湛江一中08-09高三理科数学月考2009.2

湛江一中08-09高三理科数学月考试卷2009.2

一、选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分） 1．已知A?{x||x?1|?1,x?R}，B?{x|log2x?1,x?R}则x?A是x?B的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条 C．充分必要条件 D．既不充分也非必要条件 2．己知f(A．?1214x?1)?2x?3,f(m)?6，则m等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

B．

14 C．

32 D．?32

3．y?cos(?4?x)是（ ）上的增函数

B．[?A．[??,0]

??2,2] C．[?3??,] 44 D．[?5?4,4]

4．已知m,n为直线，a,b为平面，给出下列命题： ?m???m???m???m????n//? ②??m//n ③???//? ④?n???m//n ①??m?n?n???m????//??其中的正确命题序号是： A ③④ B ②③ C ①② D ①②③④ 5．曲线y?1?A．(0,24?x(x?[?2,2])与直线y?k(x?2)?4两个公共点时，实数k的取值范围是

512) B．(13,) 34 C．(512,??) D．(3,] 12456．已知两不共线向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，则下列说法不正确的是 ．．．A．(a?b)?(a?b) B．a与b的夹角等于??? C．a?b?a?b?2

D．a与b在a?b方向上的投影相等

7．已知点F1、F2分别是双曲线

xa22?yb22?1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于

A、B两点，若?ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

A．(1,??)

B．(1,3) C．（1，2） D．(1,1?2)

8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)?f(x?2),当x?[3,5]时,f(x)?2?|x?4|，则

A．f(sinC．f(cos?6)?f(cos?6) 2?3)

B．f(sin1)?f(cos1) D．f(cos2)?f(sin2)

2?3)?f(sin二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z?(1?ai)?i为等部复数，则实数a的值为

10．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的 体重（单位：kg）数据进行整理后分成六组，并绘制 频率分布直方图（如图所示）。已知图中从左到右第一、 第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三 小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的 频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三 年级的男生总数为

?x2,0?x?111．函数f(x)??的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于 ．

?2?x,1?x?212．已知数列{an},a1?1,an?an?1?an?2????a1，则该数列的前8项和为 ．

选做题：以下三个小题为选做题，在以下给出的三道题中选其中两道作答，三题都选只算前两题的得分 13．在极坐标系中，圆??2cos?的圆心的极坐标是 ，它与方程??形的交点的极坐标是 ．

14．关于x的不等式x?1?x?2?a?a?1的解集为空集，则实数a的取值范围是 _ _. 15．如图4所示, 圆的内接?ABC的?C的平分线

2π4

（??0）所表示的图

CD延长后交圆于点E, 连接BE, 已知

BD?3,CE?7,BC?5, 则线段BE? .

三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分12分）已知向量m?(sinA，cosA)，n?(3，?1)，m?n?1，且A为锐角． (Ⅰ) 求角A的大小；

(Ⅱ) 求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域．

??

17．（本题满分12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为

（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数?的分别列与期望E?.

18．（本题满分14分）如图，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，已知

12，且各局胜负相互独立.求：

BC?1,?BCC1??3AA1 （1）求证：C1B?平面ABC； （2）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置, 使得EA?EB1； CBB1EC1(3) 在（2）的条件下,求二面角A?EB1?A1的平面角的正切值. 19．（本题满分14分）设动点P(x,y)(x?0)到定点F(的轨迹为曲线C

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设圆M过A(1,0)，且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|EF|是否为定值?请说明理由．

12,0)的距离比它到y轴的距离大

12．记点P

20．(本小题14分)设函数f(x)?ln(x?a)?x，

（1）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

21．(本小题14分)已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1??n?N （1）求数列?an?的通项公式； （2）若函数f(n)?值；

?2e2．

?在直线x?y?1?0上.

1n?a1?1n?a2?1n?a3???1n?an?n?N,且n?2?,求函数f(n)的最小

（3）设bn?1an,Sn表示数列?bn?的前项和。试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得

S1?S2?S3???Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？

若存在，写出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

湛江一中高三理科数学月考参考答案

BACBD BDD 9.?1 10. 400 11.

5? 12. 128 13..(1,0) ?6?2,21π?14. 15. (?1,0)?4? 5解析：5．数形结合法 7．解:由图知三角形ABC为等腰三角形,只要∠AF2B为锐角即可,所以有

b222?2c,即2ac?c?a,解出e?(1,1?a2),故选D

8．由已知得f(x)图关于y轴对称，且f(x)的周期是2，所以可作出f(x)在[-1，1]的图象，由图的单增性结合三角函数值可判断D。

12.解:当n?2时,an?Sn?1,an?1?Sn,相减得an?1?2an,且由已知得a2?a1?1,所以所求为

a9?27?128 14，因为|x?1|?|x?2|?1,由题意得a?a?1?1，解得a?(?1,0)

215，解:由题知△BED～△BCE,所以

BEEC?BDBC，可求得BE=

215

16．解：(Ⅰ)由题意得?m?n?由A为锐角得A?(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA?3sinA?cosA?1,?2sin(A???6)?1，?sin(A??6)?12

?612?6，A??3

2,所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sinx

12)?2 ??2(sinx?32 12因为x?R,所以sinx???1，1?,因此，当sinx?时,f(x)有最大值

32,

3??当sinx??1时,f(x)有最小值 – 3，所以所求函数f(x)的值域是??3，?

2??17.解：令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止

的概率为P(A1C2B3)?P(B1C2A3)?123?123?14.

122（Ⅱ）?的所有可能值为2，3，4，5，6，且P(??2)?P(A1A2)?P(B1B2)??122?12,

P(??3)?P(A1C2C3)?P(B1C2C3)?123?123?14.

12?44121212454 P(??4)?P(A1CBB3)?P(BCAA2)?3241??5?51812125. ??116116, ,

P(??5)?P(A1CBA3A4)?5P(BCA1BB)3?22 P(??6)?P(A1CBA3C4)?5P(BCA1BC)3?22

故有分布列

从而E??2? 2 3 4 4555 6 P 12 1418?5? 181 116116? 116 12?3?14?4?16?6?4716（局）.

18．证（1）因为AB?侧面BB1C1C，故AB?BC1 在?BC1C中，BC?1,CC1?BB1?2,?BCC1??3 由余弦定理有 BC1? BC?CC1?2?BC?CC1?cos?BCC1????221?4?2?2?cos?3?3AA1 故有 BC2?BC1?CC1?????????C1B?BC 22BB1 而BC?AB?B 且AB,BC?平面ABC?C1B?平面ABC CEC1（2）EA?EB1,AB?EB1,AB?AE?A,AB,AE?平面ABE

从而B1E?平面ABE 且BE?平面ABE 故BE?B1E 不妨设 CE?x，则C1E?2?x，则BE又??B1C1C?2?1?x?x 223? 则B1E?1?x?x 2222在Rt?BEB1中有 x?x?1?x?x?1?4 从而x??1（舍负） 故E为CC1的中点时，EA?EB1

（3）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M 连DF则DF//A1B1，连DN则DN//BE，连MN则MN//A1B1 连MF则MF//BE，且MNDF为矩形，MD//AE 又?A1B1?EB1,BE?EB1 故?MDF为所求二面角的平面角 AMA1在Rt?DFM中，DF?1212A1B1?22 (??BCE为正三角形）BFNB11MF?12BE?12CE?DCEC1?tan?MDF?2?2

2221219．解：（1）依题意，P到F(12,0)距离等于P到直线x??2的距离，曲线C是以原点为顶点，

F(12,0)为焦点的抛物线

P?1 曲线C方程是y?2x

（2）设圆心M(a,b)，因为圆M过A(1,0)

2222故设圆的方程(x?a)?(y?b)?(a?1)?b 设圆与

2令x?0得：y?2by?2a?1?0 ，则

22y轴的两交点为

2(0,y1),(0,y2)2y1?y2?24,b1y?2y?2 a1?(y1?y2)?(y1?y2)?4y1?y2?(2b)?4(a2?1?)b4?a8 ?2M(a,b)在抛物线y?2x上，b?2a

所以，当M运动时，弦长|EF|为定值2

20．解：（1）f?(x)?222 (y1?y2)?4

|y1?y2|?2

1x?a?2x，依题意有f?(?1)?0，故a?32．

从而f?(x)?2x?3x?1x?32?(2x?1)(x?1)x?32．

3?3??∞?，当??x??1时，f?(x)?0； f(x)的定义域为??，2?2?

当?1?x??12时，f?(x)?0；当x??12时，f?(x)?0．

从而，f(x)分别在区间????31???1??单调增加，在区间，?1?，?，?∞?1，?????单调减少．

22???2??（2）f(x)的定义域为(?a，?∞)，f?(x)?2x?2ax?1x?a2．

方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． ①若??0，即?222?a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)无极值．

(2x?1)x?22②若??0，则a?2或a??2．若a?2，x?(?2，?∞)，f?(x)?．

??2??2当x??时，f?(x)?0，当x???2，所以f(x)???，?∞?时，f?(x)?0，??????222????2无极值．若a??2，x?(2，?∞)，f?(x)?(2x?1)x?222?0，f(x)也无极值．

③若??0，即a?2或a??2，则2x?2ax?1?有0两个不同的实根?a?a?222x1??a?a?222，x2?．

当a??当a?2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方

2，?∞)．f(x)a的取值范围为(法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．综上，f(x)存在极值时，

的极值之和为

f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x1?ln(x2?a)?x2?ln2212?a?1?1?ln2?ln2e2．

21．解：（1）由点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1，且a1?1，数列{an}

是以1为首项，1为公差的等差数列

an?1?(n?1)?1?n(n?2)，a1?1同样满足，所以an?n

（2）f(n)? f(n?1)?1n?11n?2??1n?21n?31????1n?4112n

2n?12n?21111 f(n?1)?f(n)??????0

2n?12n?2n?12n?22n?2n?1 所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)?（

3

）

??1?1

712

bn?1n，可得

Sn?1?12?13???1n，

Sn?Sn?1?1n(n?2)

nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1，

(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1

……

S2?S1?S1?1

nSn?S1?S1?S2?S3???Sn?1?n?1

S1?S2?S3???Sn?1?nSn?n?n(Sn?1)，n≥2

g(n)?n

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立.

????????????? （2）法二：以B为原点BC,BC1,BA为x,y,z轴，设CE?1B(0,0,E0?),x(1?B12),x，则

????????(A1, 3,由0EA),?EB(10得, 0,?EB21)EA?0 即 32x,0)?0 AA1(

12x?1,?32x,2)(12x?2,3?z113?(x?1)(x?2)?x?222??23?3?x??02?? 化简整理得 x?3x?2?0 ，x?1 或 x?2 当x?2时E与C1重合不满足题意ByB1， CEC1当x?1时E为CC1的中点 故E为CC1的中点使EA?EB1 x?????????????????（3）法二：由已知EA?EB1,B1A1?EB1， 所以二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量

??????????????????B1A1与EA的夹角 因为B1A1?BA?(0,0,????2) EA?(?32,?12,2)

?????????EA?B1A1故 cos????????????EA?B1A1

23?tan??22

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