上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷

上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）

数学（理）试卷

2014年1月 考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．

3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数y log2(x 2)的定义域是_____________．

2．已知i是虚数单位，复数z满足z (1 i) 1，则|z| _______． 3．已知函数y f(x)存在反函数y f则f

1

1

(x)，若函数y f(x 1)的图像经过点(3,1)，

(1)的值是___________．

2

*

4．已知数列{an}的前n项和Sn n（n N），则a8的值是__________．

5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20 cm，则此圆锥的体积为________cm．

23

4

，则tan ____________．

4 5

a1x2y2

0，且双曲线的右焦点与 7．已知双曲线2 2 1（a 0，b 0）满足

b2ab

6．已知 为第二象限角，sin

抛物线y 4x的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．

8．分别从集合A {1,2,3,4}和集合B {5,6,7,8}中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________．

9．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B( 7,3)，点C在直线y 4 上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则 的最小值为__________．

2

r

10．若lim 存在，则实数r的取值范围是_____________．

n 2r 1

11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x y 0与x 3y 0的距离之和等于4，

则P到原点距离的最小值为_________．

n

12．设集合A {(x,y)(x 4) y 1}，B {(x,y)(x t) (y at 2) 1}，

若存在实数t，使得A B ，则实数a的取值范围是___________．

2 ax 2x 1,x 0,

13．已知函数f(x) 是偶函数，直线y t与函数f(x)的图像自左 2

x bx c,x 0

至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB| |BC|，则实数t的值为________． 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二

2222

级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作

等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））； ；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、 、 n级分形图．则n级分形图的周长为__________．

图（1） 图（2） 图（3）

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．设向量a (x 1,1)，b (3,x 1)，则“a∥b”是“x 2”的 （ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

2

16．若 x 2 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

x

A．180 B．120 C．90 D．45

17．将函数y sin2x（x R）的图像分别向左平移m（m 0）个单位，向右平移n

（n 0）个单位，所得到的两个图像都与函数y sin 2x

n

的图像重合，则m n 6

的最小值为 （ ） A．

2 5 4 B． C． D． 363

18．设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b] D，使得函数f(x)满足：①f(x)

在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，则称区间[a,b]是函 数f(x)的“和谐区间”．下列结论错误的是 （ ） A．函数f(x) x（x 0）存在“和谐区间”

2

B．函数f(x) e（x R）不存在“和谐区间”

x

4x

(x 0）存在“和谐区间” x2 1

1

D．函数f(x) loga ax （a 0，a 1）不存在“和谐区间”

8

C．函数f(x)

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，正三棱锥A BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点． （1）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求该三棱锥的体积V．

A

D

C

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

已知函数f(x) 2sinxcosx 23cosx 3，x R． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC中，若f(A) 1，AB AC

2

2，求△ABC的面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在椭圆C上． 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点1, 2

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量d (2,1)的直线l交椭圆C于A、B

两点，求证：|PA| |PB|为定值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数f(x) x

2

2

m

． 2（m为实常数）

x

（1）若函数y f(x)图像上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m的值； （2）若函数y f(x)在区间[2, )上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；

（3）设m 0，若不等式f(x) kx在x

1

,1 有解，求k的取值范围． 2

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

数列{an}的首项为a（a 0），前n项和为Sn，且Sn 1 t Sn a（t 0）．设bn Sn 1，

cn k b1 b2 bn（k R ）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）当t 1时，若对任意n N，|bn| |b3|恒成立，求a的取值范围；

（3）当t 1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，k成等差数列．

*

上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研（理）

参考答案与评分标准

一．填空题（每小题4分，满分56分）

y21312

1．(2, ) 2． 3．2 4．15 5．16 6． 7．x 1 8． 9．9

2724

n 1

7 4 4 1

10．( , 1] , 11．22 12． 0, 13． 14．3

4 3 3 3

二．选择题（每小题5分，满分20分）

15．B 16．A 17．C 18．D

三．解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（1）取BD中点F，连结AF、EF，因为EF∥CD，所以 AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角）． （2分） 在△AEF中，AE AF 22，EF 1， （1分）

1

2

所以cos AEF ． （2分）

822

2

所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos． （1分）

8

（2）作AO 平面BCD，则O是正△BCD的中心， （1分）

连结OE，OE ， （1分）

3

2322

所以AO AE EO ， （1分）

3

所以，V

1132323 Sh 4 ． （2分） 33433

20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

（1）f(x) 2sinxcosx (2cosx 1) sin2x 3cosx2x 2sin 2x

2

， 3

（2分） 所以，函数f(x)的最小正周期为 ． （1分） 由2k 得k

2

2x

3

2k

2

（k Z）， （2分）

5

， （2分） x k （k Z）

1212

所以，函数f(x)的单调递增区间是 k （2）由已知，f(A) 2sin 2A

5

． （1分） ,k （k Z）

1212

1

1，所以sin 2A ， （1分） 3 3 2

4 5

因为0 A ，所以 2A ，所以2A ，从而A ． （2分）

2333364

又 || || cosA 2，，所以，|| || 2， （1分）

所以，△ABC的面积S

1122

． （2分） |AB| |AC| sinA 2

2222

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，

x2y2

故可设椭圆C的方程为， （1分） 2 1（a b 0）

4b

在椭圆C上，所以1 3 1， （2分） 因为点 1, 2 44b2

2

解得b 1， （1分）

x2

y2 1． （2分） 所以，椭圆C的方程为4

x m

（2）设P(m,0)（ 2 m 2），由已知，直线l的方程是y ， （1分）

2

1 y (x m), 2由 2 2x2 2mx m2 4 0 （*） （2分） x y2 1, 4

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个根，

m2 4

所以有，x2 x2 m,x1x2 ， （1分）

2

222222

所以，|PA| |PB| (x1 m) y1 (x2 m) y2

115

(x1 m)2 (x1 m)2 (x2 m)2 (x2 m)2 [(x1 m)2 (x2 m)2]

444

552 [x12 x2 2m(x1 x2) 2m2] [(x1 x2)2 2m(x1 x2) 2x1x2 2m2] 445

． （3分） [m2 2m2 (m2 4) 2m2] 5（定值）

4

22

所以，|PA| |PB|为定值． （1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣） 22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

（1）设P(x,y)，则y x

2

2

2

2

m

2， x

2

m

|PQ| x (y 2) x x （1分）

x

m2

2x 2 2m 22|m| 2m 2， （1分）

x

2

当m 0时，解得m 所以，m

2 1；当m 0时，解得m 2 1． （1分）

2 1或m 2 1． （1分）

（只得到一个解，本小题得3分）

（2）由题意，任取x1、x2 [2, )，且x1 x2，

x1x2 mmm 2 x1 2 (x x) 则f(x2) f(x1) x2 0， （2分） 21 x2xxx1 12

因为x2 x1 0，x1x2 0，所以x1x2 m 0，即m x1x2， （2分） 由x2 x1 2，得x1x2 4，所以m 4．

所以，m的取值范围是( ,4]． （2分） （3）由f(x) kx，得x

m

2 kx， xm

2

因为x ,1 ，所以k 2 1， （2分）

xx 2 令t

1

122

，则t [1,2]，所以k mt 2t 1，令g(t) mt 2t 1，t [1，2]， x

1

于是，要使原不等式在x ,1 有解，当且仅当k g(t)min（t [1，． （1分） 2]）

2

1 11

因为m 0，所以g(t) m t 1 图像开口向下，对称轴为直线t 0，

mm m

因为t [1,2]，故当0 当

2

132

，即m 时，g(t)min g(2) 4m 5； （4分） m23

132

，即 m 0时，g(t)min g(1) m 3． （5分） m23

综上，当m 当

2

时，k [4m 5, )； 3

2

m 0时，k [m 3, )． （6分） 3

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为Sn 1 t Sn a ① 当n 2时，Sn t Sn 1 a ②，

①—②得，an 1 t an（n 2）， （2分） 又由S2 t S1 a，得a2 t a1， （1分） 所以，{an}是首项为a，公比为t的等比数列，所以an a t

n 1

（n N）． （1分）

*

（2）当t 1时，an a，Sn na，bn na 1， （1分） 由|bn| |b3|，得|na 1| |3a 1|，(n 3)a[(n 3)a 2] 0 （*） （1分） 当a 0时，n 3时，（*）不成立； 当a 0时，（*）等价于(n 3)[(n 3)a 2] 0 （**） （**）成立． n 3时，

22

恒成立，所以a ． n 37

12

n 1时，有4a 2 0，a ．n 2时，有5a 2 0，a ． （3分）

252 2

综上，a的取值范围是 , ． （1分）

7 5

n 4时，有(n 3)a 2 0，即a

a(1 tn)a(1 tn)aatn

1 1 （3）当t 1时，Sn ，bn ， （1分）

1 t1 t1 t1 tanat(1 tn)atn 11 a tk(1 t)2 at

cn k n n ， （2分）

1 t1 t(1 t)2(1 t)2(1 t)2

1 a t

0, a t 1, 1 t

所以，当 时，数列{cn}是等比数列，所以 t （2分） 2

k(1 t) atk , 0t 1 2 (1 t)

又因为a，t，k成等差数列，所以2t a k，即2t t 1

t

， t 1

解得t

5 1

． （1分） 2

从而，a

1

，k 25 3

． （1分） 2

3

时，数列{cn}为等比数列． （1分） 2

所以，当a

5 1 1

，t ，k 22

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