新版高考数学（鲁闽皖京渝津，文科）大二轮总复习：小题综合限时练4 Word版含解析

1 1 限时练?四?

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为( )． A．－1或1 C．－1

B．1 D．3

2a－1＝0，?2

解析 ∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴?∴a＝－

?a－1≠0，

1. 答案 C

2．设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为N，则M∩N＝( )． A．(－1,0] C．(0,1)

B．[0,1) D．[0,1]

解析 由x2－x≤0，得M＝{x|0≤x≤1}， ∵1－|x|＞0，∴N＝{x|－1＜x＜1}， ∴M∩N＝[0,1)． 答案 B

π??

3．函数f(x)＝tan?2x－3?的单调递增区间是( )．

???kππkπ5π?

A.?2－12，2＋12?(k∈Z) ???kππkπ5π?

B.?2－12，2＋12?(k∈Z) ??π2π??

C.?kπ＋6，kπ＋3?(k∈Z) ??π5π??

D.?kπ－12，kπ＋12?(k∈Z) ??

πππkππkπ5π

解析 由kπ－2＜2x－3＜kπ＋2(k∈Z)得，2－12＜x＜2＋12(k∈Z)，所以函

π???kππkπ5π?

数f(x)＝tan?2x－3?的单调递增区间为?2－12，2＋12?(k∈Z)．

????答案 B

?1?

4．已知a＝21.2，b＝?2?－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )．

??A．cB．c

解析 先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最?1?

后利用中间值与对数函数值进行比较大小．a＝21.2>2，而b＝?2?－0.8＝20.8，所

??以15．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )． A．24 C．52

B．39 D．104

解析 ∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，由等差数列的性质得6a4＋6a10＝48，∴a7＝4，∴数列{an}的前13项和为13a7＝52. 答案 C

6．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为

( )．

A．211 C.38

B．42 D．163

解析 取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝23，SD＝25，∴SB＝42.

答案 B

7．执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为( )．

A．1 C．3

B．2 D．4

解析 此程序框图的算法功能是分段函数

?log2x，x＞2，y＝?2的求值，当y＝3时，相应的x值分别为±2,8.

x－1，x≤2?答案 C

x2y2

8．已知F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为

( )．

A．4＋23 B.3－1 C.

3－1

2 D.3＋1

解析 ∵正三角形MF1F2的边长为2c，设MF1的中点为N，∴F2N⊥NF1，在Rt△NF1F2中，容易求得，|NF2|＝3c，|NF1|＝c，又N在双曲线上，∴|NF2|－c

|NF1|＝2a，∴2a＝3c－c，∴e＝a＝答案 D

9．若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以做两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )．

2

＝3＋1. 3－1

1123A.2 B.3 C.3 D.4 解析 点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k＜0或k＞2，所以所求k∈[－3,0)∪(2,3]，概42

率为P＝6＝3. 答案 C

2a－3

10．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝，则a＋1实数a的取值范围为( )． A．－1＜a＜4 C．－1＜a＜0

B．－2＜a＜1 D．－1＜a＜2

解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， ∵f(1)＜1，f(5)＝∴

2a－3

， a＋1

2a－3a－4

＜1，＜0，解得－1＜a＜4. a＋1a＋1

答案 A 二、填空题

11．抛物线y＝－4x2的焦点坐标为________．

1

解析 由y＝－4x2，得x2＝－4y，它表示焦点在y轴负半轴上的抛物线，∵2p1?11?0，－?＝4，∴p＝8，∴焦点坐标为. 16???1??

答案 ?0，－16?

??

?x≥0，

12．若x，y满足约束条件?x＋2y≥3，

?2x＋y≤3，

解析

?x≥0，

作出约束条件?x＋2y≥3，

?2x＋y≤3

则z＝x－y的最大值是______．

表示的平面区域，如图阴影部分所示，当

直线z＝x－y过点A(1,1)时，目标函数z＝x－y取得最大值0.

答案 0

13．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

气温(℃) 山高(km) 18 24 13 34 10 38 －1 64 ^(a^∈R)．由此估计山高为72(km)处

由表中数据，得到线性回归方程^y＝－2x＋a气温的度数为________．

解析 ∵x＝10，y＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，^，即a^＝60，∴线性回归方程为^∴40＝－20＋ay＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6. 答案 －6

14．在三棱锥P－ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．

解析 ∵侧棱PA，PB，PC两两垂直，∴三棱锥P－ABC的外接球就是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA＝1，PB＝2，PC＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为14，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案 14π

→→→

15．已知O为锐角△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，AO＝xAB＋yAC，且2x＋10y＝5，则边BC的长为________．

→＝xAB→＋yAC→，AO→＝AC→＋CO→，

解析 ∵AO

→＝xAB→＋(y－1)AC→， ∴CO

→2＝[xAB→＋(y－1)AC→]2＝36x2＋2x(y－1)AB→·→＋100(y

∵AB＝6，AC＝10，∴COAC－1)2，

→→→→→∵AO2＝(xAB＋yAC)2＝36x2＋2xyAB·AC＋100y2，O为锐角△ABC的外心， →2＝CO→2， ∴AO

→·→＝0，

∴－200y＋100－2xABAC即6xcos ∠BAC＝5－10y，

∵2x＋10y＝5，∴6xcos ∠BAC＝2x， ∴cos∠BAC＝1

3，由余弦定理得答案 46

BC＝46.

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