初一数学-整式的概念及加减乘法运算讲义

整式的概念及加减乘法运算讲义

一、知识点拨

知识点1、单项式的概念

式子3x,?a2,xy,?2.6t3,?m它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如2ab;

?a,m。 二是字母与字母组成的式子，如xy;三是单独的一个数或字母，如2，知识点2、单项式的系数

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x的系数是2；数是

43ab的系31，2.7m的系数是2.7。 3 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－?2xy?的系数是－2

（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－xy的系数是－1；xy的系数是1。

（4）表示圆周率的?，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2?xy的系数就是2?

知识点3、单项式的次数

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式2xyz的次数是字母x,y,z的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z的指数是1而不是0.

（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。

（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－2xyz的次数是2＋3＋4=9而不是13次。

（4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。如6x是一次单项式，2xyz是三次单项式。

知识点4、多项式的有关概念

（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。 （3）常数项：不含字母的项叫做常数项。

（4）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。 （5）整式：单项式与多项式统称整式。

注意：a、概念中“几个单项式的和”是指两个或两个以上的单项式相加。如2a?3a?4x,2＋3－7等这样的式子都是多项式。

b、多项式的每一项都包含前面的符号，如多项式－2xy?6a?9共有三项，它们分别是－2xy,6a,－9,一个多项式中含有几个单项式就说这个多项式是几项式如－

34322423432xy3?6a?9共有三项，所以就叫三项式。

c、多项式的次数不是所有项的次数之和，也不是各项字母的指数和，而是组成这个多项式的单项式中次数最高的那个单项式的次数，如多项式－2xy?6a?9是由三个单项

3式－2xy3,6a,－9组成，而在这三个单项式中－2xy3的次数最高，且为4次，所以这个多项式的次数就是4.这是一个四次三项式。对于一个多项式而言是没有系数这一说法的。

知识点5、整式的书写

（1）书写含乘法运算的式子

a、省乘号要小心。当式子中出现乘法运算时，有些乘号可以省略不写。字母与字母相乘、数字与字母相乘、数字（字母）与带括号的式子相乘、带括号的式子之间相乘时，其乘号可以不写或写作“?”，但对于数字与数字相乘时乘号则不能省略，也不能用“?”。

b、数字在前，字母在后。数字与字母相乘，数字与带括号的式子相乘时除中间乘号可以省略不写之外，还必须把数字写在字母或括号的前面。 c、带分数一定要化成假分数。

（2）书写含除法运算的式子

当式子中出现含有字母的除法运算时，结果一般不用“÷”，而改成分数线，如ab?4应写作

aba?3，?a?3??7应写作 4722ab这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的3

知识点6、同类项的概念 像25m与－40m,4ab与

2项，叫做同类项。

注意：a、同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可。

b、同类项与系数、字母的排列顺序无关。

c、所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言。

知识点7、合并同类项

（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（2）法则：合并同类项后，所得系数是合并前各同类项系数的和，且字母部分不变。它可以用“一变”、“两不变”来概括。“一变”是指同类项的系数变；“两不变”是指相同字母和相同字母的指数不变。

口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。 合并时，需计算，系数加，两不变。

注意：a、系数相加时，一定要带上各项前面的符号。 b、合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。 c、只有是同类项才能合并。

d、合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。

知识点8、去括号

法则：括号前面是正号，去掉括号不变号；括号前面是负号，去掉括号要变号。

二、例题讲解 例1、概念类

1312b2222（1）在xy,?3,?x?1,x?y,?mn,,4?x,ab,,中，

4xx?3?单项式有：

多项式有： （2）??a2m

的系数是______；已知-7xy是7次单项式则m= 。 2（3）一个关于b的二次三项式的二次项系数是-2，一次项系数是-0.5，常数项是3，则这个多项式是_____________。

2332432

（4）7-2xy-3xy+5xyz-9xyz是 次 项式，其中最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 ，是按字母 作 幂排列。

（5）多项式7xy

2?5y?8x2y?3x3按x的降幂排列是 __．

（6）多项式x2?3kxy?3y2?xy?8化简后不含xy项，则k为 。

1（7）单项式?xa?bya?1与3x2y是同类项，则a?b=

3（8）已知ab和?3ab3是同类项，且A?mx2?9xy?y2，B?3x2?nxy?y2，求

m3n32A?3B??A的值 ?B????A?2?

（9）若多项式5x2ym??n?3?y2?2是关于x，y的四次二项式，求m2?2mn?n2的值 【巩固】

b，c，且系数为1的7次单项式共有（ ）个 1、同时都含有a，A．4 B．12 C．15 D．25

2、若单项式?n?2?x2y1?n是关于x，y的三次单项式，则n?

b3、若?9a与a2b是同类项，求m，n的值.

4、若5axb2与0.9a3by是同类项，求x，y的值.

15、若x4ay4zb和7x8ya?2c是同类项，求a?b?c的值．

3

6、将多项式x2y?4xy2?2x3y?1按x的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.

7、若多项式x4?ax3?x3?5x2?bx?3x?1不含x的奇次项，求a?b的值

例2、 化简和求值类 （1）化简下面式子

1m?2322m?n55??1、（a-2a+1）-2(3a-2a+3、5?6(2a?322122

) 2、x-2(1-2x+x)+3(-2+3x-x) 2a?1) 4、2a?(5b?a)?b 315、－3(2x?y)?2(4x?y)?2009 6、－?2m?3(m?n?1)?2??1

222222222227、3(x?y)?(y?z)?4(z?y) 8、x?{x?[x?(x?1)?1]?1}?1

（2）已知：a?3,|b|?2，求代数式?2a??b3的值．

3（3）先化简，再求值：

2223xyz?(4xy?xy)? 1、5xyz?2xy???? ，其中x??2，y??1，z?3；

?? 2、2(ab2?2a2b)?3(ab2?a2b)?(2ab2?2a2b) 其中：a?2,b?1.

（4）已知(a?2)2?(3b?1)2?0，求：3ab?[2ab?6(ab?值。

（5）已知：m,x,y满足:(1)2212ab)?4ab]?2ab 的22(x?5)2?5m?0;(2)?2a2by?1与7b3a2是同类项. 3求代数式:2x2?6y2?m(xy?9y2)?(3x2?3xy?7y2)的值

（6）一位同学做一道题：已知两个多项式A、B，计算2A+B，他误将“A+B?”看成“A+2B”

22

求得的结果为9x－2x+7，已知B=x+3x－2，求正确答案．

（7）试说明：不论x取何值代数式 (x?5x?4x?3)?(?x

【巩固】

1、化简下面式子

322?2x3?3x?1)?(4?7x?6x2?x3)的值是不会改变的。

?2(ab?3a2)?[2b2?(5ab?a2)?2ab] （－2ab＋3a）－（2a－b）＋6ab； 2、已知m?n?2，mn?1，求多项式

(?2mn?2m?3n)?(3mn?2n?2m)?(m?4n?mn)的值．

3、已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a - (2ab-2b)+3]的值。

4、已知A?a?2ab?b,B??a?3ab?b，求：（1）A?B；（2）2A?3B 5、有这样一道题: “计算(2x?3xy?2xy)?(x?2xy?y)?(?x?3xy?y)的值，其中x?3223233232222111,y??1”。甲同学把“x?”错抄成“x??”，但他计算的结果也是正确的，

222试说明理由，并求出这个结果？

22

6、若(x＋ax－2y＋7)―(bx―2x＋9 y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值。

三、家庭作业 1. 若mamb3?m与nabn是同类项，求(n?m)2003的值.

52. 若?0.11xa?bya?b与xa?1y3是同类项，求a，b的值.

914nm?3?ab如果与是同类项，且m与n互为负倒数，求ab3.

3m1n?mn?3(?4)?m?11值.

444. 化简下面式子 3xy?2xy?xy?3xy 2x?1?2x?x?1?2x?x?3x

2?22?23?2??23? ?3?a2?1?2a2?a??a?5?? 2a2b?3ab2?ab?2a2b?3ab2

63??5. 把下列多项式按x降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项：

⑴13y?2xy?18x3y?7x2y2； ⑵?3xy2?5x2y?x3y?2y?1 1132116. 求x2?x?与x2?x?的差.

2343457. 设A?2x2?3xy?y2?x，B?5x2?8xy?2y2?3x，求3A?2B

8. 一个多项式加上2x2?x3?5?3x4得3x4?5x3?3，求这个多项式．

9. 若a??2，b?1，求代数式的值

???1??1??????a10.

4?3ab?6a2b2???3ab2?4ab?6a2b2???7a2b2?ab2?2a4?b4?

1若x?2与(y?)2互为相反数，求代数式(x2y?3xy)?2(3x2y?2xy)的值.

2§9.7---§9.10整式的乘法

一、 情境创设 知识再现

1．a=(-a)______， [(a)]=______， a=( )， (-mn)(-mn)=______． 2．24ab=6a·______， 若a

2

3

5

23

2

2n-1

85mnp155223

·a

2n+1

=a，则n=______．

12

3．3(a-b)[9(a-b)](b-a)=______ ．

n+1222

4．(-5xy)·(-2x)． 5．(-4a)·(2a+3a-1) 6．(x+y)(x-xy+y)

三、分层练习 查漏补缺 A层

1．下列算式中正确的是（ ） A． 9a?2a=18a 2

325B． 2x?3x=5x 3

549C． 3x?4x=12x 333D． 3y?5y=15y 3392．计算2xy?（﹣3xy+y）的结果是（ ）

3．若（ax+2y）（x﹣y）展开式中，不含xy项，则a的值为（ ） 4．关于x的一次二项式的积（x﹣m）（x+7）中的常数项为14，则m的值为（ ）

2

5．若x﹣4x+m=（x﹣2）（x﹣n），则（ ） A． m=﹣4，n=2 B． m=4，n=﹣2 C． m=﹣4，n=﹣2 D． m=4，n=2 6．设多项式A是个三项式，B是个四项式，则A×B的结果的多项式的项数一定是（ ） A． 多于7项 B． 不多于7项 C． 多于12项 D． 不多于12项 7．长方形一边长3m+2n，另一边比它长m﹣n，则这个长方形面积是（ ） 8．（﹣3ab）?4（﹣ab）= _________ 2．

6

2

23

2

32

5

= _________ ．

n

9．若计算（8×10）（5×10）（2×10）的结果用科学记数法可表示为m×10，那么m，n的值分别为 _________ ．

223223

10．如果B是一个单项式，且B（2xy+3xy）=﹣6xy﹣9xy，则B为 _________ ．

234

11．要使（x+ax+1）?（﹣6x）的展开式中不含x项，则a= _________ ．

22

12．若n+n﹣1=0，则n+n﹣2012= _________ ．

4322

13．多项式的积（x﹣2x+x﹣8x+1）（x+2x﹣3）中x项的系数是 _________ ．

14．若（x+a）（x+2）=x﹣5x+b，则a= _________ ，b= _________ ． 15．计算下列各题． （1）

16方程（每小题4分 共8分）

（1）3（x﹣2x﹣6）﹣3x（x﹣5）=0； （2）x(2x?5)?x(x?2)?x2?6

2

2

（2）（3x﹣y）（y+3x）﹣（x﹣3y）（4x+3y）

B层

1若ab=﹣6，则﹣ab（ab﹣ab﹣b）的值为

2现规定一种运算a※b=ab+a﹣b，其中a，b为实数，则a※b+（b﹣a）※b等________ ．

2

3工厂要做一个棱长为7×10mm的正方体运输箱，则这种运输箱的容积为 _________ 3

mm．

4．若2|a+b﹣1|与

互为相反数，则﹣3a（ab+2a）+4a（﹣ab）的值是

2

2

2

2

25

3

_________ ． 5．求值。（共14分）

mn2m﹣4n+1

（1）．已知3=6，9=2，求3的值．（4分）

2

（2）已知x+5y=6，求x+5xy+30y的值． （5分）

四、 巩固拓展 提升能力

1、已知

，能否确定代数式（2x﹣y）（2x+y）+（2x﹣y）（y﹣4x）+2y（y﹣3x）的?

值？如能确定，试求出这个值．

2、比较2与3的大小．

3．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)+|3y+3z-4|=0，求：xyz的值

2

3n3n3n

100

75

完全平方公式

第一部分、知识要点

3、完全平方公式的变式：（1）a?b?(a?b)?2ab?(a?b)?2ab （2）ab?22221[(a?b)2?(a2?b2)] （3）(a?b)2?(a?b)2?2(a2?b2) 2 （4）(a?b)2?(a?b)2?4ab 4、关于完全平方公式的推广：

（1）从项数推广：(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac （2）从指数推广：(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

第二部分、典例分析

例1：下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）?a?b??a?c? （2）?x?y???y?x? （3）?ab?3x???3x?ab? （4）??m?n??m?n?

变式训练1：在下列整式乘法中，其中能用完全平方公式计算的个数是 （ ） （1）(3a?2b)(2b?3a) （2）(a?3b)(a?3b) （3）(?0.2x?0.5y)(0.2x?0.5y)（4）

(3x?y2) 5A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例2：计算下列各式：

（1）??2m?n??2m?n? （2）2?3a?2??3a2?2?

变式训练2-1：（1）(a?b?3)(a?b?3) （2）(x?y?2)(x?y?2)

变式训练2-2：[2m?(m?n)(m?n)][(?m?2n)(2n?m)?3n]

22

2例3：已知a2?b2?12，ab??3，则(a?b)的值是（ ）

变式训练3-1：要使等式(a?b)2?M?(a?b)2成立，求M的值

变式训练3-2：已知(a?b)2?49，(a?b)?9，则a2?b2= ，ab=

2若数a满足(a?2005)2)(a?2006)= ?(2006?a)2?2007,则(a?2005

例4：若4x?kx?25是一个完全平方式，则k= . 变式训练4-1：若x?4x?k?(x?2) ，则k =

222 若x?2x?k是完全平方式，则k = 例5：已知x?211＝2，试求x2?2的值．

xx

25变式训练5-1：已知x?x?1，求下列代数式的值（1）x?5x?2； （2）x?21. x2

变式训练5-2：12.已知x?

111?5,分别求x4?4和x8?8的值

xxx

例6：已知a=－2004．B=2003．C=－2002．求a+b＋c+ab+ bc－ac的值．

2

2

2

例7：（探究题）如图l－1－5所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规

律写出形如（a+b）2（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中的系数： （a＋b）1=a +b； （a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3 +3a2 b+3ab2+b3

则（a+b）4 =____a4+____a3 b+___ a2 b2+_____a b3 +______b3.

第三部分、课后练习

22（10）若x?y?6 ，xy?3 ，求x?y的值。

2（11）已知x+y=25，x+y=7，求(x-y)的值。

2

2

22

（12）若x－2x+y+6y+10=0．求x的值。

4、x?y?6x?4y?13?0,求2x?3y的值。

26、已知f?k??k??k?1?????????3k?，则f?4??f?3?为（ ）

2222227、设P?ab?5，Q?2ab?a2?4a，若P?Q， 求b的值。

a8、计算：1.2345?0.7655?2.469?0.7655

22

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