线性规划应用案例

市场营销应用

案例一：媒体选择

在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J来设计宣传活动。

考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。 BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。

表4-1 REL发展公司可选的广告媒体

广告媒体 1.白天电视 2.晚间电视 3.每日报纸 4.周日报纸杂志（半彩色）周日新闻 5.电台早8:00或晚5:00新闻（30秒）KNOP台 预计受众广告售价每月最多可宣传质量单人数 1000 2000 1500 2500 （美元） 用次数 1500 3000 400 1000 15 10 25 4 位 65 90 40 60 300 100 30 20 REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？

案例二：市场调查

公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。

市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ? 至少访问400个有儿童的家庭； ? 至少访问400个无儿童的家庭；

? 晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ? 至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ? 至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。

因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示：

访问费用家庭情况日间（美元）有儿童20无儿童18晚间（美元）2520以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的呢？

财务应用

案例一：投资组合

投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社、保险公司等等，银行经理们经常会遇到这样的麻烦。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或使风险最小化。约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公司政策，最大准许风险等方面的限制。对于此类问题，我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。此节中，我们将把投资组合选择问题作为线性规划问题来求解。

假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（Welte）共有基金公司。公司刚刚完成了工业债券的变现进而获得了100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找其他的投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。分析专家已经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。表4-3是各种投资及它们的收益率。 投资 大西洋石油 太平洋石油 中西部钢铁 Huber钢铁 政府债券 预期收益率（%） 7.3 10.3 6.4 7.5 4.5 威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针：

1.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。 2.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%。

3.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。

可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数量）来投资呢？以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建立并解此问题的线性规划模型来回答它。解决方案将为威尔特共有基金公司的管理层提供建议。

案例二：财务计划

威尔特公司建立了一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。在自愿签约期结束前，68位雇员办理了提前退休手续。因为这些人的提前退休，在未来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求如下表所示：

年份现金需求12345678430210222231240195225255公司的财务人员必须决定现在应将多少数量的钱存放在一边，以便应付8年期的负债到期时的支付。该退休计划的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。对于政府债券的投资限于以下3种选择：

债券价格（美元）利率到期年数111508.8755210005.50063135011.7507政府债券的面值是1000美元，这意味着尽管价格不同，在到期时，也都支付1000美元。表中所示的比率是基于面值的。为了制定这个计划，财务人员假设所有没投资于债券的资金都将用于储蓄，且每年可获得4%的利息。 我们定义如下决策变量：

F=退休计划所形成的8年期债务所需第一年的总金额, B1=在第一年年初买入的债券1的单位数量, B2=在第一年年初买入的债券2的单位数量, B3=在第一年年初买入的债券3的单位数量,

Si=在第i年年初投资于储蓄的金额（i=1，2??8）

目标函数用于求出满足退休计划带来的8年期债务所需资金的最小值，即Min F。

这类财务计划问题的重要特点是必须为每年计划范围写出约束条件。大体上，每个约束条件都采用下面的形式：

年初可使用资金 - 投资于债券与储蓄的资金= 该年现金支付责任

生产管理应用

案例一：制造或购买决策

我们利用线性规划来决定生产一些零配件时，一个公司每一种分别应该生产多少，又应该从外部购进多少。像这样的决策叫做“制造或购买决策（产或购决策）”。

嘉德思（Janders）公司经营多种商用和工程产品。现在，嘉德思公司正准备推出两款新的计算器。其中一款是用于商用市场的，叫做“财务经理”；另一款用于工程市场，叫做“技术专家”。每款计算器由3种零部件组成：一个基座、一个电子管和一个面板，即外盖。

两种计算器使用相同的基座，但电子管和面板则不相同。所有的零部件生产都可以由公司自己生产或从外部购买。零部件的生产成本和采购价格汇总见表4-5。

表4-5 嘉德思计算器零配件的生产成本和采购价格

组件基座财务经理电子管技术专家电子管财务经理面板技术专家面板单位成本（美元）制造（正常时间）0.503.753.300.600.75采购0.604.003.900.650.78嘉德思的预测师们指出总共将需要3000台财务经理和2000台技术专家。但是，因为这个公司生产能力有限，这个公司仅能安排200个小时的正常工作时间和50个小时的加班时间用于计算器的生产。加班时间需要每小时多付给员工9美元的加班奖金，即额外成本。表4-6显示了各零部件所分得的生产时间（以分钟计）。嘉德思公司的问题是决定每种零部件有多少单位自己生产，多少单位从外部购买。

表4-6 嘉德思计算器各零配件每单位的生产时间

组件生产时间基座1.0财务经理电子管3.0技术专家电子管2.5财务经理面板1.0技术专家面板1.5

案例二：生产计划

线性规划方案最重要的应用是安排多个时期的计划，比如生产计划。根据生产计划问题的解，经理能够在一定的时间段（几星期或几个月内）为一个或多个产品制定一个高效低成本的生产计划。其实生产计划问题也可以看做是未来某个时期的生产调配问题。经理必须决定生产水平，使公司能够满足生产需求，在收到产品生产量、劳动力生产量以及贮藏空间上有所限制的同时，还要使生产成本最小。

利用线性规划解决生产计划问题的一个好处就是它们是周期性的。一个生产计划必定是为当月制定的，然后下个月又制定一次，再下个月又制定一次，如此周而复始。看一看每个月的问题，生产经理就可以发现，虽然生产需求已经发生了变化，生产次数、产品生产量、贮藏空间等限制大致还是一样的。因此，生产经理基本上可以按以前月份的管理方法解决同样的问题，而生产计划的一个总线性规划模型可能被频繁地使用。一旦这个模型被固定下来，经理只需要在特定的生产时期提供当时的需求量、生产量等有关数据就可以了，并且可重复利用此线性规划模型构想出生产计划。

让我们来看看Bollinger Electronics公司的案例，该公司为一个重要的飞机引擎制造公司生产两种不同的电子组件。飞机引擎制造商在下面3个月里每个月都会通知Bollinger Electronics公司的销售办公室，告诉他们每个星期对组件的需求量。每个月对组件的需求量变化可能很大，这要视飞机引擎制造商正在生产哪种类型的引擎情况而定。表4-7列出的是刚刚接到的订单，这批订单是下3个月的需求量。

表4-7 Bollinger Electronics公司3个月的需求一览表

组件四月五月六月332A100030005000802B10005003000接到订单之后，需求报告就被送到生产控制部门。生产控制部门则必须制定

出3个月生产组件的计划。为了制定出生产计划，生产经理需要弄清楚以下几点： 总生产成本, 存货成本。

改变生产力水平所需的经费。

接下来我们要介绍Bollinger Electronics公司如何建立公司的生产贮存线性规划，以使公司的成本最小。

为了制定出此模型，我们用Xim表示m月生产产品i的单位生产量。在这里i=1或2，m=1、2或3；i=1指的是332A组件，i=2指的是802B组件，m=1指的是四月份，m=2指的是五月份，m=3指的是六月份。双重下标的目的是规定一个更具描述性的符号。我们可以简单地用X6来代表三月份生产的产品2的单位生产量。但是X23更具描述性，它直接确定用变量代表的月份和产品。

如果生产一个332A组件的成本为20美元，生产一个802B组件的成本为10美元，那么目标函数中总成本部分是：

总生产成本=20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23

每个月每单位产品的生产成本是一样的，所以我们不需要在目标函数里涵盖生产成本。也就是说，不管选择的生产一览表是什么样的，总生产成本将会保持相同的水平。换句话说，生产成本不是相关成本，无需在制定生产计划时认真考虑。但是，如果每个月单位产品成本是改变的，那么单位产品成本变量就必须包含在目标函数里。对于Bollinger Electronics公司的问题来说，不管这些成本是不是包含在里面，它的解决方案将会是一样的。我们把它们包括在里面，这样线性规划问题的目标函数将包含所有与产品有关的成本。

为了把相关库存成本合并到模型里面，我们用Sim来表示产品i在第m月月底的存货水平。Bollinger Electronics公司已经决定，每月在基本存货上的成本占生产产品成本的1.5%。也就是说，0.015×20=0.30（美元/332A组件），0.015×10=0.15（美元/802B组件）。在利用线性规划方法来制定生产预期计划时一个普遍的假设是，每月末的存货近似等于整个月的平均存货水平。通过做这种假设，我们把目标函数中库存成本部分写下来：

库存成本=0.30S11+0.30S12+0.30S13+0.15S21+0.15S22+0.15S23

为了把每个月的生产水平波动所带来的成本容入模型，我们需要定义两个额外的变量：

Im=在m月的时候必要的总生产水平增长 Dm=在m月的时候必要的总生产水平下降

在评估完员工下岗、人员补缺、再分配培训所花的费用以及其他与波动的生产水平相关的费用所产生的影响后，Bollinger Electronics公司估计出每个月份中生产水平增长一个单位所带来的成本是0.5美元，生产水平下降一个单位所带来的成本是0.2美元。因此，我们可以写下第三部分的目标函数： 生产水平变化成本=0.50I1+0.50I2+0.50I3+0.20D1+0.20D2+0.20D3 注意，这里产量波动成本是通过m月的产量和m-1月的产量计算出来的。在其他的生产安排中，这个波动成本很可能是由机器工作时间或劳动力时间计算出来的。

把所有这些成本价起来，完整的目标函数变成： Min

20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23

+0.30S11+0.30S12+0.30S13+0.15S21+0.15S22+0.15S23+0.50I1+0.50I2+0.50I3+0.20D1+0.20D2+0.20D3

我们现在来考虑约束条件。首先我们必须保证此生产计划满足顾客的需要。由于已经装好货的产品肯能够来自于当月的生产，也可能来自前几个月里的库存，所以此需求变成：

前期月份的最后库存+现在生产量-本月最后库存=本月需求

假定此3个月预定生产时期刚开始时的存货量是332A组件500个单位，802B组件200个单位。这两种产品在第一个月（四月份）的需求是1000个单位，那么满足第一个月需求的约束条件是：

500+X11-S11=1000 200+X21-S21=1000

把常量移到等式右边，我们得到：

X11-S11=500 X21-S21=800

同样的，在第二个月和第三个月的时候我们也需要这两种产品需求的约束条件。将其写成以下等式： 第二个月

S11+X12-S12=3000 S21+X22-S22=500

第三个月

S12+X13-S12=5000 S22+X23-S23=3000

如果公司还对库存量有所规定。即三个月为一个周期的期末库存量最小为400个332A组件和200个802B组件，我们可以再加上两个约束条件： S13≥400 S23≥200

假设我们在机器、劳动力和贮存能力上的信息如表4-8所示。在机器、劳动力和贮存空间的要求上的信息如表4-9所示。

表4-8 Bollinger Electronics公司的机器生产能力、劳动力能力和库存能力 月份 四月份五月份 六月份机器生产能力（小时）400500600劳动力生产能力（小时）300300300

库存能力（平房英寸）100001000010000表4-9 组件332A和802B的机器、劳动力和贮存要求

组件机器（小时/单位）0.10 332A802B0.08

劳动力（小时/单位）0.050.07库存（平方英寸/单位）23为了反映这些限制，以下的约束条件很有必要： ? 机器生产能力

0.10X11+0.08X21≤400 第一个月 0.10X12+0.08X22≤500 第二个月 0.10X13+0.08X23≤600 第三个月 ? 劳动力能力

0.05X11+0.07X21≤300 第一个月 0.05X12+0.07X22≤300 第二个月 0.05X13+0.07X23≤300 第三个月 ? 库存能力

2S11+3S21≤10000 第一个月

2S12+3S22≤10000 第二个月 2S13+3S23≤10000 第三个月

我们必须加上一组约束条件以保证Im和Dm能反映出m月生产水平的变化。假定三月是新生产周期开始前的一个月，三月份的产量为1500个332A组件和1000个802B组件，总产量是1500+1000=2500。那么通过以下关系式我们可以得到四月份的产量变化。 四月份产量-三月份产量=变化量

利用四月份产量变量X11和X21，以及三月份2500个单位的生产量，我们得到：

（X11+X21）-2500=变化量

注意，这个变化值可能是正数也可能是负数。变化值为正数，反映总体生产水平是增长的；反之，变化值为负数，则反映总体生产水平是下降的。我们可以用四月份生产增长量I1和生产降低量D1来确定四月份总产量变化的约束条件。

（X11+X21）-2500=I1-D1

在五月份和六月份我们用同样的方法（始终用当月总生产量减去上个月的总生产量），可以得到预定生产期的第二个月和第三个月间的限定条件。 （X12+X22）-（X11+X21）=I2-D2 （X13+X23）-（X12+X22）=I3-D3

把变量放在等式左边，而把常量放在等式的右边，得出通常所指的一组完整的平衡生产约束条件。

X11+X21 -I1+D1=2500 -X11-X21+X12+X22 -I2+D2=0 -X12-X22+X13+X23-I3+D3=0

这个初看起来只有2种产品和3个月期的生产计划的简单问题现在演变成有18个变量，20个约束条件的线性规划问题了。注意，在这个问题上，我们只考虑一种机器工序，一种人工要求，一种库存区域。实际上，生产计划问题通常是包含若干个工序，若干劳动力级别，若干库存区域的问题，这就要求使用大规模的线性规划模型。比如说，一个包括12个月的生产时间，100单位生产量的生

产计划问题将会有1000多个变量和约束条件。

案例三：劳动力分配

当生产经理们必须就一个特定的规划时期做出包括员工要求在内的种种决定时，劳动力分配的问题时有发生。劳动力分配具有一定弹性，而且至少某些员工会被分配到不止一个部门或工作中心去工作。这就是员工被安排在两个或更多的工作岗位上交叉培训。比如说售货员可以在商店之间互相调职。在下面的应用中，我们将说明如何利用线性规划做出决策，不仅仅是决定最理想的生产调配，而且也决定劳动力的最佳分配。

麦科米克制造公司生产两种产品，每单位产品的利润分别为10美元和9美元。表4-11显示生产每单位产品的劳动力需求和4个部门中被分配到每个部门的员工总的有效劳动时间。假设每个部门中的有效劳动时间是固定的，那么该问题的最佳解决方案是什么。

表4-11 麦科米克制造公司每单位产品的劳动小时数和总体有效生产时间

单位劳动时间部门产品1产品2总可用时间10.650.95650020.450.85600031.000.70700040.150.301400混合问题

案例一：石油行业

当一个经理必须决定怎样混合两种以上的资源来生产一种以上的产品时，混合问题就产生了。在这种问题下，资源含有一种以上的必须被混合到最后成品中的基本成分，而且成品将包含一定比例的各种基本成分。在实际应用中，管理层必须决定每种资源的购买量以在成本最低的情况下满足产品的规格和生产该产品的需要。

混合问题经常发生在石油行业（例如混合原油以生产辛烷汽油）、化工行业（例如混合化学品以生产化肥和除草剂），还有食品行业（例如混合各种原料生产无酒精饮料和汤）。在这一节里我们将探讨怎样将线性规划模式应用到石油行业中的一个混合问题里。

大绳石油公司为美国东南部独立的加油站生产一般规格和特殊规格的石油产品。大绳石油公司精炼厂通过合成3种石油成分来生产汽油产品。这些产品卖不同的价钱，而这3种石油成分也有不同的成本。公司想通过决定一种混合这3种石油成分的方案来获得产品的最大利润。

现存的资料显示一般的汽油每加仑卖1.00美元而特殊的汽油每加仑则卖1.08美元。在目前的生产阶段性计划中，大绳公司可以得到的那3种石油成份每加仑的成本和原料总量，见表4-13。

表4-13 大绳石油公司混合问题的成本和供给

石油成分（美元/加仑）10.5020.6030.84最大供应量（加仑）50001000010000大绳石油公司混合问题就是要决定一般规格汽油的每种石油成份的用量多少，及特殊规格汽油的每种石油成份的用量多少。对应表4-13中可提供的石油成份总量产生的最佳混合方案应该是公司的利润最大化。产品原料规格见表4-14，而且最起码要生产10000加仑一般规格汽油。

表4-14 大绳石油公司混合问题的具体产品要求

产品规格一般规格汽油最多30%成分1最少40%成分2最多20%成分3高级规格汽油最少25%成分1最多40%成分2最少30%成分3

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