因，给出正确解答，以使广大学生从过去人们常犯的错误中，吸取教训，加深对本课程的概念、公式、定理、原理、方法的理解，以便学好本门课程。

2006年10月

动力学（一）

题3-1 质量为m、摆长为l的单摆，角坐标的零位置为铅锤位置，自然坐标轴如图3-1所示。试建立摆锤的运动微分方程。

错误解答：

由质点动力学基本方程的自然坐标投影式，有

O?nlma??mgsin?，

FTMmg??，所以有 因为a??l????gsin??0 l? （1）

?图3—1

man??mgcos?

?2，所以有 因为an?l??2?gcos??0 l?错因分析：

?、???均以反上解中式（1）式错误的，因为题设?以反时针转向为正，故? （2）

??。 时针转向为正，这里，按照图示的切线方向，应有a???l?正确解答：

由质点动力学基本方程的自然坐标投影式，有

????mgsin? ma???F?，m??l?即

????gsin??0 l （1）

?2?FT?mgcos? man??Fn，ml?即

?2?mgcos? FT?ml? （2）

式（1）、（2）就是单摆的运动微分方程。

题3-2 质量为m的套筒，在绳子的牵引下可沿光滑水平杆滑动。绳子绕过不计尺寸的滑轮B后缠绕在半径为r的鼓轮上。且绳子和轮之间无相对滑动。若鼓轮以匀角速度ω绕O轴顺时针转动，求绳中拉力（表示为x的函数）。

BsOrFTmgFTmg?s??xL?A??xx?A??xx?xAFN(b)FN(c)

(a)图3—2错误解答：

??r?。套筒A的速度x?如图3-2（a）所示，则有 设AB段绳长为s，则sxx???s?cos???s????r? x （1）

ssx?r??s?xr??s?xs?x2xr2?2s???r? （2） x???2222ssx?L以套筒为研究对象，其受力图如图3－2（b）所示。由质点动力学基本方程，有

???FTcos? m?x于是有

（3）

?m?xs?2xr2?2FT????m??2?cos?x?x?L2?2xr2?2? ??223/2?x?L??错因分析：

1. 上解中式（1）是错误的，因为由图中几何关系有s2?x2?L2，所以

??x?ss?s?? s22xs?L2. 上解中式（2）的 计算有误，漏掉了一个负号。

???r?而非s??r?。 3. 当鼓轮顺时针转动时，AB段绳子缩短，即s正确解答： 由几何关系有

s2?x2?L2

上式对时间求一阶、二阶导数，有

s?r?x2?L2??s?? xxx?r????x?xxx2?L2??r?x2?L2?xx2L2r2?2??

x3以套筒为研究对象，其受力图如图3－2（b）所示。由质点动力学基本方程，有

???FTcos? m?x?m?xs?L2r2?2FT????m???cos?x?x3?mL2x2?L222?r? 4??x? 题3－3

质量为m的套筒A，在绳子的牵引下可沿光滑杆OO1滑动。绳子

的另一端缠绕在半径为r的鼓轮上，且绳与鼓轮之间无相对滑动。若鼓轮以匀角速度?绕O轴转动，求绳子拉力FT与x之间的关系。

??sy?xOrB??Amg(b)FTFN?s?xO?rBsA?FTFNvAsAvA?mgA??x(d)O1(a)O1(c)图3—3错误解答：

?，如图3－?，AB段绳长为s，绳子的速度为s设套筒A滑动的速度为vA?x

3（a）所示。于是有

?cos??s?，x??xx? ss

（1） （2）

?s?xs?xx??????xs

ss2

??r?，又因?为常量，所上式中s2?x2?r2。因绳与轮之间无相对滑动，故有s以

?s??0

将式（1）、（3）代入式（2），有

（3）

x??s?xs?s?s?xs?x???x?s2?0 2ss即套筒A作匀速直线运动，其受力图如图3－3（b）所示。于是有

FTcos??mg?0

mgsFT??mg?cos?x错因分析：

x2?r2mg x1. 上解中式（1）是错误的，因为由图示的几何关系，有x2?s2?r2，对时间求导数，得

??xs??s?cos? sx??r?。??r?而不是s??r?2. 上解中式（2）也是错误的，下面将要证明：s

正确解答：

由图示几何关系有

x2?s2?r2

（1）

上式对时间求导数，有

??xs??s?cos? sx （2）

但 s?rtan??rcot?，所以

?csc2? ?sec2???r???r?s （3）

令ABC段绳子长为l，鼓轮的转角为?，如图3－3（c）所示，则有

l?r??????s，dl??rd??ds

因为绳子缩短dl时，鼓轮转角增加d?，故有

?dl?d? r （4）

由式（4）有

?dldsd?d?1ds?d???d??，???? rrdtdtrst因为

d???，所以 dt

??s???? ?，即s??r???r???r? （5）

又因 所以

???2??

? ?????于是式（5）成为

??? ???r?s将式（3）代入式（6），得

?? （6）

?csc2???r????，??csc2??1?? ?r?所以

???tan2? ????? （7）

将式（7）代入式（6），得

???r?sec2? s （8）

将式（8）代入式（2），得

???r?sec2? x （9）

将式（9）对时间求导数，考虑式（7），得

?sec?tan???r?2sec?tan3? ????r??x以套筒A为研究对象，其受力图如图3－3（d）所示。由质点动力学基本方

程，有

??mg?FTcos? m?x

??sm?g??xxg?r?2sec?tan3? FT??mg?m22cos?xx?r重P?30kN的物块悬于刚度系数为

O1??题3－4

k?20kNcm的钢索的下端，以匀速v0?2ms下降，若滑

轮突然卡住，求钢索中的最大张力。

错误解答：

以物块为研究对象。取坐标原点在平衡位置。当卡住后物块移动距离x时受力图如图3－4所示。此时取钢索中的弹性力为

v0FF?k??0?x?

由质点运动微分方程，有

xP??P?F?P?k??0?x? m?x图3—4δx

0因平衡时k?0?P，代入上式，得

???kx m?x （1）

为求最大张力，需要钢索的最大伸长量，为此，将式（1）积分，有

??dx?dxdxdx??m?m??m?x?mx??kx

dtdtdxdxk?dx???xdx x即

m积分上式，有

0xmk12k12xm??xdx??xdx?v???x?0 ， （2） 0?v0??0m2m2k22v0?xm??02

m??即

2mv030000?2002?30000?2?xm???0????7.967cm ??k980?20000?20000?2最大张力Fmax?kxmax?20?7.967?159.34kN

错因分析：

上解中式（1）是正确的。其错误在于式（2）中的积分下限?0是错误的，因为题设的坐标原点为平衡位置，也就是说，运动开始时x0?0，故积分下限应取为零。若将积分下限取为?0，就意味着坐标原点不在平衡位置，而在设有伸长?0时的位置。若如此，钢索中的力应为

F?kx

而其运动微分方程应为

??kx?P ??P?kx，m?m?xx （3）

用式（3）积分，才能得到正确的最大伸长量xmax。

正确解答：

将上解式（2）的积分下限改为零，积分，得

0xmk12k12??xdx??xdx?v???xm ，0?v0?0m2m2所以

xm?v0km?20020000?98030000?7.825cm

因平衡时k?0?P，故?0?P20000??1.5cm k30000最大伸长量为xmax?xm??0?7.825?1.5?9.325cm

钢索中的最大张力为Fmax?kxmax?20?9.325?186.6kN

钢索内张力是物块重量的6.22倍，是很危险的。

题3－5

一个质量为m的人手拿一质量为m0的物块以水平成?角的初速

度v0向前跳出（图3－5）。当达到最高点时将物块以相对速度u水平向后抛出，问由于抛出物块使所跳速度增加多少？不计空气阻力。

错误解答：

y将人与物块视为一质点系作为研究对象，

当其达到最高点（尚未抛出物块）时质点系的

v0动量为

um0gmgv?m?m0?v0cos?

mv?m0u

（1）

抛出后，人的速度变为v，此时质点系的动量为

（2）

?sx

图3—5因有?Fx?0，所以质点系动量在x方向守恒。于是有

?m?m0?v0cos??mv?m0u

解得

v? （3）

?m?m0?v0cos??m0um

速度的增量为

?v?v?v0?m0?v0cos??u? m错解分析：

上解根据?Fx?0得出质点系动量在水平方向守恒是正确，但式（2）、（3）、（4）是错误的，因为动量守恒定理只适用于惯性参考系，计算动量时所用的速度必须是对惯性参考系的速度，即通常说的绝对速度，故式（2）中以物块的相对速度u计算其动量是错误的，应以它的绝对速度计算其动量，而绝对速度为

??u?v?。

正确解答：

将人与物块视为一质点系。当其达到最高点当尚未抛出物块之前，质点系的动量为

(m?m0)v0cos?

抛出物块后人的速度变为v，人的动量为mv。若以物块为动点，动参考系与人固结，则物块的相对速度为?u，牵连速度为v，绝对速度则为?u?v，物块的

动量为m0(v?u)。

因质点系所受外力在x轴方向投影的代数和为零，故质点系动量在x方向守恒。

于是，有

?m?m0?v0cos??mv?m0(v?u)

解得

v?v0cos??m0u m?m0m0u m?m0?v?v?v0cos?? 题3－6

质量为m1的小车A置于光滑水平面上，其上悬挂一质量为m2、

长为l的单摆（图3－6），单摆B按规律???0sinkt摆动，式中k为常数。设除瞬时小车处于静止状态，求小车的运动方程。

错误解答：

解一 因系统所受全部力在水平方向投影的代数和为零，故质点系动量在水平方向守恒，即

yx1A?m1xlm2B??mvx?0 （1）

于是，根据质点系动量守恒定律，有

?l??cos?)?0 （2） ?A?m2(x?A?l?m1x?cos?ml??A??2 xm1?m2图3—6

（3）

积分式（3），得

xA??lm2sin(?0sinkt)

m1?m2 （4）

解二

因有?Fx?0，故质心运动守恒。在任意位置时，质心C的坐标为

xC?m1xA?m2(xA?lsin?)

m1?m2 （5）

设坐标轴y的初始位置通过质心，即有

xC0?0

所以有

（6）

xA??m2lsin(?0sinkt)（7）

m1?m2错因分析：

在上解中，根据所有外力水平方向投影的代数和为零，即?Fx?0，从而得出质点系动量在水平方向投影守恒、质心在水平方向运动运动守恒的结论是正确的。但是，在上解中，错误的认为质点系动量守恒就是所有动量的代数和等于零。本题的初始运动状态，虽然小车静止，但单摆的摆锤B并不静止，这是因为给知

?0?k?0，也就是说，质点系初始动量在水平方向的投???0sinkt，当t?0时，??0?m2lk?0，即 影为m2l??mvx?常量?0

故上解一中式（1）是错误的，而由此导致了式（2）、（3）、（4）也是错误的。 在上面解二中，令坐标轴y的初始位置通过质心，就认为质心的x坐标恒为零是错误的。质心运动守恒是说质心的运动状态保持不变。而要保持质心的运动

状态不变，除了质心加速度为零外，还要考察质心的初始速度，若质心的初始速度为零，则质心保持静止不动，若质心有初速度，则保持这一速度不变，质心作

?0?lk?0，尽管小车是静止的，匀速直线运动。本题初始时摆锤m2具有初速度l?质心并不静止，故式（6）是错误的。

正确解答：

解一 系统所受的全部力在水平方向投影的代数和为零，即?Fx?0，所以质点系动量在水平方向投影为常量，即质点系动量在水平方向守恒，有

?mvx?常量

当t?0时，小车静止，但单摆B却不静止，这是因为

?0?k?0 ???0kcoskt，t?0时，??根据质点系动量守恒定律，有

?cos?)?m2lk?0 ?A?m2(x?A?l?m1x?A?lxm2?cos?? ?k?0??m1?m2积分上式，有

xA?lm2?k?0t?sin(?0sinkt)?

m1?m2解二 这一结果也可以由质心运动守恒定律求得，因有?Fx?0，且vC0?

常量，质心初始坐标xC0?vC0t，而质量中心的初始速度为

vC0?m1?0?m2l?0km2l?0k ?m1?m2m1?m2质心的坐标

xC0?vC0t?在任意位置，有

xC?m2l?0kt

m1?m2m1xA?m2(xA?lsin?)

m1?m2因

xC0?xc?vC0t，所以

m1xA?m2(xA?lsin?)m2l?0k?t

m1?m2m1?m2于是，得小车得运动方程为

xA?lm2?k?0t?sin(?0sinkt)?

m1?m2

题3－7

求水柱对涡轮固定叶片压力的水平分力。已知水的体积流量为

Q，密度为?，水打在叶片上的速度为v1是水平的，水流流出的速度v2与水平成

?角。

错误解答：

取水柱 ABC为研究对象，由流体流经弯曲管道时所产生的附加动压力公式，水柱对叶片的动压力的水平分力为

Fx??Q?v2cos??v1? （1）

错因分析：

1. 所求Fx（图示方向向右）不是水柱对叶片的水平动反力，而是叶片对水柱的水平动反力，因为所取的研究对象是水柱。

2. 式（1）是错误的，因为理想流体流经弯曲管道时所产生的附加动压力公式为

FxB?v2A?v1xCv2

图3—7FN??Q?v2?v1? （2）

也即，流柱受到的动反力等于单位时间内，流出流体的动量?Qv2和流入流

体的动量?Qv1的矢量差。本题有一个入口、两个出口，对于理想流体，总的流量应为Q，而分别从B、C两个出口流出的流量QB和QC之和应等于总流量，即

Q?QB?QC

因此，单位时间内流出的水的动量应为

dp2??QBv2??QCv2 dt于是，当水流有一个进口、两个出口的情况下，水流受到的动反力应为

FN??(QBv2?QCv2?Qv1)

（3）

将上式投影到x轴，便得到叶片对水柱的动反力。

正确解答：

以水柱ABC为研究对象，本题的水流有一个进口、两个出口，故应用式（3），并将式（3）沿x轴投影，可得水柱所受到的水平动反力

FNx???QBv2cos??QCv2cos??Q??v1????Q?v2cos??v1?

而叶片所受的水平动压力FN?x与FNx大小相等、方向相反，作用在叶片上。

题3－8 质量为m、长为l的均质杆AB，其B端置于光滑水平面上，在杆与水平面夹角为?时无初速度释放。对于图3－8（a）所示坐标系，求杆端A的轨迹方程。

yAyA?yA?B(a)x?B(b)xB?x(c)图3—8错误解答：

考虑杆AB倒至任意位置时[图3－8（b）]，则A点的坐标为

xA?lcos?，yA?lsin?

从上式中消去?，则得A点的轨迹方程为

（1）

22xA?yA?l2

（2）

则A点的轨迹为圆。

错因分析：

因为水平面是光滑的，所以，在杆AB倒下的过程中，杆端B将沿水平面滑动而非固定点。上解中按坐标系Bxy固定不动而写出的A点轨迹式（1）、（2）显然是错误的。

另外，本题欲求的A点的轨迹，显然应为对于惯性参考系（固定不动）而言的绝对轨迹，图3-8（b）所示的坐标系Bxy随B点加速运动而不固定，因此，对

Bxy写出的轨迹方程不是绝对轨迹而是相对轨迹。

正确解答：

因为地面光滑，杆AB所受的所有力在水平方向投影的代数和为零，即有

?Fx?0，又因为将杆无初速度释放，故质心的初始速度等于零，即

vC0?0

于是质心的x坐标xC?常量。按题设的坐标系[图3－8（c）]，质心的初始x坐标为

xC0?lcos? 2 （1）

杆AB在任意位置时，有

xA?llcos??cos? 22

（2） （3）

yA?lsin?

从式（2）、（3）中消去?，得A点的轨迹方程为

2?2xA?lcos??2?yA?l2

（4）

故可知A点的轨迹为一椭圆。

题3－9 质量为m，半径为r的均质滑轮可绕中心轴O转动，缠绕其上的绳索吊一质量也为m的物块A，滑轮上作用一已知常力偶，其矩为M。轴承摩擦不计。试求滑轮的角加速度。

错误解答：

解一 以系统为研究对象。设滑轮在力偶M作用下反时针转动，其角加速度为?，角速度为?，其受力图如图3－9（a）所示。由

dL动量矩定理z??Mz?F?求解。

dt?MFOyOr?MFOxBFOyOFOx??BmgmgFT?FTv(a)Aa(b)Amg图3—9mg

滑轮对O轴的动量矩

1L1?JO??mr2?

2物块A对O轴的动量矩，设AB段绳长为l，则

L2?m?OA????mr2?l2?

2???1系统对O轴的动量矩为Lz?L1?L2??mr2?mr2?l2?2?????

? （1）

由动量矩定理，有

d??1222??mr?mr?ldt??2????????M?mgr ?? （2）

于是，滑轮的角加速度为

2?M?mgr??? 223mr?2ml解二 应用刚体绕定轴转动微分方程，有

1JO??M?mgr，mr2??M?mgr

22?M?mgr???于是

mr2错解分析：

（3）

（4） （5）

（1）在解一中，物块A的动量矩计算有误，它不等于mr2?l2?。因为物块A的动量为mv?mr?，它到O轴的垂直距离为r，故它对O轴的动量矩应为

mr2?。由此导致式（2）、（3）都是错误的。

??（2）在解二中，式（4）是错误的。因为该系统不是单个刚体，显然不能对系统应用刚体绕定轴转动微分方程Jz???Mz(F)来求解。只有分别以滑轮和物

块A为研究对象时，对滑轮才能应用Jz???Mz(F)求解，但此时外力对O轴之矩将不再是M?mgr而是M?FT?r，FT为绳中拉力。

正确解答：

解一 以整体系统为研究对象。滑轮的角速度?、角加速度?以及物块A的速度v，系统所受的力均如图3－9（a）所示。由质点系动量矩定理

dLO??MO?F?，有 dtd?JO??mv?r??M?mgr dt （1）

式中JO?12mr，v?r?，故有 2?122?d?mr?mr?M?mgr ???2?dtd?2?M?mgr?? 2dt3mr解二 分别以滑轮和物块A为研究对象，其运动量及受力图如图3－9（b）所示。

所以 ??对滑轮，应用刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有

JO??M?FT?r

（2）

对物块A，应用质点动力学基本方程，有

ma?FT?mg

上式中JO? （3）

12mr，a?r?，分别将其代入式（2）、（3），得 22?M?mgr??? 23mr

题3－10 不计质量得圆轮半径为R，可绕其中心水平轴O转动。在轮缘上沿切线方向焊接一质量为m，长为2R的均质杆。在AB水平位置无初速度释放。求该瞬时A处的约束反力。

y?MAACBxROOFOyFOxFAxFAyMAAC?BFAxFAymgCAR(a)RBCAR(b)BaC?(c)aC?(d)mgmg图3—10

错误解答：

（1）以整体系统为研究对象，其受力及运动如图3－10（b）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有

JO??mgR

式中

JO?

（1） （2） （3）

142m?2R??mR2?mR2 123解得 ??mgRmgR3g?? 4JO4R2mR3

（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3－10（c）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JA???MA(F)，有

JA??mgR?MA

式中

JA? （4）

142m?2R??mR2，代入上式，得 3343gMA?mgR?JA??mgR?mR2??0

34R由质心运动定理，有

macx??Fx，因为acx?0，所以FAx?0 macy??Fy，mac??mg?FAy

（5） （6）

式（6）中ac??R??R?FAy3g3?g，代入式（6）中，得 4R431?mg?mac??mg?m?g?mg

44错因分析：

（1）上解中式（2）对于杆AB的转动惯量JO的计算是错误的。在应用转动惯量的平行移轴定理时，将O、C两平行轴之间的距离OC?2R误为R，从而导致了后面一系列的错误。

（2）上解中（4）是错误的，因为杆AB并非绕A作定轴转动，而是绕O轴作定轴转动，故JA??mgR?MA是错误的。A非固定轴，它是有加速度的。由于将杆AB绕O轴转动误为绕A轴转动，从而导致了质心加速度ac??R?也是错误的。

正确解答：

（1）以整体系统为研究对象，其受力及运动如图3－10（b）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有

JO??mgR

式中 所以

JO?12m?2R??m2R12??2?7mR2 3??mgRmgR3g?? 7JO7RmR23（2）以杆AB为研究对象。杆AB绕O轴作定轴转动，已求得它的角加速度。由质心运动定理，?，质心加速度ac??2R?，其运动及受力如图3－10（d）有

macx??Fx，m??ac?cos45???FAx

所以

FAx??227g3mac???m?2R???mg 223R7macy??Fy，m?ac?sin45??FAy?mg

所以

FAy?mg?m?2R??227g4?mg?m?2R???mg 223R7??由刚体绕定轴转动微分方程，有

JO??mgR?MA?FAx?R

式中

JO?733gmR2，FAx??mg，?? 377R代入上式，得

73g3?3?MA?mgR???mg?R?mR2??mgR

737R7??题3－11 位于水平面内的均质光滑圆环，其质量为m，半径为R，可绕前

铅垂轴O转动。长为2R、质量亦为m的均质杆，其A端用光滑铰链连接于圆环内侧，其B端则靠在圆环内侧。圆环初始静止，其上作用一已知常力偶M。

试求杆端A、B所受的约束反力。

yyMBCAFNBBFNBaC?BFOyAORFOx?FAx?xAC?OxmgOFAyFAxFAy(a)(b)(c)

图3—11错误解答：

（1）以整体系统为研究对象，系统绕定轴转动，其受力图如图3－11（a）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有

JO??M

2

（1） （2）

218JO?mR?m2R?mR2?mR2 上式中

33将式（2）代入式（1），得系统转动得角加速度为

????M3M ?JO8mR2 （3）

（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3-11（b）所示。对A应用动量矩

定理，有

RJA??FNB?R?mg? （4）

22123M式中 JA?m2R?mR2，??，代入上式中，得 2338mR??FNB?JA?123M1M1?mg?mR??mg??mg R234R28mR22对O轴应用动量矩定理，JO???MO(F)，有

JO??FAy?R?mg?R 2 （5）

则 式中

FAy?JO?R?mg? R22153MJA?m2R?mR2?mR2，??，代入上式，得 2338mR53M15M1FAy?mR??mg??mg

38R28mR22??对B轴应用动量矩定理，JB???MB(F)，有

JB??FAy?R?FAx?R?mg?R 2 （6）

则 式中

FAx?FAy?J?1mg?B 2R1JB?m2R3??2?FAx25M13MmR2，FAy??mg，??，代入上式，得 38R28mR25M1123M3M??mg?mg?mR?? 28R2238R8mR错因分析：

（1）上解中式（2）是错误得，在计算杆AB对O轴的转动惯量时，采用了对A轴的转动惯量加上从A轴平移到O轴的mR2。平行移轴定理讲的是，

Jz?Jzc?md2，其中Jzc是刚体对于质心轴的转动惯量，d是两平行轴之间的距

?2??2?21??m2R?m?? 离。于是，杆AB对O轴的转动惯量JO?Jc?m??2???12???2?2??2（2）系统位于水平位置，故图3－11（b）中不应有重力mg。

（3）动量矩定理的矩心必须是固定点或固定轴，因为它只适用于惯性参考

系。上解中对A点、B点应用了动量矩定理[式（4）、式（6）]都是错误的，因为A、B点都不是固定点，而是有加速度。式（5）是对O轴应用动量矩定理，是对的。但在计算杆AB对O轴的转动惯量时犯了与式（2）同样的错误。

正确解答：

（1）以整体系统为研究对象。其受力图如图3－11（a）所示。系统绕定轴转动，故应用刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有

JO??M

式中

2 （1）

?2R?15??mR2代入式（1），得 JO?mR2?m2R?m???123?2???2??M3M ?2JO5mR（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3-11（c）所示。杆AB绕O轴作定轴转动，故由刚体绕定轴转动微分方程JO???MO(F)，有

JO??FAy?R

故

FAy?JO? R2?2R?3M12??mR2，??式中 JO?m2R?m?，代入上式，得 2??5mR123?2?23M2MFAy?mR??

35R5mR2由质心运动定理，有

??2macx??Fx，mac?cos45??FAx 式中

ac??223M32MR??R??，代入上式，得 225mR210mR

FAx?m?32M23M ??10mR210Rmacy??Fy，mac?sin45??FAy?FNB

而

FNB?FAy?mac?sin45??2M32M2M?m??? 5R10mR210R

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