分式多项式，分式方程，一次函数基础知识及练习题

通分

根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来相等但分母相同的分数，叫做通分 方法是：先求出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质把两个分数分别化成以这个最小公倍数为分母的分数即可 例如：如：把3/4和5/6通分：先求出4和6的最小公倍数12，再把3/4和5/6化成9/12和10/12就行了。 107?求：= 11935?= 5672?= 133乘法分配律 乘法分配律 两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。 用字母表示： （a+b）x c=axc+bxc 还有一种表示法：

a(b+c)=ab+ac 例如： 25×404 =25×(400＋4) =25×400＋25×4

=10000＋100=10100 乘法分配律的逆运用 25×37+25×3 =25×(37+3) =25×40 =1000

乘法分配律还可以用在小数、分数的计算上。 例题:

25×404=25×(400＋4)＝25×400＋25×4＝10000＋100=10100 乘法分配律的反用：

35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700 乘法分配律的反用：

35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700

合并同类项

合并同类项就是逆用乘法分配律。

把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。如2ab与－3ab，m2n与nm2都是同类项。特别地，所有的常数项也都是同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。同类项的合并应遵照法则进行：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

为什么合并同类项时，要把各项的系数相加而字母和字母的指数都不改变，这有什么理论依据吗？

其实，合并同类项法则是有其理论依据的。它所依据的就是大家早已熟知了的乘法分配律，a(b＋c)=ab＋ac。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成两个因数的积，由于各项中

都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同，故同类项中的每项都含有相同的因数。合并时将分配律逆向运用，用相同的那个因数去乘以各项中另一个因数的代数和。

多项式

若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

因式分解：把多项式写成几个整式相乘的积的形式。

化简多项式

1.-5k(2x-3y) 2.-a(2a+3b-5) 3.4x(3x2-8x+6)

4. 3ab(a-4b)-a(2b2-3b) 5.(3w-k)(2x+5y) 6.(3a-b)(x+2y) 7.

?a?2b?22

28. ?a?b?9. ?a?b?

22a-b10.

11.

?x2?2x??4?x?

222y?y3y???1? 12. ?13.

?aa+1?a?3a?1??a?3a2?1

a?a?5?3a?14. ? ??a?53a?210a?11??2?2?a????a?4? 15. ??a?2a?2?4a?a?16. ??5a?25a??2?5a?? 22a5?6?4??3????7a?15? 17. ??a?6a?3?5?a?3?2???18. ?

a?3a?67a?3??解方程

含有未知数的等式叫方程。 求方程的解的过程叫解方程。

求出方程中的所有未知数的值，用未知数的值代入方程时，方程式等号左右的计算值将相等。

解方程就是求出方程中所有未知数的值。

方程中包含等式，方程一定是等式，等式不一定是方程。(例如：3=3) 过程

解方程的步骤

（1）有括号就先去掉

（2）移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到另右边 （3）合并同类项：使方程变形为单项式

（4）方程两边同时除以未知数的系数得未知数的值 例如：

3+x=18

解: x =18-3 x =15

∴x=15是方程的解 —————————— 4x+2（79-x）=192 解：4x+158-2x=192 4x-2x+158=192

2x+158=192 2x=192-158 2x=34 x=17

∴x=17是方程的解

分式方程

分母中含有未知数的（有理）方程

分式方程概念

分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程（fractional equation）。例如100/x=95/x+0.35

补充：该部分知识属于初等数学知识，一般在初二的时候学习。

分式方程的解法

①去分母

方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。

②按解整式方程的步骤

移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;

③验根

求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根(增根（extraneous root ），在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为０或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。) (在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根)

验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。 如果分式本身约分了，也要带进去检验。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，

因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.

归纳 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 例题： （1）x2x??1 x?13x?3 两边乘3(x+1) 3x=2x+(3x+3) 3x=5x+3 -2x=3 x=3/-2 分式方程要检验 经检验，x=-2/3是方程的解 （2）24?2 x?1x?1 两边乘(x+1)(x-1) 2(x+1)=4 2x+2=4 2x=2 x=1 分式方程要检验 把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。 所以原方程2/x-1=4/x^2-1 无解 一定要检验！！ 检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根. 注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解分母即可 解以下分式方程

21?1.

x?3x?12..．

x1?1?2 x?2x?43x?1=

x?1x2?1m?1x??0，有增根，则m的值是（ ） 4. 若关于x的方程

x?1x?1A.3 B.2 C.1 D.-1

3.

5.若方程

AB2x?1??,那么A、B的值为（ ） x?3x?4(x?3)(x?4)A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1

aa?b?（ ） 6.如果x??1,b?0,那么

ba?b1x?111A.1- B. C.x? D.x?

xx?1xx?1432?27.使分式2与2的值相等的x等于（ ）

x?4x?x?6x?5x?6A.-4 B.-3 C.1 D.10

14?x?2?8. x?33?x4x?3x?1??9. 2 x?4x?2x?2x4x2?y210. 已知?,则2? . 2y5x?y11. 满足方程：

12?x?1x?2的x的值是________.

11?x的值等于.

25?x12. 当x=________时，分式

x2?2x?0的增根是 . 13.分式方程

x?2x?12a?3?的解为零. x?2a?5m21??15. 当m? 时，关于x的方程2有增根. x?9x?3x?32316.方程?的解为（ ）

xx?1A.x?2 B.x?1 C. x??2 D. x??1

14. a? 时，关于x的方程

17.已知A.-

y2x?y2?，则的值为（ ）

xx?y344 B. C.1 D.5 5518. 满足方程：

12?x?1x?2的x的值是________.

x2?2x?0的增根是 19. 分式方程

x?220. 如果关于x的方程

a1?2x?1?有增根，则a的值为________. x?44?x三角函数

锐角三角函数

在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式：

sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c

tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长， tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切；

当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 sinA=cosB sinB=cosA

方差

方差是实际值与平均值之差平方的平均值，而标准差是方差平方根。

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数, 例如：求样本数据3，4,6,8,9,的方差。 解：先求这些数的平均数：（3+4+6+8+9）/5=6. 再求各个数与平均数的差的平方?3?6??9，?4?6??4，?6?6??0，

222?8?6?2?4，?9?6??9.

2 将这些数相加再取平均 （9+4+0+4+9）/5=5.2.

求下列几个样本数据的方差.

1. 2,3，4,7,9,11 2. 1.5.9.14.15.17 3. 3,5,5，6,8,9

一次函数

一次函数的实例

一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。 现在是初二教学本里最难的一章（当然有一些人例外），应用最广泛，知识最丰富的数学课题。 基本定义

变量：变化的量（可取不同值） 常量：不变的量（固定不变）

自变量k和x的一次函数y有如下关系：

1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意常数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。 相关性质

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k、b为常数）， ∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊

的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 图像性质

1．作法与图形：通过如下３个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 当b＞0时，直线必通过第一、二象限； 当b＜0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k＜0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

综合测试

一、 选择题：

1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k＜0 C.k＞0 D.k为任意值

2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ）

3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D.

5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 二、 填空题：

1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.

2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________. 三、

一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.

1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k＜0 C.k＞0 D.k为任意值

2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ）

3. （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. D.

5. （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 二、 填空题：

1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.

2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________. 三、

一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.

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